零测集 振幅 Lebesgue 定理 §5.2函数的可积性 5.2.1零测集 定义1设A是一个实数集合.如果对任意给定的ε>0，存在有限个或一 列开区间{In,n∈N}使得 AcUIlnl≤e n∈N n=1 (这里|In|表示In的长度)，那么称A为零测度集，简称零测集. 显然，有 1°空集是零测集. 2°零测集的子集还是零测集. 11 返回全屏关闭退出 1/19
"ÿ8 Ì Lebesgue ½n §5.2 ¼êÈ5 5.2.1 "ÿ8 ½Â 1 A ´¢ê8Ü. XJé?¿½ ε > 0, 3k½ m«m {In, n ∈ N} ¦ A ⊂ [ n∈N In, X ∞ n=1 |In| 6 ε, (ùp |In| L« In Ý), @o¡ A "ÿÝ8, {¡"ÿ8. w, k 1 ◦ 8´"ÿ8. 2 ◦ "ÿ8f8´"ÿ8. 1/19 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
"ÿ8 Ì Lebesgue ½n ~ 1 ?ÛÝØ 0 «mÑØ´"ÿ8. y² ØT«m´ (a, b), a b − a > 0. Ïd, (a, b) ØU´"ÿ8. 2/19 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
"ÿ8 Ì Lebesgue ½n ~ 2 ê"ÿ8¿E´"ÿ8. y² kê"ÿ8 A1, A2, · · · , An, · · · . Ï Ak ´"ÿ8, ¤±éu?¿ ε > 0, 3m«m Ik1, Ik2, · · · , Ikj, · · · ¦ Ak ⊂ [ ∞ j=1 Ikj, X ∞ j=1 |Ikj| 6 ε 2 k . u´, k [ ∞ k=1 Ak ⊂ [ ∞ k=1 [ ∞ j=1 Ikj, X ∞ k=1 X ∞ j=1 |Ikj| 6 X ∞ k=1 ε 2 k = ε. ùÒ`² S∞ k=1 Ak ´"ÿ8. 3/19 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
"ÿ8 Ì Lebesgue ½n ~ 3 XJ A ´õê8, @o A ´"ÿ8. y² A = {a1, a2, · · · , an, · · · }. é?¿½ ε > 0, - In = an − ε 2 n+1 , an + ε 2 n+1 , n = 1, 2, · · · Kw,k A ⊂ S n∈N In, X ∞ n=1 |In| = X ∞ n=1 2 ε 2 n+1 = ε. dd, knê N´"ÿ8. ~ 4 m«m (a, b) þÃnê NØ´"ÿ8. y² duknê N´"ÿ8, Ïde (a, b) þÃnê N´"ÿ 8, K (a, b) ´"ÿ8. ù´ØU. 4/19 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
"ÿ8 Ì Lebesgue ½n 5.2.2 Ì ½Â 2 f(x) ´«m I þk.¼ê. ¡ ωf (I) = sup x,y∈I |f(y) − f(x)| = sup y∈I f(y) − inf x∈I f(x) f(x) 3«m I þÌ. ½Â 3 f(x) ´«m I þk.¼ê. éu x ∈ I, δ > 0, P Ix(δ) = (x − δ, x + δ) ∩ I. ¡ ωf (x) = lim δ→0+ ωf (Ix(δ)) f(x) 3: x ∈ I Ì. w, x ∈ I ⊂ J , k ωf (x) 6 ωf (I) 6 ωf (J). 5/19 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
"ÿ8 Ì Lebesgue ½n Ún 1 f ´«m I þk.¼ê. K f 3: x0 ∈ I ëY¿©7^ ´ ωf (x0) = 0. y² (75) f 3 x0 ëY. Kéu?¿ ε > 0, 3 δ > 0, x ∈ Ix0 (δ) , k |f(x) − f(x0)| < ε 2 . Ïd x, y ∈ Ix0 (δ) , k |f(x) − f(y)| 6 |f(x) − f(x0)| + |f(y) − f(x0)| < ε. dd ωf (Ix0 (δ)) 6 ε. dª%¹ ωf (x0) 6 ε. - ε → 0 + , Ò ωf (x0) = 0. 6/19 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
"ÿ8 Ì Lebesgue ½n (¿©5) x0 ∈ I ωf (x0) = 0. 5¿ ωf (x0) = lim δ→0+ ωf (Ix0 (δ)) é?¿ ε > 0, 3 δ > 0, ¦ ωf (Ix0 (δ)) < ε. Ïd, x ∈ Ix0 (δ) , k |f(x) − f(x0)| < ε. ù`² f 3 x0 ëY. y. 7/19 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
"ÿ8 Ì Lebesgue ½n 5.2.3 Lebesgue ½n f ´«m [a, b] þk.¼ê, δ > 0. P Dδ(f) = {x ∈ [a, b] : ωf (x) > δ}, =, «m [a, b] ¥ f ÌØu δ @ : N. w,k, 0 < δ1 < δ2 , k Dδ2 (f) ⊂ Dδ1 (f). 2P D(f) «m [a, b] ¥ f ØëY: N, =, D(f) = {x ∈ [a, b] : f 3 x ?ØëY}. ·ke¡Ún. 8/19 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
"ÿ8 Ì Lebesgue ½n Ún 2 f ´«m [a, b] þk.¼ê. ·k D(f) = [ ∞ n=1 D1/n(f). y² ÏÌu":Ñ´ØëY:, ¤±é?¿g,ê n, k D1/n(f) ⊂ D(f). Ï [ ∞ n=1 D1/n(f) ⊂ D(f). x ∈ D(f). =, f 3 x ØëY, âÚn 1, k ωf (x) > 0. Ïd3g ,ê n ¦ ωf (x) > 1 n . ùÒ´` x ∈ D1/n(f). Ï D(f) ⊂ [ ∞ n=1 D1/n(f). y. 9/19 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
"ÿ8 Ì Lebesgue ½n Ún 3 f ´«m I = [a, b] þk.¼ê. Ij = (αj, βj), j = 1, 2, · · · , ´m«m. P K = [a, b] \ [ ∞ j=1 Ij. XJ D(f) ⊂ [ ∞ j=1 Ij, @oé?¿ ε > 0, ½3 δ > 0, ¦ |f(y) − f(x)| 0, ¦é?¿g,ê n, 3 xn ∈ K, 9 yn ∈ Ixn ( 1 n ), ÷v |f(xn) − f(yn)| > ε0. â Bolzano-Weierestrass ½n, {xn} kf {xni} Âñ x0 ∈ [a, b]. Ï yni xni ålu 1 ni , ¤± {yni} Âñu x0. 10/19 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