第六章系统稳定性分析第六章系统稳定性分析本章学习要点6.1系统稳定的概念和条件6.2劳斯（Routh））稳定判据6.3 Nyquist稳定判据6.4Bode稳定判据6.5 系统的相对稳定性
第六章 系统稳定性分析 第六章 系统稳定性分析 本章学习要点 ◆ 6.1 系统稳定的概念和条件 ◆ 6.2 劳斯（Routh）稳定判据 ◆ 6.3 Nyquist稳定判据 ◆ 6.4 Bode稳定判据 ◆ 6.5 系统的相对稳定性
第六章系统稳定性分析6.1系统稳定的概念和条件1.系统稳定的基本概念若控制系统在初始偏差的作用下，其过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，则称系统为稳定。否则，系统称为不稳定2.系统稳定的充分必要条件设线性定常系统的微分方程为qn-1Qd(①)+aox.()+adtn-i X.dtdJm-jmdt(n>m)dtm-1m-dtmdt
第六章 系统稳定性分析 6.1 系统稳定的概念和条件 1.系统稳定的基本概念 若控制系统在初始偏差的作用下，其过渡过程 随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，则称系统 为稳定。否则，系统称为不稳定。 设线性定常系统的微分方程为 2.系统稳定的充分必要条件 ( ) ( ) x (t) a x (t) dt d x t a dt d x t a dt d a n o o o n n o n n n 1 1 0 1 + 1 + + + − − − ( ) ( ) x (t) b x (t) dt d x t b dt d x t b dt d b m i i i m m i m m m 1 1 0 1 = + 1 + + + − − − （n≥m）
第六章系统稳定性分析M对上式进行拉氏变换，得X。(s)D(s)DSM(s)= bmsm +bm-1sm-1 +...+b,s + bo系统传M(s)G(sD(s)递函数D(s)= a,s" + an-sn-I +...+ajs +aoN(s)是与初始条件有关的s多项式。根据稳定性定义，研究系统在初始状态下的时间响应（即零输入响应），取X(s0，得到N(s)X.(s)D(s)若s;为系统特征方程D(s)=0的根（即系统传递函数的极点。=1，2，，n），且s,各不相同时，有
第六章 系统稳定性分析 对上式进行拉氏变换，得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D(s) N s X s D s M s X s o = i + N(s)是与初始条件有关的s多项式。 ( ) ( ) D(s) N s X s o = 根据稳定性定义，研究系统在初始状态下的 时间响应（即零输入响应），取 Xi (s)＝0 ，得到 ( ) 1 0 1 M s b s b 1 s b s b m m m = m + + + + − − ( ) 1 0 1 D s a s a 1 s a s a n n n = n + + + + − − ( ) ( ) G(s) D s M s 系统传 ＝ 递函数 若si为系统特征方程D(s)=0的根（即系统传递函数 的极点。i=1，2，.，n），且si各不相同时，有
第六章系统稳定性分析[%]-24x。(t)= L-"[X。(s)]= L-li-1A,是与初始条件有关的系数。若系统所有特征根s,的实部Re[s;]80此时系统是不稳定的
第六章 系统稳定性分析 ( ) ( ) ( ) ( ) s t n i o o i i Ae D s N s x t L X s L = − − = = = 1 1 1 Ai是与初始条件有关的系数。 若系统所有特征根si的实部Re[si ]<0，则零输 入响应随着时间的增长将衰减到零，即 lim ( ) = 0 → x t o t 此时系统是稳定的。 反之，若特征根中有一个或多个根具有正实部， 则零输入响应随着时间的增长而发散，即 ( ) = → x t o t lim 此时系统是不稳定的
第六章系统稳定性分析若系统特征根具有重根时，只要满足Re[s,]<0，有lim x。 (t)= 0f80系统就是稳定的系统稳定的充分义要条件是：系统特证方程的根全部具有负实部。系统的特证根就是系统闭环传递函数的极点，因此，系统稳定的充分义要条件还可以表迷：系统闭环传递数的极点全部于平面的左半平面。若系统有一对共轭极点位于虚轴上或有一极点位于原点，其余极点均位于[sI平面的左半平面，则零输入响应趋于等幅振荡或恒定值，此时系统处于临界稳定状态。临界稳定系统属于不稳定系统
第六章 系统稳定性分析 若系统特征根具有重根时，只要满足Re[si ]<0，有 lim ( ) = 0 → x t o t 系统就是稳定的。 系统稳定的充分必要条件是： 系统特征方程的根全部具有负实部。系统的特 征根就是系统闭环传递函数的极点，因此，系统 稳定的充分必要条件还可以表述为：系统闭环传 递函数的极点全部位于[s]平面的左半平面。 若系统有一对共轭极点位于虚轴上或有一极点位 于原点，其余极点均位于[s]平面的左半平面，则 零输入响应趋于等幅振荡或恒定值，此时系统处 于临界稳定状态。临界稳定系统属于不稳定系统
