深圳大学电子科学与技术学院：《激光原理 Principle of Laser》课程教学资源（PPT课件）第三章 电磁场和物质的共振相互作用 第三部分 典型激光器速率方程

深圳大学电子科学与技术学院 34典型激光器速率方程 表征激光器腔内光子数和工作物质各有关能级 上的原子数随时间变化的微分方程组,称为激 光器速率方程组( rate equations) ·归纳共性,针对一些简化的、具有代表性的模 型列出速率方程组,所谓的三能级和四能级系 统。 激光速率方程理论的出发点是原子的自发辐射、 受激辐射和受激吸收概率的基本关系式

深圳大学电子科学与技术学院 3.4 典型激光器速率方程 • 表征激光器腔内光子数和工作物质各有关能级 上的原子数随时间变化的微分方程组，称为激 光器速率方程组(rate equations)。 • 归纳共性，针对一些简化的、具有代表性的模 型列出速率方程组，所谓的三能级和四能级系 统。 • 激光速率方程理论的出发点是原子的自发辐射、 受激辐射和受激吸收概率的基本关系式

深圳大学电子科学与技术学院 爱因斯坦采用唯象法得到光和物质 相互作用的关系式 dt (-2)=W2n2,W21=B21P )x=W12n1,W12=B2P, A,18丌h B,=3=n,hv,B2f1=B22

深圳大学电子科学与技术学院 1 爱因斯坦采用唯象法得到光和物质 相互作用的关系式 21 21 2 21 21 2 21 21 12 12 1 12 12 3 21 3 12 1 21 2 21 ( ) ( ) , ( ) , 8 , sp st st dn A n dt dn W n W B dt dn W n W B dt A h n h B f B f B c         = = = = = = = =

深圳大学电子科学与技术学院 2考虑线型函数后必要的修正 线型函数可以理解为跃迁概率按频率的分布函数 (v)=P8(vW)=n2hv4218(v,v)=n2hvA1() ()=428()41(=48(h)b=4 A21(V)表示在总自发跃迁概率A2中,分配在频率v处单 位频率内的自发跃迁概率;W2)表示在辐射场p作用 下的总受激跃迁概率W2中,分配在频率处单位频率 内的受激跃迁概率 B21()=B218(vv) A21(v) 8Th B 8Thv 8Tchv'g(v,vo W21(v)=B21(v)p,=B28(v,v)

深圳大学电子科学与技术学院 2 考虑线型函数后必要的修正 线型函数可以理解为跃迁概率按频率的分布函数             ( , ) ~ ( ) ( ) ( ) 8 ( , ) ~ ( ) 21 21 21 0 3 21 3 21 21 0 W B B g A h c B B g = = = = ( , ) ( ) ~ ( , ) ~ ( ) P  = Pg   0 = n2 h 0 A2 1g   0 = n2 h 0 A2 1  ( , ) ~ ( ) A21  = A21g   0 ( , ) ~ ( ) 8 8 0 21 3 3 3 21 3 21        g A h c A h c B = = 21 21 0 21 ( , ) ~ A ( )d = A g d = A   + − + −      A21()表示在总自发跃迁概率A21中，分配在频率处单 位频率内的自发跃迁概率； W21()表示在辐射场作用 下的总受激跃迁概率W21中，分配在频率处单位频率 内的受激跃迁概率

深圳大学电子科学与技术学院 对表达式进行修正 +∞ (21)y=「m2A1(v)dv=n242 C ∫ 。g(,)dv 该积分与辐射场的带宽A有关 A:原子和连续光辐射场的相互作用,△v>△v B:原子和准单色光辐射场相互作用,△v<△v

深圳大学电子科学与技术学院    + − + − + − = = = =         n W d n B g  d dt dn n A d n A dt dn s t s p ( , ) ~ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 0 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 对表达式进行修正 该积分与辐射场的带宽有关。 A: 原子和连续光辐射场的相互作用， B: 原子和准单色光辐射场相互作用，      

深圳大学电子科学与技术学院 3原子和准单色光相互作用 ·由于激光的高度单色性,认为原子和准单色光相互 作用,辐射场的中心频率为v,带宽为△v,且 △v<<△v。被积函数只在中心频率v附近的一个极 窄范围内才有非零值。在此频率范围内,8(v,v)可 以近似看成不变。 引入8函数a、′=D8(y- p表示频率为v的准 单色光辐射场的总 能量密度,Jm3 p,av pd(v-vdv=p d s, =n, B2] g(v' vo)pS(v'-v)dv'=n,B1g(v,vo)p

深圳大学电子科学与技术学院 3 原子和准单色光相互作用 • 由于激光的高度单色性，认为原子和准单色光相互 作用，辐射场 的中心频率为 ，带宽为，且 << 。被积函数只在中心频率附近的一个极 窄范围内才有非零值。在此频率范围内， 可 以近似看成不变。 • 引入函数 =(-)       ( , ) ~ ( , ) ( ) ~ ( ) 2 2 1 0 2 2 1 0 2 1 n B g d n B g dt dn s t =   −  =  + − 表示频率为的准 单色光辐射场的总 能量密度，Jm-3          + − + − d  = ( − )d  = ( , ) ~   0 g 

