第二章 拉普拉斯变换第二章拉普拉斯变换本章学习要点：拉氏变换的概念；拉氏变换的性质；常用函数的拉氏变换；拉氏逆变换；卷积定理
第二章 拉普拉斯变换 ◆ 拉氏变换的概念； ◆ 拉氏变换的性质； ◆ 常用函数的拉氏变换； ◆ 拉氏逆变换； ◆ 卷积定理。 第二章 拉普拉斯变换 本章学习要点：
第二章 拉普拉斯变换拉氏变换法的优点：(1)从数学角度看，拉氏变换方法是求解常系数线性微分方程的工具。可以分别将“微分”与“积分”运算转换成“乘法”和“除法”运算，即把积分微分方程转换为代数方程(2)当求解控制系统输入输出微分方程时，求解的过程得到简化，可以同时获得控制系统的瞬态分量和稳态分量(3)拉氏变换可把时域中的两个函数的卷积运算转换为复频域中两函数的乘法运算
第二章 拉普拉斯变换 拉氏变换法的优点： (1) 从数学角度看，拉氏变换方法是求解常系数 线性微分方程的工具。可以分别将“微分”与 “积分”运算转换成“乘法”和“除法”运算， 即把积分微分方程转换为代数方程。 (2) 当求解控制系统输入输出微分方程时，求解 的过程得到简化，可以同时获得控制系统的瞬态 分量和稳态分量。 (3) 拉氏变换可把时域中的两个函数的卷积运算 转换为复频域中两函数的乘法运算
第二章 拉普拉斯变换2.1拉氏变换的概念2.1.1问题的提出积分区间单位阶8,+8]p(t)u(t)跃函数p(t)[0, 8指数衰-BtDr绝对可积减函数P(t)u(t)e-β新函数(βB>0)傅立叶变换(β+jo)tdte-jotdt =Gβ() = /T7ctT
第二章 拉普拉斯变换 (t) 2.1.1问题的提出 2.1 拉氏变换的概念 单位阶 跃函数 指数衰 减函数 (t)u(t) [0,) − ，+ 积分区间 t t e − ( ) 绝对可积 t t u t e − 新函数 ( ) ( ) (β＞0) − + − − − = = 0 ( ) G ( ) (t)u(t)e e dt (t)u(t)e dt t jt j t 傅立叶变换
第二章 拉普拉斯变换变换，简称拉氏变换拉普拉斯 (Laplace)我们规定：(1) f(t)=p(t)u(t)为时间的函数，并且t<o时f(t)=0(2)s=β+j为复变量(3）L为运算符号，放在时间函数之前，表示该时间函数用拉氏积分。e-"dt进行变换(4) F(s)为时间函数f(t)的拉氏变换。时间函数f(t)的拉氏变换为L[f(t)] = F(s)-/f(t)e象函数原函数即时间函数F(s)为f(t)的拉普拉斯变换
第二章 拉普拉斯变换 拉普拉斯（Laplace）变换，简称拉氏变换。 (2) s = + j 为复变量 我们规定： (1) f (t) =(t)u(t) 为时间t的函数，并且t<0时 f (t) = 0 (3) L为运算符号，放在时间函数之前，表示该 时间函数用拉氏积分 进行变换 − 0 e dt st F(s) f (t) (4) 为时间函数 的拉氏变换。 时间函数 f (t) 的拉氏变换为 − − = = = 0 0 L[ f (t)] F(s) e dt[ f (t)] f (t)e dt s t s t 即时间函数F(s)为f (t)的拉普拉斯变换。 象函数 原函数
第二章 拉普拉斯变换从拉氏变换F(s)求时间函数f(t)的逆变换过程称为拉普拉斯逆变换，简称为拉氏逆变换，其运算符号为L-1。L-{F(s))= f(t)F(s)estdst≥02元B-ja以上两式为一对互逆的积分变换公式，我们也称F(s)和f(t)构成了一个拉氏变换对
第二章 拉普拉斯变换 + − − = = j j s t L F s f t F s e s ( ) d 2 j 1 [ ( )] ( ) 1 t≥0 称为拉普拉斯逆变换，简称为拉氏逆变换，其运 算符号为 从拉氏变换 求时间函数 的逆变换过程 −1 L F(s) f (t) 。 以上两式为一对互逆的积分变换公式，我 们也称 F(s)和f (t)构成了一个拉氏变换对
