第四章方差分析 方差分析是一种特殊的假设检验,是判断多组数据之间平均数差异是否显著的。对多组 数据若仍用前一章中的t检验一对对比较,会大大增加犯第一类错误的概率。例如有5组数 据要比较,则共需比C5210次。若H正确,每次接受的概率为1-a=0.95,10次 都接受为0.95≈0.60,因此a′=1-0.60=0.40,即全部比较中至少犯一次第一类错误的概 率为0.40,这显然是不能接受的。方差分析则是把所有这些组数据放在一起,一次比较就 对所有各组间是否有差异作出判断。如果没有显著差异,则认为它们都是相同的;如发现有 差异,再进一步比较是哪组数据与其他数据不同。这样,就避免了使a大大增加的弊病。下 面我们先介绍一些方差分析中要用到的术语。 1.因素可能影响试验结果,且在试验中被考查的原因或原因组合。有时也可称为因子。例 如温度、湿度、药物种类等 2.水平因素在试验或观测中所处的状态。例如温度的不同值,药物的不同浓度等。 3.主效应反映一个因素各水平的平均响应之差异的一种度量。一个因子第i水平上所有数 据的平均与全部数据的平均之差,称为该因子第i水平的主效应 4.交互效应由两个或更多因素之间水平搭配而产生的差异的一种度量。 5.处理实验中实施的因子水平的一个组合。 6.固定因素该因素的水平可准确控制,且水平固定后,其效应也固定。例如温度,化学药 物的浓度,动植物的品系,等等。 7.随机因素该因素的水平不能严格控制,或虽水平能控制,但其效应仍为随机变量。例如 动物的窝别(遗传因素的组合),农家肥的效果,等等 8.误差除了实验中所考虑的因素之外,其他原因所引起的实验结果的变化。它可分为系统 误差和随机误差: 系统误差:误差的组成部分,在对同一被测量的多次测试中,它保持不变或按某种规律变 化。它的原因可为已知,也可为未知,但均应尽量消除。 随机误差:误差的组成部分,在对同一被测量的多次测试中,它受偶然因素的影响而以不 可预知的方式变化。它无法消除或修正。 §4.1单因素方差分析 单因素方差分析是指我们需要研究的因素只有一个,这一因素可以有几个不同的水平 我们的目标就是要看看这些水平的影响是否相同。为了在有随机误差的情况下进行比较,各 水平都应有一定数量的重复 为方便表述,我们对数据给出一种固定的表示法 因素的水平数 n:每一水平的重复数 x:第i水平的第j次观察值。1≤i≤a,1≤j≤n 第i水平所有观察值的和 x=-x.,第i水平均值
第四章 方差分析 方差分析是一种特殊的假设检验，是判断多组数据之间平均数差异是否显著的。对多组 数据若仍用前一章中的 t 检验一对对比较，会大大增加犯第一类错误的概率。例如有 5 组数 据要比较，则共需比 10 2 2 5 4 5 = C = 次。若 H0 正确，每次接受的概率为 1-α=0.95,10 次 都接受为 0.9510≈0.60,因此α′=1-0.60=0.40，即全部比较中至少犯一次第一类错误的概 率为 0.40，这显然是不能接受的。方差分析则是把所有这些组数据放在一起，一次比较就 对所有各组间是否有差异作出判断。如果没有显著差异，则认为它们都是相同的；如发现有 差异，再进一步比较是哪组数据与其他数据不同。这样，就避免了使α大大增加的弊病。下 面我们先介绍一些方差分析中要用到的术语。 1. 因素 可能影响试验结果，且在试验中被考查的原因或原因组合。有时也可称为因子。例 如温度、湿度、药物种类等。 2. 水平 因素在试验或观测中所处的状态。例如温度的不同值，药物的不同浓度等。 3. 主效应 反映一个因素各水平的平均响应之差异的一种度量。一个因子第 i 水平上所有数 据的平均与全部数据的平均之差，称为该因子第 i 水平的主效应 4. 交互效应 由两个或更多因素之间水平搭配而产生的差异的一种度量。 5. 处理 实验中实施的因子水平的一个组合。 6. 固定因素 该因素的水平可准确控制，且水平固定后，其效应也固定。例如温度，化学药 物的浓度，动植物的品系，等等。 7. 随机因素 该因素的水平不能严格控制，或虽水平能控制，但其效应仍为随机变量。例如 动物的窝别（遗传因素的组合），农家肥的效果，等等。 8. 误差 除了实验中所考虑的因素之外，其他原因所引起的实验结果的变化。