3.3.1 3.3.2 3.3.3 §3.3微分中值定理 3.3.1 Rolle定理和 Fermat定理 定义1设函数f(x)在x0的邻域(x0-δ，xo+δ)内有定义，如果对其中的 任一点x,都有 f(xo)≥f(x),(或f(xo)≤f(x)), 则称f(xo)为函数f(x)的极大值（或极小值），x0称为f(x)的一个极大 值点（或极小值点）.极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统 称为极值点. 直观上，从几何上看，如果函数f(x)在一点x0取到极大（极小）值，而且 函数在此点的切线存在，那么在这点的切线应当是水平的（平行于x轴），也 就是说函数在这点的导数为零. 11 返回全屏关闭退出 1/34
3.3.1 3.3.2 3.3.3 §3.3 ©¥½n 3.3.1 Rolle ½nÚ Fermat ½n ½Â 1 ¼ê f(x) 3 x0 (x0 − δ, x0 + δ) Sk½Â, XJéÙ¥ ?: x, Ñk f(x0) > f(x), ( ½ f(x0) 6 f(x)), K¡ f(x0) ¼ê f(x) 4£½4¤, x0 ¡ f(x) 4 :£½4:¤. 4Ú4Ú¡4, 4:Ú4:Ú ¡4:. *þ, lAÛþw, XJ¼ê f(x) 3: x0 4 (4) , ¼ê3d:3, @o3ù:A´Y²£²1u x ¶¤, Ò´`¼ê3ù:ê". 1/34 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
3.3.1 3.3.2 3.3.3 ½n 1 (Fermat ½n) ¼ê f(x) 3ٽ«m I S:£=Ø´à :¤x0 ?4, XJ¼ê3ù:, K7k f 0 (x0) = 0. y² ؼê3 x0 4. â½Â, 3 (x0−δ, x0+δ), ¦ f(x0 + h) − f(x0) 6 0 UCþ h ÷v |h| 0, h 0 qϼê3 x0 , ¤±3þüª¥©O- h → 0 − Ú h → 0 + , k f 0 −(x0) > 0, f0 + (x0) 6 0 f 0 (x0) = 0. f 3 x0 4¹, aqy². 2/34 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
3.3.1 3.3.2 3.3.3 ✲ ✻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x y 0−δ x0 x0+δx ã 3.1 ✲ ✻ x y r r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x0 x1 ã 3.2 5¿ Fermat ½n_¿Ø¤á, Ò´`, =¦¼ê f 3S: ê", 7ù:´4:, {ü~´ f(x) = x 3 , x ∈ [−1, 1], w , f 0 (0) = 0, ´ x = 0 Ø´T¼ê4:. =BXd, Fermat ½nJø ùå», =dê&E, íä¼êk' (4!4) ´Ä3? Ï~, ¡ê":¼ê7:, Ïd )¼ê4:, 37: ¥?Ú?Ø=. 3/34 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
3.3.1 3.3.2 3.3.3 ½n 2 (Rolle ½n) f(x) 34«m [a, b] þëY, 3m«m (a, b) S , f(a) = f(b), K7k ξ ∈ (a, b), ¦ f 0 (ξ) = 0. y² â4«m [a, b] þëY¼ê½kÚ£Ú ,´4¤¢¯, XJÚ¥k3 (a, b) SÜ: ξ , Kd Fermat ½n, f 0 (ξ) = 0. , ÚÑ U3à: a Ú b ?, f(a) = f(b), ¤±Ú , =, ¼ê ´~¼ê, d¼ê¼ê3?Û:Ñ". y. ✲ ✻ x y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a ξ b ã 3.3 ✲ ✻ x y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a b ã 3.4 4/34 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.2 ©¥½n ½n 3 (©¥½n) f(x) 3 [a, b] ëY, 3 (a, b) , K7k ξ ∈ (a, b) ¦ f 0 (ξ) = f(b) − f(a) b − a . y² ·E¼ê F(x) = f(x) − f(b) − f(a) b − a (x − a) − f(a). KN´y: F(b) = F(a) = 0, F(x) 34«m [a, b] þëY, 3m«m (a, b) S, Ïd F(x) ÷v Rolle ½nn^, 3: ξ ∈ (a, b) ¦ F 0 (ξ) = f 0 (ξ) − f(b) − f(a) b − a = 0. ù=´½n(Ø. y. 5/34 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
