《微分方程》课程教学资源（讲义）微分方程习题课讲义（二）.pdf_大学文库

2 1. 预备知识例1.2 设ω = xy2dy ∧ dz − xz2dx ∧ dy ∈ U 2 (R 3 )，则dω = (y 2 − 2xz)dx ∧ dy ∧ dz ∈ U 3 (R 3 ). 设Φ为R n中的一个k维曲面，具有C 1参数表示：Φ :    x1 = x1(u1, · · · , uk) · · · xn = xn(u1, · · · , uk) ，其中(u1, · · · , uk) ∈ E ⊂ R k，我们可以定义k-形式ω = X i1,··· ,ik fi1,··· ,ik dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ∈ U k (E)在Φ上的积分： ˆ Φ ω = ˆ E X i1,··· ,ik fi1,··· ,ik (Φ(u1, · · · , uk))∂(xi1 , · · · , xik ) ∂(u1, · · · , uk) du1 · · · duk. 定义了积分以后，我们可以把Stokes、Gauss公式拓展到高维，并写为统一形式： ˆ ∂U ω = ˆ U dω 这也被誉为是最美的公式之一. 最后我们看一个物理学中的例子. 例1.3 电磁学中著名的Maxwell方程：    ∇ · #»B = 0, ∂ #»B ∂t + ∇ × #»E = 0, ∇ · #»E = 4πρ, ∂ #»E ∂t − ∇ × #»B = −4π #»J . 定义Faraday 2-形式：F = Exdx∧dt+Eydy∧dt+Ezdz∧dt+Bxdy∧dz+Bydz∧dx+Bzdx∧dy. 定义电流1-形式：J = ρdt + Jxdx + Jydy + Jzdz. 定义Minkowski度量下的Hodge星算子∗ : U k (R 4 ) → U 4−k (R 4 )，满足： (1)对于2-形式，有：∗∗ = −1，∗(dx∧dt) = dy∧dz, ∗(dy∧dt) = dz∧dx, ∗(dz∧dt) = dx∧dy. (2)对于1-形式，有：dt ∧ (∗dt) = dx ∧ (∗dx) = · · · = dt ∧ dx ∧ dy ∧ dz. 根据以上条件，Maxwell方程等价于：dF = 0, d ∗ F = 4π ∗ J. 证明留作练习. §1.2 常用记号声明在本门课中，有许多约定俗成的记号，在此说明. 凡是提到U, V 等集合的时候，默认它们为R n中的开集. 记V b U表示V ⊂ U，且V 是紧的，此时，我们称V 是U的紧子集. 定义C k (U) = {u ∈ C k (U) : Dαu在V 上一致连续, ∀|α| 6 k, V 是U的任意有界子集}. 自然地，我们可以定义C∞(U) = \∞ k=1 C k (U). 我们用Du表示u的梯度，而不是∇u，因为D2表示Hesse阵，而∇2 = ∆，我们需要的是前者

§1.3. 常用不等式 3 定义积分平均记号： U f(x)dx := 1 m(U) ˆ U f(x)dx. 通常对于1 6 p 6 +∞，记它的对偶为p 0，满足 1 p + 1 p 0 = 1. §1.3 常用不等式本节我们介绍若干在微分方程中需要用到的不等式. 我们称函数f凸的，如果∀x, y ∈ R n，0 6 τ 6 1，有f(τx + (1 − τ )y) 6 τf(x) + (1 − τ )f(y). 如果f是凸的，则∀x ∈ R n，∃r ∈ R n，使得f(y) > f(x) + r · (y − x) (∀y ∈ R n ). 特别地，如果f在x处可微，则r可以取为Df(x). 如果f是C 2的，则f是凸函数当且仅当D2f > 0，其中D2表示Hesse阵. 定理1.3.1 (Jensen不等式)设f是R m上的凸函数，U是R n中的开集，u : U → R m可积，则 f U udx 6 U f(u)dx. 