向量 运算 相关性 坐标系 数量积 向量积 复数 数域 第8章空间解析几何 §8.1向量的线性运算 8.1.1向量及其表示 空间中既有大小又有方向的量称为向量.在数学中用有向线段AB来 表示起点为A终点为B的向量，线段的长度就是向量的大小，从A指向B 的方向就是向量的方向.也常用带箭头的小写黑体字母ā，b,ē等来表示向量. 若两个向量的大小和方向都一样，就称这两个向量是相等的.与向量ā 大小一样，但方向相反的向量记为-ā，称为ā的负向量.向量ā的大小称为 此向量的模，记为|ā|.模为1的向量称为单位向量.模为零的向量称为零向 量，记为0.零向量只有大小没有方向. 返回全屏关闭退出 1/33
þ $ '5 IX êþÈ þÈ Eê ê 1 8 Ù m)ÛAÛ §8.1 þ5$ 8.1.1 þ9ÙL« m¥Qkqkþ¡þ. 3êÆ¥^kã −→AB 5 L«å: A ª: B þ, ãÝÒ´þ, l A B Ò´þ. ~^ÞçNi1 ~a,~b, ~c 5L«þ. eüþÚÑ, Ò¡ùüþ´ . þ ~a , þP −~a, ¡ ~a Kþ. þ ~a ¡ dþ , P |~a|. 1 þ¡ü þ. "þ¡" þ, P ~0. "þkvk. 1/33 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
向量运算相关性坐标系数量积向量积复数数域若向量6的方向与向量的方向相同或相反，就称6与平行，记为b//a.若向量b的方向与向量a的方向互相垂直，就称b与a垂直或正交记为61a.约定零向量与任何向量平行，也与任何向量垂直向量A与向量OB所夹的角，称为它们之间的夹角.规定向量的夹角在0与元之间显然两个非零向量平行当且仅当它们的夹角是0或元，两个非零向量垂直当且仅当它们的夹角是.返回全屏关闭退出二-2/33
þ $ '5 IX êþÈ þÈ Eê ê eþ ~b þ ~a Ó½, Ò¡ ~b ~a ²1, P ~b//~a. eþ ~b þ ~a pR, Ò¡ ~b ~a R½, P ~b ⊥ ~a. ½"þ?Ûþ²1, ?ÛþR. þ −→OA þ −→OB ¤Y, ¡§mY. 5½þY 3 0 π m. w,ü"þ²1 =§Y´ 0 ½ π, ü "þR =§Y´ π 2 . 2/33 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
运算复数向量相关性坐标系数量积向量积数域向量的线性运算8.1.2加法运算将两个非零向量a和6的起点移到同一点，即，令a=A6=OB.称OA 与 OB 在空间中所张成的平行四边形的有向对角线 OC 所表示的向量称为与6的和,记为 +6.福Ba+bAa?减法运算称a+（-b)为与6的差记为a-b返回全屏关闭退出3/33
þ $ '5 IX êþÈ þÈ Eê ê 8.1.2 þ5$ \{$ òü"þ ~a Ú ~b å:£Ó:, =, - ~a = −→OA, ~b = −→OB. ¡ −→OA −→OB 3m¥¤Ü¤²1o>/ké −→OC ¤ L«þ¡ ~a ~b Ú, P ~a +~b. O A B C ~a ~b ~a +~b ~{$ ¡ ~a + (−~b) ~a ~b , P ~a − ~b. 3/33 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
数域向量运算相关性坐标系数量积向量积复数数乘运算对于实数入和向量，定义入为一个向量，它的模等于[·[al,它的方向当 >o 时与a相同, 当 入< 0 时与 a 相反.由定义可知oa = 0.加法运算和数乘运算满足下面的运算法则a+b=b+a;(交换律(8.1)(a +b) + = a+ (6+ );（结合律）(8.2)a+o=a;(有零元)(8.3)a + (-a) = 0;(有负元(8.4)1a = d;(8.5)(8.6)X(μa) = (Aμ)a;（向量关于数的分配率）(8.7)( + μ)a = ^a + μa;X(a + b) = a + xb（数关于向量的分配率）(8.8)返回全屏关闭退出4/33
þ $ '5 IX êþÈ þÈ Eê ê ê¦$ éu¢ê λ Úþ ~a, ½Â λ~a þ, § u |λ| · |~a|, § λ > 0 ~a Ó, λ < 0 ~a . d½Â 0~a = ~0. \{$Úê¦$÷ve¡${K: ~a +~b = ~b + ~a; (Æ) (8.1) (~a +~b) + ~c = ~a + (~b + ~c); ((ÜÆ) (8.2) ~a +~0 = ~a; (k") (8.3) ~a + (−~a) = ~0; (kK) (8.4) 1~a = ~a; (8.5) λ(µ~a) = (λµ)~a; (8.6) (λ + µ)~a = λ~a + µ~a; (þ'uê©Ç) (8.7) λ(~a +~b) = λ~a + λ~b; (ê'uþ©Ç) (8.8) 4/33 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