第二章 拉普拉斯变换2.1.2拉氏变换的存在定理若时间函数f(t)满足下列条件：(1)在0的任一有限区间上分段连续：(2)当t→时,f(t)的增长速度不超过某一指数函数，亦即存在常数M>0及c≥0，使得If(t)I ≤Mect t 0≤t<8成立，则f(t)的拉氏变换F(s)= (f(t)e-stdt即：如果拉氏积分收敛，则时间函数f(t)的拉氏变换存在
第二章 拉普拉斯变换 2.1.2 拉氏变换的存在定理 若时间函数 f (t) 满足下列条件： (1) 在t≥0的任一有限区间上分段连续； (2) 当 t → 时， f (t) 的增长速度不超过某一指数 函数，亦即存在常数M>0及c≥0，使得 |f(t)| ≤Mect 0 t 成立， − = 0 F(s) f (t)e dt 则 的拉氏变换 st f (t) s c Re ( ) s c c Re ( ) 1 在半平面 上一定存在，右端的积分在 半平面内， 为解析函数。 上绝对收敛且一致收敛，并且在 s c Re ( ) F(s) 即：如果拉氏积分收敛，则时间函数 的 拉氏变换存在。 f (t)
第二章拉普拉斯变换1.常用函数的拉氏变换(1）指数函数0t<0f(t)=-ott≥0AeA和α为常数Ae-(α+s)tdt =L[Ae-α ]= lAe-"e-stdt = AJOs+α指数函数在复平面内将产生一个极点
第二章 拉普拉斯变换 0 0 0 ( ) = − t t Ae f t t A和α为常数 1. 常用函数的拉氏变换 (1) 指数函数 + = = = − + − − − s A L Ae Ae e t A e t t t s t s t 0 ( ) 0 [ ] d d 指数函数在复平面内将产生一个极点
第二章 拉普拉斯变换（2）阶跃函数0t0A为常数AAe-stdt =L[A]= 10S0t0L[u(t)]单位阶跃信号u(t)二S
第二章 拉普拉斯变换 0 0 0 ( ) = t t A f t (2) 阶跃函数 A为常数 s A L A Ae t s t = = − 0 [ ] d 单位阶跃信号u(t) A=1 ( ) s L u t 1 = 0 0 1 0 ( ) = t t u t
第二章拉普拉斯变换发生在t=t,时的单位阶跃函数通常写u(t -to)成u(t)u(t -to)(a)(b)ttto发生于t=0时的阶跃函数，相当于在时间t=0把一个定常信号突然加到系统上。高度为A的阶跃函数，当其发生在t=O时，可以写成f(t) = Au(t)
第二章 拉普拉斯变换 发生在t＝t 0时的单位阶跃函数通常写 成 ( ) 0 u t − t 0 0 u(t) t 1 ( ) 0 u t − t t 1 0 t (a) (b) 发生于 t = 0 时的阶跃函数，相当于在时间 t = 0 把一个定常信号突然加到系统上。 t = 0 f (t) = Au(t) 高度为A的阶跃函数，当其发生在 时， 可以写成
第二章 拉普拉斯变换(3）斜坡函数0t<0f(t) =Att≥0A为常数180est-StAAeXL[At]= Ate-stdt =dt AtLsuJoJoSSSC0t<0f(t)A-1t≥0L1单位斜坡信号r(t)L[r(t)]一2S
第二章 拉普拉斯变换 A为常数 (3) 斜坡函数 0 0 0 ( ) = t t At f t 2 0 0 0 0 [ ] d d d s A e t s A t s Ae s e L At Ate t At s t s t s t s t = = − − − = = − − − − 单位斜坡信号 r(t) A=1 ( ) 2 1 s L r t = 0 0 0 ( ) = t t t f t