它可分为系统 误差和随机误差： 系统误差：误差的组成部分，在对同一被测量的多次测试中，它保持不变或按某种规律变 化。它的原因可为已知，也可为未知，但均应尽量消除。 随机误差：误差的组成部分，在对同一被测量的多次测试中，它受偶然因素的影响而以不 可预知的方式变化。它无法消除或修正。 §4.1 单因素方差分析 单因素方差分析是指我们需要研究的因素只有一个，这一因素可以有几个不同的水平， 我们的目标就是要看看这些水平的影响是否相同。为了在有随机误差的情况下进行比较，各 水平都应有一定数量的重复。 为方便表述，我们对数据给出一种固定的表示法： a：因素的水平数 n：每一水平的重复数 xij：第 i 水平的第 j 次观察值。1≤i≤a, 1≤j≤n = = n i i i j x x 1 . , 第 i 水平所有观察值的和 . 1 . i i x n x = ，第 i 水平均值
∑∑x全部观察值的和 ,总平均值 x)2,第i水平上的子样方差 方差分析中,我们用以下的线性统计模型描述每一观察值: (4.1) 其中μ:总平均数:a:i水平主效应;E:随机误差。要求~N(0,02),且互相独立。注意 这里要求各水平有共同的方差02 单因素方差分析的目的就是检验各∝是否均相同。由于因素可分为固定因素和随机因 素,它们会对方差分析的过程产生不同的影响,我们分别加以讨论 、固定因素模型: 例4.1用4种不同的配合饲料饲养30日令的小鸡,10天后计算平均日增重,得以下数据 表4.1不同饲料日增重值 日增重值X 6158526870 4种饲料的效果是否相同? 例41是固定因素模型,因为在配合饲料中,每种饲料的营养成份是固定的,它的效果 也应是固定的。反映到线性模型中,就是α1是常数,且可要求 a1=0 (4.2) 这种对a1的限制并没有失去一般性,这是因为根据(41)式,如果各G之和H不为0,则 我们可把其和数移到总平均数u中去,即令∝1′=0-H,从而使新的a1′之和为0。同时, 也只有新的a1′才符合前述主效应的定义 固定模型的统计假设为:H:a1=0,i=1,2……a HA:a1≠0,至少对某一i 方差分析的基本思想,就是将总变差分解为各构成部分之和,然后对它们作统计检验。 ∑∑(x,-+-x
= = = a i n i ij x x 1 1 .. 全部观察值的和 .. 1 .. x an x = ，总平均值 = • − − = n i i ij i x x n S 1 2 2 ( .) 1 1 ，第 i 水平上的子样方差。 方差分析中，我们用以下的线性统计模型描述每一观察值： xij=+i+ij, i=1, 2 …… a, j=1, 2, …… n （4.1） 其中：总平均数；i：i 水平主效应；ij：随机误差。要求ij ~N(0,σ2 )，且互相独立。注意 这里要求各水平有共同的方差σ2。 单因素方差分析的目的就是检验各i 是否均相同。由于因素可分为固定因素和随机因 素，它们会对方差分析的过程产生不同的影响，我们分别加以讨论。 一、固定因素模型： 例 4.1 用 4 种不同的配合饲料饲养 30 日令的小鸡，10 天后计算平均日增重，得以下数据： 表 4.1 不同饲料日增重值 饲料 日增重值 Xij 1 55 49 62 45 51 2 61 58 52 68 70 3 71 65 56 73 59 4 85 90 76 78 69 4 种饲料的效果是否相同？ 例 4.1 是固定因素模型，因为在配合饲料中，每种饲料的营养成份是固定的，它的效果 也应是固定的。反映到线性模型中，就是i 是常数，且可要求 = = a i ai 1 0 , (4.2) 这种对i 的限制并没有失去一般性，这是因为根据(4.1)式，如果各i 之和 H 不为 0，则 我们可把其和数移到总平均数中去，即令i ′= i –H，从而使新的i ′之和为 0。同时， 也只有新的i ′才符合前述主效应的定义。 固定模型的统计假设为：H0：αi = 0, i = 1, 2 …… a HA: αi ≠ 0, 至少对某一 i 方差分析的基本思想，就是将总变差分解为各构成部分之和，然后对它们作统计检验。 即： = = = = = − + − − a i n j i j i i a i n i i j x x x x x x 1 1 2 . 1 1 2 ( ..) ( ..)