【证明】由f的凸性，∀p ∈ R m，∃r ∈ R m，使得f(q) > f(p) + r · (q − p) (∀q ∈ R m). 设p = U udy，q = u(x)，f(u(x)) > f U udy +r· u(x) − U udy . 两侧对x积分即可. 高中的时候我们学习过均值不等式：|ab| 6 1 2 a 2 + 1 2 b 2，而在PDE当中，我们经常需要使用系数带ε的形式：|ab| 6 εa2 + 1 4ε b 2 (∀ε > 0). 类似地，我们研究Young不等式. 定理1.3.2 (Young不等式)设1 0，则ab 6 a p p + b p 0 p 0 . 【证明】对f(x) = ex在log a p和log b p 0之间通过以 1 p 和 1 p 0为系数的凸组合的Jensen不等式得到. 【注】带ε的Young不等式：ab 6 εap + (εp) −q/p q b q . 定理1.3.3 (H¨older不等式)设1 6 p 6 ∞，u ∈ L p (U)，v ∈ L p 0 (U)，则kuvkL1(U) 6 kukLp(U)kvkLp0 (U) . 【证明】不妨设kukLp = kvkLp0 = 1. 由Young不等式： kuvkL1(U) = ˆ U |uv|dx 6 1 p ˆ U |u| p dx + 1 p 0 ˆ U |v| p 0 dx = 1 = kukLp kvkLp0 . 【注】事实上，上述证明过程只对p > 1的情况给出，当p = 1, ∞的时候需要另行讨论，不过此证明中是显然的，因此略去，不过对于L p空间的证明一定需要注意分情况讨论. 在0 kukLp(U)kvkLp0 (U) . 【证明】不妨uv ∈ L 1 (U)，否则显然成立. 置p = 1 p ，则 kukLp(U) = ˆ U |uv| p |v| p dx p 6 ˆ U |uv|dx ˆ U 1 |v| p 1−p dx !1−p p = kuvkL1(U) kvkLp0 (U)

4 1. 预备知识定理1.3.5 (Minkowski不等式)设1 6 p 6 ∞，u, v ∈ L p (U)，则ku + vkLp(U) 6 kukLp(U) + kvkLp(U) . 【证明】ku + vk p Lp(U) = ˆ U |u + v| pdx 6 ˆ U |u + v| p−1 (|u| + |v|)dx 6 ˆ U |u + v| pdx p−1 p ˆ U |u| pdx 1/p + ˆ U |v| pdx 1/p! = ku+vk p−1 Lp(U) kukLp(U) + kvkLp(U) . 它同样有如下的反Minkowski不等式：定理1.3.6 设0 kukLp(U) + kvkLp(U) . 【证明】类似定理1.3.5的证明，只不过利用的是反H¨older不等式. 定理1.3.7 (一般的H¨older不等式)设1 6 p1, · · · , pm 6 ∞， Xm k=1 1 pk = 1，且uk ∈ L pk (U) (k = 1, · · · , m)，则 ˆ U |u1 · · · um| dx ≤ Ym k=1 kukkL pk (U) . 【证明】利用普通的H¨older不等式结合归纳法得到. 定理1.3.8 (插值不等式)设1 6 s 6 r 6 t 6 ∞，则存在θ ∈ (0, 1)，使得 1 r = θ s + (1 − θ) t . 设u ∈ L s (U) ∩ L t (U)，则u ∈ L r (U)，且kukLr(U) 6 kuk θ Ls(U) kuk 1−θ Lt(U) . 【证明】ˆ U |u| rdx = ˆ U |u| θr|u| (1−θ)rdx 6 ˆ U |u| sdx θr s ˆ U |u| tdx (1−θ)r t . 