1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6 1.2.7 1.2.8 1.2.9 1.2.10 §1.2数列极限 1.2.1数列极限的定义 什么是数列 数列就是一个接一个且永无尽头的数的排列.例如， 1,2, 3， .. ， n, ... 2,… 特点是有头无尾，有限个数不称为数列. 数列的表示 一般地，数列可以表示为 a1,a2,a3,..., an,... 也可简单表示为{an},其中an称为数列的通项，n称为下标，下标不具有实 11 返回 全屏 关闭 退出 1/47
1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6 1.2.7 1.2.8 1.2.9 1.2.10 §1.2 ê4 1.2.1 ê4½Â o´ê êÒ´ [æÞêü. ~X, 1, 2, 3, · · · , n, · · · 1, 1 2 , 1 2 2 , · · · , 1 2 n , · · · A:´kÞÃ, kêØ¡ê. êL« /, ê±L« a1, a2, a3, · · · , an, · · · {üL« {an}, Ù¥ an ¡êÏ, n ¡eI, eIØäk¢ 1/47 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6 1.2.7 1.2.8 1.2.9 1.2.10 ¿Â, §´L² an ê1 n , eIAl^SH¤kg ,ê, eI±^Ù§i1O. ù«±^Ù§i1OÎÒ¡ å ÎÒ. ´êÏLª, §Ñ êü5Æ, Ï Ò ê. ÂñêÚuÑê kaêäkAO¿Â, §XeIO ªu A½ê. ù«ê¡Âñê. ~X, 0.3, 0.33, 0.333, · · · , 0. n z }| { 33 · · · 3, · · · (1.1) 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, · · · (1.2) ,aê´Ïتuê, ~X, 1, 1 2 , 1, 1 3 , · · · , 1, 1 n , · · · (1.3) 2/47 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6 1.2.7 1.2.8 1.2.9 1.2.10 ½Â 1 {an} ´½ê. XJk¢ê a äke5: é?¿ ½ê ε, o3g,ê N = N(ε), ¦ n > N , Ø ª |an − a| < ε ¤á, K¡ a ´ê {an} 4, ½ê {an} ± a 4, ¡ê {an} Âñu a. P¤ lim n→∞ an = a, ½ lim an = a, ±P¤ an → a (n → ∞), ¡/ n ªuá, an ªu a 0. êeØ´Âñê, Ò¡uÑê, ½¡ê´uÑ. 3/47 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6 1.2.7 1.2.8 1.2.9 1.2.10 éu (1.1) ¥ê, Ï an = 3 10 + 3 102 + · · · + 3 10n = 3 10 · 1 − 1 10n 1 − 1 10 = 1 3 − 1 3 × 10n , ¤±, éu?¿ê ε, N = [1/ε] + 1, n > N , Òk an − 1 3 = 1 3 × 10n < 1 10n < 1 n < 1 N < ε. ùÒ`² lim n→∞ an = 1 3 . ü:`²: 1. ½Â¥ ε 7L´?¿½ê, Ø´,ê, ?¿5rN ´“?¿/”¡, Ø´ “?¿”¡. 2. ε ½, 25Ϧ÷v^ N, Ï N Ï~ ε k'. 5 `, ε C, N ¬C. ~Xþ¡ N = [1/ε] + 1. N ÷v¦, N + 1, N + 1 Ñ÷v¦, ¿ØIéÑ÷v¦ N, ¢Sþ Ñ N 35. 4/47 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6 1.2.7 1.2.8 1.2.9 1.2.10 AÛ)º: ê {an} Âñu a AÛ£ã´: éu?¿ê ε, Ñ3g,ê N, ¦ n > N , 3¢ê¶þ {an} éA:Ñá3± a ¥%± ε »m«m (a − ε, a + ε) ¥. x ( . . . . . ) . 1 a4 − εa a a + εa a3 a2 aN aN+1 5/47 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6 1.2.7 1.2.8 1.2.9 1.2.10 ~ 1 e α > 0, K lim n→∞ 1 nα = 0. y² ©Û: F" | 1 nα − 0| 1 ε n > 1 ε 1/α , N = [(1 ε ) 1/α] + 1. Ö: ∀ ε > 0, ∃ N = [(1 ε ) 1/α] + 1, n > N , k 1 nα − 0 < 1 Nα < 1 1/ε = ε, u´ lim n→∞ 1 nα = 0. 6/47 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6 1.2.7 1.2.8 1.2.9 1.2.10 ~ 2 ¦y: lim n→∞ ( √ n + 1 − √ n) = 0. y² Ï an = √ n + 1 − √ n = 1 √ n + 1 + √ n 0, ∃ N = [ 1 ε 2 ] + 1, n > N , k |an − 0| < 1 √ n < 1 √ N < 1 p 1/ε2 = ε, ù`² lim n→∞ ( √ n + 1 − √ n) = 0. 7/47 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6 1.2.7 1.2.8 1.2.9 1.2.10 ~ 3 ê {an} Âñu a. ¦yµ lim n→∞ a1+a2+···+an n = a. y²µÏ lim n→∞ an = a, âêÂñ½Â§é?¿ê ε, 3g ,ê n1 ¦ n > n1 §k |an − a| 2(|a1 − a| + |a2 − a| + · · · + |an1 − a|) ε . u´ n > N = n1 + n2 §k a1 + a2 + · · · + an n − a = a1 − a + a2 − a + · · · + an − a n 6 |a1 − a| + |a2 − a| + · · · + |an1 − a| n + |an1+1 − a| + · · · + |an − a| n 6 |a1 − a| + |a2 − a| + · · · + |an1 − a| n2 + |an1+1 − a| + · · · + |an − a| n − n1 6 ε 2 + ε 2 = ε. â4½Â§k lim n→∞ a1+a2+···+an n = a. 8/47 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6 1.2.7 1.2.8 1.2.9 1.2.10 ê {an} ر a 4ã e3ê ε0, ¦é?¿g,ê N, ѱég,ê n > N ÷v |an − a| > ε0, K {an} ر a 4. lAÛþ`Ò´3± a ¥%m«m, ¦ùm«m k áõTêéA:. x ( . . . . . ) . 1 a4 − εa a a + εa a3 a2 aN aN+1 9/47 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6 1.2.7 1.2.8 1.2.9 1.2.10 1.2.2 Âñê5 5 1 (45) Âñê4´. y² XJ {an} kü4 a Ú b. â4½Â, éu?¿ ê ε, éAü4, ©O3ê N1 Ú N2, ¦ n > N1 k |an − a| N2 k |an − b| max(N1, N2) £= n Ó÷v n > N1, n > N2¤, þ ¡üØ ªÑ÷v, ¤± |a − b| = |(a − an) + (an − b)| 6 |an − a| + |an − b| < ε 2 + ε 2 = ε. üêålu?¿ê, ùüê7L , = a = b. y. 10/47 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