∑ (x1-x)+2(x-x.一x)+(工-王 ∑∑(x-x)2 (x-.,)+2∑∑(x,-xx一x) 由于 (x-x)x-2) ∑ (x-x.)·【(x1-x1) 0 用符号表示,上式可写成: 44) 其中符号的意义为: SSr:总平方和; SSA处理间平方和; SSe:误差平方和,或处理内平方和 它们的自由度分别为an-1,a-1和an-1),即自由度也作了相应分解: 令MS:"以(n-1) ,称为误差均方:M 称为处理间均方;则它们的数学期 望分别为: E(MSe) E (x,-x)2] +a +e a. -8 E∑∑(En-1)] C∑∑(6-26nE1+82)
由于 0 ( ..) [( )] ( ..) ( ) ( )( ..) 1 . . . 1 1 . . . 1 1 . = = − − = − − − − = = = = = a i i i i a i n j i ij i i a i n j ij i x x x x x x x x x x x x ∴ = = = = − = − + − a i a i n j i ij i a i ij x x n x x x x 1 1 1 2 . 2 . 1 2 ( ..) ( ..) ( ) (4.3) 用符号表示，上式可写成： SST = SSA + SSe (4.4) 其中符号的意义为： SST：总平方和； SSA 处理间平方和； SSe：误差平方和，或处理内平方和。 它们的自由度分别为 an–1, a–1 和 a(n–1)，即自由度也作了相应分解： an – 1 = a –1 + a(n – 1) 令 ( −1) = a n SS MS e e ，称为误差均方； −1 = a SS MS A A ，称为处理间均方；则它们的数学期 望分别为： [ ( 2 )] 1 [ ( ) ] 1 [ ( ) ] 1 [ ( ) ] 1 ( ) 1 ( ) 1 1 2 . . 2 1 1 2 . 1 1 2 . 1 1 2 . = = = = = = = = − + − = − − = + + − − − − = − − = − = a i n j i j i j i i a i n i i j i a i n i i i j i i a i n j i j i e e E an a E an a E an a E x x an a E SS na a E MS [( ) ( ..) 2 ( )( ..)] [( ) 2( )( ..) ( ..) ] 1 1 1 1 1 1 2 2 . 1 1 2 . 2 . = = = = = = = = = − + − + − − = − + − − + − a i n j a i n j i j i i a i n j i j i i a i n j i j i i j i i i x x x x x x x x x x x x x x x x
∑∑ ∑2 an-a E∑∑2-n∑E](:E(En)=0,…E(2)=a2) an-a (ana2-m.0) an-a E(MS) E(SS,) E∑∑(x-x.,)] i=1j=1 En2(4+ a-g)2] (E1-E.)+(a1-a) E∑(1-.)+2∑(-E.)(a1-a)+∑(an-a)2 E(s)=0a为常数,且∑a=0 ∴原式 E∑(2-2EE+E.2)+ E∑(E)2-aE(E2)+∑ a-I(q na a-1 从这两个数学期望来看,我们给MS。和MS3起的名字是有道理的。MS。的期望是o2,即随 机误差E的方差,说明它就是随机误差的一个估计量:而Ms的期望是a2+”,∑x2, 除了有代表随机误差的σ2外,还有一项是各水平主效应的平方和,即它代表了各处理间差 异的大小。 若H成立,则有:a:=0,i=1,2, a;此时E(MS)=σ2;若H不成立,则E(MS)>0 令
2 2 2 2 2 1 1 1 2 . 2 1 1 1 1 2 . . 1 2 ( ) 1 [ ] ( ( ) 0, ( ) ) 1 [ 2 ] 1 = − − = − = = − = − + − = = = = = = = = = n an na an a E n E E an a E n an a i j i j a i n j a i i j i a i n j n j a i i i j i a i i j [ ( ..) 2 ( ..) ( ) ( ) ] 1 [( ..) ( )] 1 [ ( ..) ] 1 1 [ ( ..) ] 1 1 ( ) 1 1 ( ) 1 1 1 2 . 2 . 1 2 1 2 . 1 1 2 . = = = = = = = − + − − + − − = − + − − = + + − − − − = − − = − = a i a i a i i i i i a i i i a i i i a i n j i A A E a n E a n E n a E x x a E SS a E MS ∵E(ij)=0, i 为常数，且 = = a i i 1 0 ∴ 原式 = = − = − + + − a i i a i i i a n E a n 1 2 1 2 . 2 . 