量子混沌与分形不确定性原理 金龙 清华大学 中科大短期课程，2021 年 1 月
目标与计划 I 目标：简要介绍量子混沌中的一个新工具“分形不确定性原 理”（Fractal Uncertainty Principle, FUP）以及其应用。 I 计划： 1. 1.9: 引论，一个离散模型 2. 1.11: 双曲曲面的预备知识 3. 1.13: 紧双曲曲面的控制问题
1. 引论：量子混沌中的一些 问题
经典混沌 I 经典混沌系统指“对初值敏感”的动力系统，在物理，化学， 生物，气象学，经济学等各领域中都有例子。 I Kepler 观测到月球绕地球轨道的不规则变化，Newton，Hill 解释为太阳的引力作用，三体问题。 I Poincaré 1903：在某些动力系统中初始状态的小的改变可以 在最终结果中造成很大影响。 I Lorenz 1972：大气模型中的例子，“蝴蝶效应
量子混沌 I 从经典系统到量子系统：量子化，Bohr 对应原理. I Einstein 1917：经典混沌系统的量子化会产生什么结果？ I Guizwiller 1992：“Chaos lurks in the smooth, wave-like quantum worlds
1.1 “基本”例子：台球系统
1.1 “基本”例子：台球系统
经典台球系统 这实际是三维区域 S ∗Ω 上的动力系统：在有界区域 Ω 中轨迹 （的投影）为在边界反射的折线，例如下面椭圆区域的示意
量子台球系统 对应的我们研究 Ω 上 Schrödinger 方程描述的量子的演化： (i∂t + ∆)u(t, x) = 0, u(0, x) = u0(x), 或者波方程描述的波的演化： (∂ 2 t − ∆)u(t, x) = 0, u(0, x) = u0(x), ∂tu(0, x) = u1(x)
特征值与特征函数 最基本的问题是关于 Ω 上 Laplace 算子（比如 Dirichlet 条件下） I 特征值（能级/频率）： 0 < λ0 < λ1 ≤ · · · ≤ λj ≤ · · · % ∞ I 特征函数（定态/波形）： −∆uj = λ 2 j uj , uj |∂Ω = 0, Z Ω |uj(x)| 2 dx = 1