定理1.3.9 (Gronwall不等式)设η ∈ AC[0, T]是非负的，满足η 0 (t) 6 φ(t)η(t) + ψ(t)，其中φ, ψ均为[0, T]上的非负可积函数，则η(t) 6 exp ˆ t 0 φ(s)ds η(0) + ˆ t 0 ψ(s)ds (0 6 t 6 T). 特别地，如果∀t ∈ [0, T]，有η 0 6 φη，且η(0) = 0，则η ≡ 0. 【证明】 d ds η(s)e− ´ s 0 φ(r)dr = e− ´ s 0 φ(r)dr η 0 (s) − φ(s)η(s) 6 e − ´ s 0 φ(r)drψ(s) a.e. 0 6 s 6 T. ∴ ∀t ∈ [0, T], η(t) exp − ˆ t 0 φ(r)dr 6 η(0)+ˆ t 0 exp − ˆ s 0 φ(r)dr ψ(s)ds 6 η(0)+ˆ t 0 ψ(s)ds. Gronwall不等式还有一个对应于积分方程的形式，证明留作练习. 推论1.3.10 (Gronwall不等式的积分形式)设ξ(t)在[0, T]上非负可积，对几乎处处的t满足ξ(t) 6 C1 ˆ t 0 ξ(s)ds + C2，其中C1, C2 > 0，则ξ(t) 6 C2 1 + C1teC1t a.e. 0 6 t 6 T. 特别地，如果ξ(t) 6 C1 ˆ t 0 ξ(s)ds a.e. 0 6 t 6 T，则ξ(t)几乎处处为0

第2讲测度理论与Lebesgue积分本讲内容，主要是介绍抽象外测度理论，以及大家在实分析中学过的有关Lebesgue积分、微分定理，本讲涉及到的集合均为Euclid空间下的集合，2.2及其之后的测度均为Lebesgue测度. §2.1 测度理论本节提到的测度，均为外测度，特此说明. 定义2.1.1 设X非空，如果定义在幂集2 X = {A : A ⊂ X}上的非负广义函数µ满足µ(Ø) = 0，且对任意{Ak}∞ k=1，有µ(A) 6 X∞ k=1 µ(Ak) (次可数可加性)，我们称µ为X上的一个测度，(X, µ)为测度空间. 定义2.1.2 若集合A满足对任意B ⊂ X，有µ(B) = µ(B ∩ A) + µ(B − A)，则称A为µ-可测集. 我们称A ⊂ 2 X为X上的一个σ-代数，如果X, Ø ∈ A，且A对集合的可数交、可数并、取补集运算封闭. R n中由所有开集生成的σ-代数中的集合叫做Borel集，记作B. 定义2.1.3 如果R n上的测度µ称为Borel正则测度，如果满足任意的Borel集µ-可测，且对于任意A ⊂ R n，存在Borel集B ⊇ A，使得µ(A) = µ(B). 我们把任意一个紧集测度都有限的Borel正则测度叫做Radon测度. 定义2.1.4 设f : X → Y 满足对任意Y 上的开集U，f −1 (U)是µ-可测的，称f是µ-可测映射. 我们就Borel正则测度和Radon测度，叙述几条实分析中出现过的结论. 它们的详细证明请参考[6]的1.1、1.2. 定理2.1.5 设µ是R n上的Radon测度，则 (1)∀A ⊂ R n，µ(A) = inf{µ(U) : A ⊂ U, U是开集}； (2)对任意R n上的µ-可测集A，µ(A) = sup{µ(K) : K ⊂ A, K是紧集}. 定理2.1.6 设f, g : X → R∞是µ-可测的，则f ± g, fg, |f|都是µ-可测的. 如果g 6= 0，则 f g 也是µ-可测的. 设fk : X → R∞是µ-可测的(k ∈ N ∗ )，则inf k>1 fk, sup k>1 fk, lim inf k→∞ fk, lim sup k→∞ fk都是µ-可测的. 引理2.1.7 (Borel-Cantelli引理)设{Ek}∞ k=1是一列µ-可测集， X∞ k=1 µ(Ek) 0，则存在紧集K ⊂ A，使得µ(A − K) < ε，且f K是连续的. 5