1 [ ( 2 .. .. )] 1 = = = = − = + − − + − = − − + − = a i i a i i a i i a i i a n a n na a n a a n a n E a E a n 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 .. 2 . 1 1 ( ) 1 1 [ ( ) ( )] 1 从这两个数学期望来看，我们给 MSe和 MSA 起的名字是有道理的。MSe 的期望是σ2，即随 机误差ε的方差，说明它就是随机误差的一个估计量；而 MSA 的期望是 − = + a i i a n 1 2 2 1 ， 除了有代表随机误差的σ2 外，还有一项是各水平主效应的平方和，即它代表了各处理间差 异的大小。 若 H0 成立，则有：αi=0,i=1,2,…… a;此时 E(MSA)=σ2；若 H0 不成立，则 E(MSA)>σ2 , 令
S F (4.5) 则当H成立时,F~F(a1,na-a);否则F值有偏大的趋势。因此可用F分布表对Ho是否成立 进行上单尾检验。 方差分析的计算是比较繁杂的,因此常使用计算机进行计算。公式为 现在的计算器常有统计功能,利用这样的计算器也可大大简化计算。步骤为: 1°把每一水平视为一个小样本,先求出它们的样本均值和样本方差,即x,S2。 2°把所有x视为一个样本,求出它的样本方差S2,则 MSA=n·S 3s=(n-n∑s,或AS=Ss2 现在我们来计算例4.1(使用带统计功能的计算器) 例4.1解:用计算器求出各处理的平均数和子样方差及平均数的子样方差: 饲料 4 ∑S2 52461.864.8796127.24 41.8 542663 216.5 代入(48)、(4.9)式,得:MSA=5×12724=636.2,MSe=216.5/4=54125 FA∥ A=11.754 查F分布表,得:F09(3,16)=324,Fo993,16)=529 ∵F>F09,∴拒绝H,差异极显著。即:这4种饲料的增重效果差异极显著。 这就是方差分析中最简单的单因素固定模型的分析方法。对固定模型来说,如果结果是 差异显著,一般还应进行多重比较,具体方法稍后介绍。从这一分析过程中可以很清楚地看 到方差分析的基本思想,那就是不再对数据进行一对对的比较,而是对总体的方差进行分解, 首先分离出随机误差所导致的变差,然后再将处理所引起的变差与它相比较,如果处理的变 差明显大于随机误差,则说明各水平间的差异不能用随机误差解释,应认为各水平间有明显 差异:否则则说明各水平间的不同可以认为是随机误差引起,即各水平间没有差异。这样就 对多组实验之间的差异一次完成了检验,从而避免了多次检验引起的犯错误可能大大升高的 问题。下面我们再来看看如果因素的效果是随机的,对方差分析的过程将产生什么影响
e A MS MS F = （4.5） 则当 H0 成立时，F ~ F(a-1, na-a)；否则 F 值有偏大的趋势。因此可用 F 分布表对 H0 是否成立 进行上单尾检验。 方差分析的计算是比较繁杂的，因此常使用计算机进行计算。公式为： = = = − a i n j T ij na x SS x 1 1 2 2 .. (4.6) = = − a i A i na x x n SS 1 2 2 .. . 1 (4.7) SSe = SST − SSA 现在的计算器常有统计功能，利用这样的计算器也可大大简化计算。步骤为： 1°把每一水平视为一个小样本，先求出它们的样本均值和样本方差，即 2 . , i Si x 。 2°把所有 i. x 视为一个样本，求出它的样本方差 2 x S ，则 2 MS A n Sx = (4.8) 3° = = − a i SSe n Si 1 2 ( 1) ，或 = = a i e Si a MS 1 1 2 ， (4.9) 现在我们来计算例 4.1（使用带统计功能的计算器）： 例 4.1 解：用计算器求出各处理的平均数和子样方差及平均数的子样方差： 饲料 1 2 3 4 2 x S = a i i S 1 2 i. x 52.4 61.8 64.8 79.6 127.24 2 i S 41.8 54.2 54.2 66.3 216.5 代入(4.8)、(4.9)式，得：MSA = 5×127.24 = 636.2, MSe = 216.5/4 = 54.125, = = 11.754 e A MS MS F 查 F 分布表，得：F0.95(3, 16) = 3.24, F0.99(3, 16) = 5.29 ∵ F>F0.99，∴拒绝 H0，差异极显著。即：这 4 种饲料的增重效果差异极显著。 这就是方差分析中最简单的单因素固定模型的分析方法。对固定模型来说，如果结果是 差异显著，一般还应进行多重比较，具体方法稍后介绍。从这一分析过程中可以很清楚地看 到方差分析的基本思想，那就是不再对数据进行一对对的比较，而是对总体的方差进行分解， 首先分离出随机误差所导致的变差，然后再将处理所引起的变差与它相比较，如果处理的变 差明显大于随机误差，则说明各水平间的差异不能用随机误差解释，应认为各水平间有明显 差异；否则则说明各水平间的不同可以认为是随机误差引起，即各水平间没有差异。这样就 对多组实验之间的差异一次完成了检验，从而避免了多次检验引起的犯错误可能大大升高的 问题。下面我们再来看看如果因素的效果是随机的，对方差分析的过程将产生什么影响