第六章系统稳定性分析6.2劳斯（Routh）稳定判据劳斯稳定判据也称代数判据，它是基于方程式根与系数的关系建立的。6.2.1系统稳定的必要条件设系统的特征方程为D(s))=a,s" +aas+a。=0aNVaCn=a,(s-ss-(s-S)=0式中，Ss，S2’……，Sn为系统的特征根
第六章 系统稳定性分析 6.2 劳斯（Routh）稳定判据 劳斯稳定判据也称代数判据，它是基于方程 式根与系数的关系建立的。 6.2.1系统稳定的必要条件 设系统的特征方程为 ( ) 0 1 0 1 = + 1 + + + = − − D s a s a s a s a n n n n ( )( ) ( ) 0 1 2 1 1 1 0 = − − − = = + + + + − − n n n n n n n n n a s s s s s s a a s a a s a a a s 式中，s1，s2，.，sn为系统的特征根
第六章系统稳定性分析an-l=-(s+s,+...+sn)要使全部特an征根s'an-2=+(sis2+$ts;+..+Sn-1sn)S2'..., Snan均具有负实an-3=-(s1s2s:;+$ts2$4+.+sn-2Sn-1sna部，就必须满足以下两o =(-1)(sis . n)个条件：a特征方程的1, 2, ..., n)(1)义要条件：都不等于零a.>0(2)特征方程的号都相同
第六章 系统稳定性分析 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − − − n n n n n n n n n n n n n n n s s s a a s s s s s s s s s a a s s s s s s a a s s s a a 1 2 0 1 2 3 1 2 4 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 2 1 ＝－1 ＝－ ＋ ＋ ＋ ＝＋ ＋ ＋ ＋ ＝－ ＋ ＋ ＋ － － － （1）特征方程的各项系数ai（i=0，1，2，.，n） 都不等于零。 （2）特征方程的各项系数ai的符号都相同。 要使全部特 征根s1， s2，.，sn 均具有负实 部，就必须 满足以下两 个条件： 必要条件： ai >0
第六章系统稳定性分析6.2.2系统稳定的充要条件设系统的特征方程为D(s)= ans" + an-isn-I +...+ as +ao = O-将上式中的各项系数，按下面的格式排成劳斯表shanan-2an-6an-4sh-1an-1an-3an-5an-7sh-2A4AA2A3sn3B4B,B2Bs...·..suDiD2.1EsSoF
第六章 系统稳定性分析 设系统的特征方程为 ( ) 1 0 0 1 = + 1 + + + = − D s a s a − s a s a n n n n 6.2.2 系统稳定的充要条件 将上式中的各项系数，按下面的格式排成劳斯表 1 1 1 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 3 5 7 2 4 6 0 1 2 3 2 1 F E D D B B B B A A A A a a a a a a a a s s s s s s s n n n n n n n n n n n n − − − − − − − − − −
第六章系统稳定性分析aaaan-2nn1aQaOn-n-an-an-)an-1aaaan-n-7(n-1n-5n-3n-AA,AAAAB, =BB,A1AA劳斯稳定判据给出系统稳定的充分必要条件为：劳斯表中第一列各元素均为正值，宜不为零还指出：劳斯表中第一列各元素符号改变的次数等于系统特征方程具有正实部特征根的个数
第六章 系统稳定性分析 1 1 3 1 5 2 A A A a a B n− n− − = 1 1 4 1 7 3 A A A a a B n− n− − = 1 1 7 6 3 − − − − − = n n n n n a a a a a A ，. 1 1 3 2 1 − − − − − = n n n n n a a a a a A ， 1 1 2 1 3 1 A A A a a B n− n− − = ， ，. 1 1 5 4 2 − − − − − = n n n n n a a a a a A ， ， 劳斯稳定判据给出系统稳定的充分必要条件为： 劳斯表中第一列各元素均为正值，且不为零。 还指出： 劳斯表中第一列各元素符号改变的次数等于系 统特征方程具有正实部特征根的个数
第六章系统稳定性分析对于较低阶的系统，劳斯判据可以化为如下简单形式，以便于应用。（1）二阶系统（n=2），特征方程为D(s)=a2s? +as+aα = 0劳斯表为2sa2aoSay0Sdo根据劳斯判据得，二阶系统稳定的充要条件是a,>0, a,>0, a,>0
第六章 系统稳定性分析 ( ) 1 0 0 2 D s = a2 s + a s + a = 0 1 2 0 0 1 2 a a a a s s s 对于较低阶的系统，劳斯判据可以化为如 下简单形式，以便于应用。 劳斯表为 （1）二阶系统（n=2），特征方程为 根据劳斯判据得，二阶系统稳定的充要条件是： a2>0，a1>0，a0>0