3.3.1 3.3.2 3.3.3 k, ·¡©¥½n Lagrange ¥½n. f(a) = f(b) , ¥½nÒ=z¤ Rolle ½n, Ïd§´' Rolle ½n½n. lAÛþw, ©¥½n(J ✲ ✻ x y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A B a b ã 3.5 ´ØJn). ļê û f(b) − f(a) b − a §´ AB Ç. e, XJ ·²1£Äù^, K§k gŬù , =3þ AB ål@: M, ¤£ã3.5¤. Ò´`, 3 0u a Ú b m: ξ, ¦½n 3 ¤á. lÔnþw, ÷$Ä:, 7,3,]Ý, u$ÄL§²þÝ. 6/34 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
3.3.1 3.3.2 3.3.3 íØ 1 XJ¼ê f 3«mþëY, é«mSz: x, Ñk f 0 (x) = 0, K¼ê f 3«mþ½´~¼ê. éuü¼ê f Ú g, XJ§ê , Kü¼ê ~ê. y² ?«mþü: x1 < x2, 3 [x1, x2] þ, d¥½n, 3: ξ ¦ f(x2) − f(x1) = f 0 (ξ)(x2 − x1) f 0 (x) ð", ¤± f 0 (ξ) = 0, u´ f(x1) = f(x2), =¼ê3«mþ?¿ü : , ¤±´~¼ê. ?Ú±y²§e¼ê f 3«mþëY, é«mSz: x, Ñk f (n) (x) = 0, K¼ê f 3«mþ½´gêØL n − 1 õª. 7/34 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
3.3.1 3.3.2 3.3.3 ~ 1 y²: e¼ê f(x) 3 R þ, ÷v§ f 0 (x) = f(x), K3 ~ê c ¦ f(x) = cex . y² - g(x) = e −xf(x). K g(x) 3 R þ, g 0 (x) = e −x (f 0 (x) − f(x)) = 0. u´ g(x) ´~ê, P g(x) = c. Kk f(x) = cex . ±þ(رí2Xe: ϕ(x) 3 R þ, ϕ0 (x) = g(x). e¼ê f(x) 3 R þ, ÷ v§ f 0 (x) = g(x)f(x), K3~ê c ¦ f(x) = ceϕ(x) . 8/34 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
3.3.1 3.3.2 3.3.3 íØ 2 ¼ê f 3«m I , |f 0 (x)| 6 M£=êk.¤. K |f(x2) − f(x1)| 6 M|x2 − x1| =, äkk.ê¼ê½´ Lipschitz ëY. ~ 2 ¼ê f 3«m I þk½Â. e3 M > 0, 9 α > 1 ¦ |f(x2) − f(x1)| 6 M|x2 − x1| α , ∀ x1, x2 ∈ I, K f(x) ´~ê. y² éu?¿ I S: x0, ∆x ¿©, k |f(x0 + ∆x) − f(x0)| 6 M|∆x| α . Ïd, f(x0 + ∆x) − f(x0) ∆x 6 M|∆x| α−1 . 9/34 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
3.3.1 3.3.2 3.3.3 du α > 1, · lim ∆x→0 f(x0 + ∆x) − f(x0) ∆x = 0, =, f 0 (x0) = 0. ù`² f 3 I þ ¼êð", Ïd f ~ê. ~ 3 y²: é?¿~ê c, § x 3 − 3x + c = 0 3 [0, 1] ¥ØUkü É¢. y² P f(x) = x 3 − 3x + c. eé, c, §3 [0, 1] þküÉ ¢ x1, x2 Ø 0 6 x1 < x2 6 1 K f(x1) = f(x2) = 0, Ïd f(x) 3 [x1, x2] þ÷v Rolle ½nn^, ¤±7k x1 < ξ < x2 ¦ f 0 (ξ) = 3(ξ 2 − 1) = 0. = |ξ| = 1, 0 6 x1 < ξ < x2 6 1, gñ. gñ`²küÉ¢b ´Øé. 10/34 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