二、随机因素模型 例42随机选取4窝动物,每窝均有4只幼仔,其出生重见表42。不同窝出生重差异是否 显 表42动物出生重(g) 窝别 出生重X 34733326231.6 33.226.028.632.3 27.123.3278267 32.931.425.728.0 例42是随机因素模型,因为动物的窝别是无法控制的,也无法重复,它的效果是无法 预料的。随机因素的影响首先体现在线性统计模型中,它的表达式仍为: xj=+a+Ei,i=1,2,……a,j=1,2,……n 但由于各水平的效应无法预料,现在α不再能视为常数,而是随机变量了。即 a~MDO,Ga),~ND(0,0)ND意为独立正态分布) 此时一般Σa:=0不再成立,统计假设相应变为 H4:G2>0 这样,当H成立时,自然有a1=0,i=1,2,…a:若不成立,则作为从N(0,a2)中抽取 的样本,各α1不可能都相同,当然也不可能均为0。此时它们的和一般也不会是0。 对于随机模型,总平方和与自由度的分解与固定模型是相同的,因为在证明平方和分解 的过程中没有用到线性统计模型,因此因素类型的变化不会影响总平方和的分解。MSe的期 望也没有变,因为这些推导过程中也没有使用a1的性质。但MSA的期望变了,因为a1不再是 常数,a也不再为0 E(11≈1 E(SS) e(x-x 2 a (E1-g.)+(a1-a) .-E)2+2∑-E)(a1-a)+∑a 由于各a1与各相互独立,上式的交叉项期望为零。因此有: 原式 ∑(-E)2 ED∑E2-aE2 n ED n σ-+n0
二、随机因素模型 例 4.2 随机选取 4 窝动物，每窝均有 4 只幼仔，其出生重见表 4.2。不同窝出生重差异是否 显著？ 表 4.2 动物出生重（g） 窝别 出生重 Xij 1 34.7 33.3 26.2 31.6 2 33.2 26.0 28.6 32.3 3 27.1 23.3 27.8 26.7 4 32.9 31.4 25.7 28.0 例 4.2 是随机因素模型，因为动物的窝别是无法控制的，也无法重复，它的效果是无法 预料的。随机因素的影响首先体现在线性统计模型中，它的表达式仍为： xij = +i+ij, i=1, 2, ……a, j=1, 2, ……n 但由于各水平的效应无法预料，现在i 不再能视为常数，而是随机变量了。即： ~ (0, ), ~ (0, ) 2 2 i NID ij NID (NID 意为独立正态分布) 此时一般Σi=0 不再成立,统计假设相应变为: H0: 2 =0 HA: 2 >0 这样,当 H0 成立时,自然有i =0,i=1, 2, ……a；若不成立，则作为从 N( 2 0, )中抽取 的样本，各i 不可能都相同，当然也不可能均为 0。此时它们的和一般也不会是 0。 对于随机模型，总平方和与自由度的分解与固定模型是相同的，因为在证明平方和分解 的过程中没有用到线性统计模型，因此因素类型的变化不会影响总平方和的分解。MSe 的期 望也没有变，因为这些推导过程中也没有使用i 的性质。但 MSA 的期望变了，因为i 不再是 常数， 也不再为 0。 ( ) = = = = = − + − − + − − = − + − − = − − = − = a i a i a i i i i i a i i i a i A A i E a n E a n E x x a n E SS a E MS 1 1 1 2 . 2 . 1 2 2 1 . [ ( ..) 2 ( ..) ( ) ( ) 1 [( ..) ( )] 1 [ ( ..) ] 1 1 1 ( ) 由于各i 与各 εij 相互独立，上式的交叉项期望为零。因此有： 原式 [ ( ..) ( ) ] 1 1 1 2 2 . = = − + − − = a i a i E i E i a n 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 .. 2 . ( ) 1 ( ) 1 [ ] 1 [ ] 1 n a a a a n an a n a a n E a a n E a a n a i i a i i = + − − − + − = − − − + − = = =
从上述均方期望可看出,若H成立,仍有: F F(a-1,a(n-1)) 而当H成立时,F值仍有偏大的趋势。因此仍可用F分布表作上单尾检验。但这时对结果的 解释却不同了。在固定模型中,结论只适用于检查的那几个水平。而在随机模型中由于是 σ2=0,因此结论可推广到这一因素的一切水平。 现在来计算例42 例42解:计算各处理平均数和方差,以及平均数的方差,填入下表 窝别 2 31.45 30.02526225 29.50 4.88 13.86 11.16 4.01 10.62 39.65 代入(4.8),(4.9)式,得 MSA=n·S2=4×4.88=1952 MS=S 49913 MS A=1.969 查F分布表,得:F09(3,12)=3.490∵F<Fs,∴接受H,可认为出生重无显著差异。 从上述分析过程可知,当因素从固定变为随机后,其影响主要表现在改变了统计模型中 参数a1的性质,使它从常数变成了随机变量。这样一来,所有涉及a1的地方都有了明显改变 包括统计假设H和H,均方期望E(MS),以及最后的解释。对单因素方差分析来说,因素 类型的变化没有影响统计量的计算与检验过程,这是与两个及更多因素方差分析不同之处 另外,由于随机因素的水平不能重复,因此多重比较也就变成没有意义的了。 三、不等重复时的情况 方差分析的数据都是按照精心设计的实验方案收集来的,一般来说各水平应有相同的重 复数。但若实验过程中由于某种原因丢失了一个或几个数据,又无法重做实验弥补,此时就 变成各水平有不同的重复数了。在这种情况下上述方差分析的方法仍然可用,但计算公式及 自由度都要作相应变化。令N=∑n,则总自由度变为N1,S的自由度仍为a-1,s 的自由度变为N-a。(4.6),(4.7)式相应变为 (4.11) 用计算器的计算方法也应改为:
从上述均方期望可看出，若 H0 成立，仍有： = ~ F(a −1, a(n −1)) MS MS F e A 而当 HA 成立时，F 值仍有偏大的趋势。因此仍可用 F 分布表作上单尾检验。但这时对结果的 解释却不同了。在固定模型中，结论只适用于检查的那几个水平。而在随机模型中由于是 2 =0，因此结论可推广到这一因素的一切水平。 现在来计算例 4.2: 例 4.2 解：计算各处理平均数和方差，以及平均数的方差，填入下表： 窝别 1 2 3 4 2 Sx 2 Si i. x 31.45 30.025 26.225 29.50 4.88 2 i S 13.86 11.16 4.01 10.62 39.65 代入(4.8), (4.9)式，得 4 4.88 19.52 2 MS A = n Sx = = = = = = a i e Si a MS 1 2 9.913 4 1 39.65 = = 1.969 e A MS MS F 查 F 分布表，得：F0.95(3, 12)=3.490 ∵ F<F0.95,∴接受 H0，可认为出生重无显著差异。 从上述分析过程可知，当因素从固定变为随机后，其影响主要表现在改变了统计模型中 参数i 的性质，使它从常数变成了随机变量。这样一来，所有涉及i 的地方都有了明显改变， 包括统计假设 H0 和 HA，均方期望 E(MSA)，以及最后的解释。对单因素方差分析来说，因素 类型的变化没有影响统计量的计算与检验过程，这是与两个及更多因素方差分析不同之处。 另外，由于随机因素的水平不能重复，因此多重比较也就变成没有意义的了。 三、不等重复时的情况。 方差分析的数据都是按照精心设计的实验方案收集来的，一般来说各水平应有相同的重 复数。但若实验过程中由于某种原因丢失了一个或几个数据，又无法重做实验弥补，此时就 变成各水平有不同的重复数了。在这种情况下上述方差分析的方法仍然可用，但计算公式及 自由度都要作相应变化。令 = = a i N ni 1 ，则总自由度变为 N-1，SSA 的自由度仍为 a-1, SSe 的自由度变为 N-a。(4.6),(4.7)式相应变为 = = = − a i n j T ij i N x SS x 1 1 2 2 .. (4.10) N x n x SS a i i i A .. 2 1 2 . = − = (4.11) 用计算器的计算方法也应改为：
1°计算每一处理的样本方差S2 2°全部样本放在一起,计算总样本方差S 3°SS-=(N-1)·S2 S=∑(n2-1)S2 5°SSA=SSr-SS (4.13) 四、多重比较 固定模型拒绝H时,并不意味着所有处理间均存在差异。为弄清哪些处理间有差异,需 对所有水平作一对一的比较,即多重比较。常用的多重比较方法有以下几种 1.最小显著差数(LSD)法:实际就是用t检验对所有平均数作一对一对的检验。一般情况下 各水平重复数n相等,用M作为a2的估计量,可得: =3)=1AS(+)≈2Asy 统计量为: cltan-a 2MS./n 因此当 x|>t√2MS/n (4.14) 时,差异显著。t分位数的自由度df=a(n-1) 1o3y2MS/n即为最小显著差数,记为LSD。所有比较仅需计算一个ISD,应 用很方便。但由于又回到了多次重复使用t检验的方法,会大大增加犯第一类错误的概 率。为了克服这一缺点,人们提出了多重范围检验的思想:即把平均数按大小排列后, 对离得远的平均数采用较大的临界值R。这一类的方法主要有 Dun can法和 Newman-Keul 。后者又称为q法。现介绍如下: 2. Duncan法: Duncan法步骤如下 把需比较的a个平均数从大到小排好 x1≥x22 2°求出各对差值,并列成表 表4.3a个均值间的差值表 x2-X。x2-X X-X 2xn2-x。x X-X
1°计算每一处理的样本方差 2 i S 2°全部样本放在一起，计算总样本方差 S 2 3°SST =（N-1）·S 2 4° 2 1 ( 1) = = − i a i SSe ni S (4.12) 5°SSA = SST - SSe (4.13) 四、多重比较 固定模型拒绝 H0 时，并不意味着所有处理间均存在差异。为弄清哪些处理间有差异，需 对所有水平作一对一的比较，即多重比较。常用的多重比较方法有以下几种： 1. 最小显著差数(LSD)法：实际就是用 t 检验对所有平均数作一对一对的检验。一般情况下 各水平重复数 n 相等，用 MSe 作为 2 的估计量，可得： n MS n n S MS e i j x x e i j 2 ) 1 1 ( ( − ) = + = 统计量为： ~ ( ) 2 / t an a MS n x x t e i j − − = 因此当 xi − x j t 0.975 2MSe / n (4.14) 时，差异显著。