深圳大学电子科学与技术学院 ·在频率为ν单色辐射场的作用下,受激跃迁概率为 W21=B2(v,v)W2=B128(vv)O 由于谱线加宽,和原子相互作用的单色光的频 率ν并不一定要精确等于原子发光的中心频率v 才能产生受激跃迁,而是在v=v附近一个频率 范围内都能产生受激跃迁。在v=v时跃迁几率 最大;当v偏离v时,跃迁几率急剧下降。 激光器内p与第模内的光子 W21=21(v,v)MN 数密度N的关系为p=Nhv W12=a12(v,v0)U υ为工作物质中的光速

深圳大学电子科学与技术学院 • 在频率为的单色辐射场的作用下，受激跃迁概率为 21 21 0 W B g = ( , )    l l W N W N         ( , ) ( , ) 12 12 0 21 21 0 = = 由于谱线加宽，和原子相互作用的单色光的频 率并不一定要精确等于原子发光的中心频率0 才能产生受激跃迁，而是在=0附近一个频率 范围内都能产生受激跃迁。在=0时跃迁几率 最大；当偏离0时，跃迁几率急剧下降。 激光器内ρ与第l模内的光子 数密度Nl的关系为ρ= Nlh 为工作物质中的光速 12 12 0 W B g = ( , )   

深圳大学电子科学与技术学院 4发射截面和吸收截面 o2(v,v)和o12(Vv)分别称为发射截面和吸 收截面,它们具有面积的量纲 21 8z128(v,v)中心频率处的发射截面与吸 收截面最大。当v=v时,均 匀加宽物质和非均匀加宽物 187128(v,v)质的发射截面分别为 In 204 21 4x2v2△vn 21 △ 洛伦兹线型 高斯线型

深圳大学电子科学与技术学院 4 发射截面和吸收截面 ( , ) ~ 8 ( , ) ( , ) ~ 8 ( , ) 2 0 0 2 2 1 1 2 1 2 0 2 0 0 2 2 1 2 1 0                 g A f f g A = = H D A A            =  = 2 0 3 2 2 1 2 2 2 1 0 2 2 1 2 2 1 4 ln 2 , 4 • 21(,0 )和12(,0 )分别称为发射截面和吸 收截面，它们具有面积的量纲 中心频率处的发射截面与吸 收截面最大。当=0时，均 匀加宽物质和非均匀加宽物 质的发射截面分别为 洛伦兹线型 高斯线型

深圳大学电子科学与技术学院 A218(v,vo)x A2g(v,vo) A218(v,v 8丌 Ny Hn=a1=28()n;为腔内第模内的总光子数 nx:腔内单位体积中频率处于ν附近单位频率间隔内 的光波模式数 得到:一个模式内的一个光子引起的受激跃迁 概率等于分配到同一模式上的自发跃迁几率 W, =an. w anI

深圳大学电子科学与技术学院 l l nl n V A g N V n V A g N n A g W        ( , ) ~ ( , ) ~ ( , ) ~ 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 = = = n V A g a n W l l  ( , ) ~ 21 21 0 = = nl为腔内第l模内的总光子数 得到：一个模式内的一个光子引起的受激跃迁 概率等于分配到同一模式上的自发跃迁几率。 l l al nl f f W a n W 1 2 21 12 = , = n：腔内单位体积中频率处于附近单位频率间隔内 的光波模式数 3 2 8 c n   =

深圳大学电子科学与技术学院 对W21作出近似计算 设谱线的总自发辐射跃迁概率为Ay1,谱线 宽度为Av,并假设A21均匀分配在△v所包含 的所有模式上,则分配在一个模式上的自发 辐射跃迁几率为 n.T△v 21 n.Vvn.△v f 2 a,n, f2 ab r 12 f 21 fn,V△vf1n,△v

深圳大学电子科学与技术学院 • 对W21作出近似计算 • 设谱线的总自发辐射跃迁概率为A21，谱线 宽度为，并假设A21均匀分配在所包含 的所有模式上，则分配在一个模式上的自发 辐射跃迁几率为   = n V A al 21 l l N n A n V A n W     =  = 2 1 2 1 2 1     =  = = n A N f f n V A n f f W f f W l 2 1 l 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2

深圳大学电子科学与技术学院 5单模振荡速率方程组 能级系统速率方程组:各能级集居数随时间 变化的方程和激光器腔内的光子数密度随时间 变化的规律 n为单位体积 句W3-(S2+A31) 工作物质内的 an 总粒子数,第 W12-n2W21-n2(S21+A21) +n332 个模式的光 dt 子寿命为τg n1+n2+n2=n 工作物质长度 等于腔长L。 ash2W1-nB、Ny RI

深圳大学电子科学与技术学院 5 单模振荡速率方程组 三能级系统速率方程组：各能级集居数随时间 变化的方程和激光器腔内的光子数密度随时间 变化的规律 R l l W Nl n W n dt dN n n n n nW n W n S A n S dt dn nW n S A dt dn  = − − + + = = − − + + = − + 2 2 1 1 1 2 1 2 3 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 3 3 2 2 1 1 3 3 3 2 3 1 3 ( ) ( ) n为单位体积 工作物质内的 总粒子数，第 l个模式的光 子寿命为Rl， 工作物质长度 l等于腔长L