t 分位数的自由度 df = a(n-1)。 t 0.975 2MSe / n 即为最小显著差数，记为 LSD。所有比较仅需计算一个 LSD，应 用很方便。但由于又回到了多次重复使用 t 检验的方法，会大大增加犯第一类错误的概 率。为了克服这一缺点，人们提出了多重范围检验的思想：即把平均数按大小排列后， 对离得远的平均数采用较大的临界值R。这一类的方法主要有Duncan法和Newman-Keul 法。后者又称为 q 法。现介绍如下： 2. Duncan 法： Duncan 法步骤如下： 1°把需比较的 a 个平均数从大到小排好： a x x x 1 2 2°求出各对差值，并列成表： 表 4.3 a 个均值间的差值表 a a-1 ………… 3 2 1 2 … a-2 a-1 X1 − Xa X 2 − X a … X a−2 − X a X a−1 − X a X1 − X a−1 X 2 − X a−1 … X a−2 − X a−1 ………… ………… … X1 − X3 X 2 − X3 X1 − X2
求临界值Rka=ya(k,d0)·Sz,K=2,3……a (4.15) 其中a=0.05或0.01,k表示两平均数在位次上的差别,即若差为x1-x;,则k=j-i+1 因此相邻二平均数k值为2,隔一个为3,余类推。S=√MS。/n,df为Ms的自由度。 ya(k,d)的值需查专门表格。最后把求得的临界Ra列成下表: 表4.4多重检验临界值表 Y0.05(2,df) Y0.01(2,df) R Yo.os(a, df) Yo or(a, df) 4°对差值表采用适当的R进行比较。差值表中每条对角线上的k值是相同的,可使用 同一个临界值R。差值大于Ro5,标以“*”;大于Rm则标“*”。若比较的两个水平重 复数不等,设为n,n,则可用它们的调和平均值n代替n。即: 此时 Rn=y(k,d),(+) (4.16 3. Newman-Q法。又称多重范围q检验。它的检验方法与 Duncan法完全相同,只是要查不 的系数表。它的系数表称为q值表 三种方法的比较: 比较 Duncan的r值表与q值表,可知当k=2时,yn=qn=√2·t。,此时三种检验法 是相同的。当k≥3时,三种方法临界值不同,其中LSD最小, Duncan法次之, Newman-Q 法最大。因此LSD法犯第一类错误概率最大, Duncan法次之, Newman-Kεu法最小,可按 照犯两类错误危害性大小选择适当的方法。一般来说, Duncan法最常用:若各水平均值只 需与对照比较,由于比较次数较少,可考虑选用LSD法。另外,只有F检验确认各平均数 间有显著差异后才可进行LSD法检验,而另两种方法则不一定,有时它们的结果也可能与 F检验不一致 例43对例4.1进行多重比较 解:前已算出:x=524,x2=61.8,x3=64.8,x=796, MSe=54.125,df=4×(5-1)=16 (1)最小显著差数法 查表,得to97s(16)=2.119,t09916)=2.9208 SD0s=to9(16)·√2MS/n=2.119×√2×54.125/5
3°求临界值 k df Sx R = (k, ) , ,K=2,3……a。 (4.15) 其中α=0.05 或 0.01，k 表示两平均数在位次上的差别，即若差为 i j x − x ，则 k=j-i+1。 因此相邻二平均数 k 值为 2，隔一个为 3，余类推。 Sx = MSe / n ，df 为 MSe 的自由度。 (k,df ) 的值需查专门表格。最后把求得的临界 Rk , 列成下表： 表 4.4 多重检验临界值表 K γ0.05 R0.05 γ0.01 R0.01 2 3 … a γ0.05(2,df) γ0.05(3,df) … γ0.05(a,df) R2,0.05 R3,0.05 … Ra,0.05 γ0.01(2,df) γ0.01(3,df) … γ0.01(a,df) R2,0.01 R3,0.01 … Ra,0.01 4°对差值表采用适当的 R 进行比较。差值表中每条对角线上的 k 值是相同的，可使用 同一个临界值 R。差值大于 R0.05，标以“*”； 大于 R0.01 则标“**”。若比较的两个水平重 复数不等，设为 ni, nj，则可用它们的调和平均值 nij 代替 n。即： ) 1 1 ( 2 1 1 nij ni nj = + , 此时 ) 1 1 ( 2 ( , ) , i j e k n n MS R = k df + （4.16） 3.Newman-Q 法。又称多重范围 q 检验。它的检验方法与 Duncan 法完全相同，只是要查不 同的系数表。它的系数表称为 q 值表。 三种方法的比较： 比较 Duncan 的 r 值表与 q 值表，可知当 k=2 时， 2 1 2 − = q = t a a ，此时三种检验法 是相同的。当 k≥3 时，三种方法临界值不同，其中 LSD 最小，Duncan 法次之，Newman-Q 法最大。因此 LSD 法犯第一类错误概率最大，Duncan 法次之, Newman-Keul 法最小，可按 照犯两类错误危害性大小选择适当的方法。一般来说，Duncan 法最常用；若各水平均值只 需与对照比较，由于比较次数较少，可考虑选用 LSD 法。另外，只有 F 检验确认各平均数 间有显著差异后才可进行 LSD 法检验，而另两种方法则不一定，有时它们的结果也可能与 F 检验不一致。 例 4.3 对例 4.1 进行多重比较。 解：前已算出： x1. = 52.4， x2. = 61.8， x3. = 64.8， x4. = 79.6， MSe = 54.125, df = 4×(5-1)=16 (1) 最小显著差数法： 查表，得 t0.975(16)=2.1199, t0.995(16)=2.9208 ∴ LSD0.05 = t0.975(16) 2MSe / n =2.1199× 254.125/ 5
2.1199×4.6530=9.8639 LSD 2.9208×4.6530=13.5905 列出各水平均值的差值表:(均值已从小到大排列,不必再排) 124* 94 178** 3.0 将各差值分别与LSDs和LSDo比较,大于LSD00s的标“*”,大于LSDo01的标“**”。 得:x与其他三个均值均达差异极显著,x3与x1差异显著。 (2) Duncan法 S2=√MS/mn=√54.125/5=3290,df=16 利用公式Ra=(k,d)S求各临界值: 表45 Duncan多重检验临界值表 K ro. s(k, 16) R005 o01(k,16 4.13 13.59 10.36 4.34 0.63 列出差值表,并与临界值表中的数值进行比较: 27.2* 124 9.4 3.0 14.8 最长的对角线上应使用k=2的临界值,因此首先与α=0.05的临界值9.87比较,大于 9.87的则标一个“*”号:再与a=0.01的临界值13.59比较,大于13.59则再加一个“ 号。次长对角线应使用k=3的临界值,因此应先后与10.36,1428比较,大于前者加 个“*”,大于后者再加一个“*”。第三条对角线上只有一个数272,它应与k=4的 临界值,即10.63和1464比较,显然它比这两个临界值都大,因此也应标上两个“ 号。这样就完成了多重比较。把这一差值表与前边最小显著差数法的差值表进行比较, 可以看到它们的结果是相同的。但若比较一下两种方法的临界值,就可以发现 Duncan 法k=2的临界值就是最小显著差数法的临界值,而κ>2的 Duncan法临界值变大,但 对本题来说,这种变大尚不足以改变最终的结果。 (3) Newman-Q法: 仍有:S=√MS.n=54125/5=32090,d16。 利用公式Qka=q2(k,4)S求各临界值: 表46 Newman-Q法临界值表 go.os(k, 16) Qo 3.00 987 4.13 13.59 13.32 5.19 1708
= 2.1199×4.6530 = 9.8639 LSD0.01 = 2.9208×4.6530 = 13.5905 列出各水平均值的差值表：（均值已从小到大排列，不必再排） 4 3 2 1 2 3 27.2** 17.8** 14.8** 12.4* 3.0 9.4 将各差值分别与 LSD0.05 和 LSD0.01 比较，大于 LSD0.05 的标“*”，大于 LSD0.01 的标“**”。 得： 4. x 与其他三个均值均达差异极显著， 3. x 与 1. x 差异显著。 （2）Duncan 法： S = MS / n = 54.125/ 5 = 3.290, x e df=16 利用公式 k df Sx R = r (k, ) , 求各临界值： 表 4.5 Duncan 多重检验临界值表 K r0.05(k, 16) R0.05 r0.01(k, 16) R0.01 2 3 4 3.00 3.15 3.23 9.87 10.36 10.63 4.13 4.34 4.45 13.59 14.28 14.64 列出差值表，并与临界值表中的数值进行比较： 4 3 2 1 2 3 27.2** 17.8** 14.8** 12.4* 3.0 9.4 最长的对角线上应使用 k=2 的临界值, 因此首先与α=0.05 的临界值 9.87 比较, 大于 9.87 的则标一个“*”号；再与α=0.01 的临界值 13.59 比较，大于 13.59 则再加一个“*” 号。次长对角线应使用 k=3 的临界值，因此应先后与 10.36，14.28 比较，大于前者加 一个“*”，大于后者再加一个“*”。第三条对角线上只有一个数 27.2，它应与 k=4 的 临界值，即 10.63 和 14.64 比较，显然它比这两个临界值都大，因此也应标上两个“*” 号。这样就完成了多重比较。把这一差值表与前边最小显著差数法的差值表进行比较， 可以看到它们的结果是相同的。但若比较一下两种方法的临界值，就可以发现 Duncan 法 k=2 的临界值就是最小显著差数法的临界值，而 k>2 的 Duncan 法临界值变大，但 对本题来说，这种变大尚不足以改变最终的结果。 （3）Newman-Q 法： 仍有： S = MS / n = 54.125/ 5 = 3.290, x e df=16 。 利用公式 k df Sx Q = q (k, ) , 求各临界值： 表 4.6 Newman-Q 法临界值表 K q0.05(k, 16) Q0.05 q0.01(k, 16) Q0.01 2 3 4 3.00 3.65 4.05 9.87 12.01 13.32 4.13 4.79 5.19 13.59 15.76 17.08