向量运算相关性数量积向量积复数数域坐标系8.1.3向量的共线与共面一组向量称为是共线的，如果它们都平行于某条直线一组向量称为是共面的，如果它们都平行于桌个平面一组向量 ai,a2，··，an 称为是线性相关的,若存在不全为零的实数 入1,入2，·，入n使得Aiai+A2a2+...+nan=0.若ai,d2，··，an不是线性相关的就称为是线性无关的性质1两个向量共线当且仅当它们线性相关性质2三个向量共面当且仅当它们线性相关返回全屏关闭退出二二5/33
þ $ '5 IX êþÈ þÈ Eê ê 8.1.3 þ¡ |þ¡´, XJ§Ñ²1u,^. |þ¡ ´¡, XJ§Ñ²1u,²¡. |þ ~a1, ~a2, · · · , ~an ¡´5', e3Ø "¢ê λ1, λ2, · · · , λn ¦ λ1~a1 + λ2~a2 + · · · + λn~an = ~0. e ~a1, ~a2, · · · , ~an Ø´5'Ò¡´5Ã'. 5 1 üþ =§5'. 5 2 nþ¡ =§5'. 5/33 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
运算数域向量相关性坐标系数量积向量积复数利用向量运算可以解决许多几何问题，其思想是将几何性质转化为向量的代数运算。例1在△ABC中，D.E分别是边BC.AC的中点，AD.BE相交于点G.证明：AG=2AD证明设AG=&AD,BG=yBE.因为AD=(AB+AC)BE=I(BA+BC)=(-AB+AC-AB)=AC-AB又因为AG-BG=AB，所以1(AB+ AC) - (CAC- AB) = AB.E即,( +-1)AB =AC由于AB与GAC不共线，因此有+y-1==0即2BDa=y=%.返回全屏关闭退出6/33
þ $ '5 IX êþÈ þÈ Eê ê |^þ$±)ûNõAÛ¯K§Ùg´òAÛ5=z þê$" ~ 1 3 4ABC ¥§D, E ©O´> BC, AC ¥:§AD, BE u: G. y²µAG = 2 3AD. y² −→AG = x −−→AD, −−→BG = y −→BE. Ï −−→AD = 1 2 ( −→AB + −→AC), −→BE = 1 2 ( −→BA + −−→BC) = 1 2 (− −→AB + −→AC − −→AB) = 1 2 −→AC − −→AB. qÏ −→AG − −−→BG = −→AB, ¤± x 2 ( −→AB + −→AC) − y 1 2 −→AC − −→AB = −→AB. =, ( x 2 + y − 1)−→AB = y−x 2 −→AC. du −→AB −→AC Ø, Ïdk x 2 + y − 1 = y−x 2 = 0, = x = y = 2 3 . A B C D G E 6/33 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
运算向量相关性坐标系数量积向量积复数数域坐标系$8.2仿射坐标系8.2.1定理1设i,é2é为空间中三个不共面的向量，则对每个向量a都存在唯一的三元有序实数组（αC1,C2,C3),使得(8.9)a=iéi+C2e2+3e3定义1空间中任意三个有序的不共面的向量.é2.e称为空间的一组基对于向量，若a=iei+a2e2+a3e3则称（a1,2,3）为向量a在基e1,e2,é3下的仿射坐标或简称坐标返回全屏关闭退出7/33
þ $ '5 IX êþÈ þÈ Eê ê §8.2 IX 8.2.1 IX ½n 1 ~e1, ~e2, ~e3 m¥nØ¡þ§Kézþ ~a Ñ3 nkS¢ê| (x1, x2, x3), ¦ ~a = x1~e1 + x2~e2 + x3~e3. (8.9) ½Â 1 m¥?¿nkSØ¡þ ~e1, ~e2, ~e3 ¡m|Ä" éuþ ~a§e ~a = x1~e1 + x2~e2 + x3~e3, K¡ (x1, x2, x3) þ ~a 3Ä ~e1, ~e2, ~e3 eI½{¡I. 7/33 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
运算向量相关性坐标系数量积向量积复数数域定理1的证明 在空间中任取一点 0,作向量0A=1.0B=é2.0℃e3,OP=a.过P点作直线OC的平行线,交AOB平面于Q点.再过Q点作直线OB的平行线，交OA直线于R点.则a=OP=OR+RQ+QP由于OR//OA，RQ/OB，QP//OC,利用性质1知，存在实数1,C2,3使得OR = aiei, RQ = 2e2, QP = ases.因此a=iei+a2e2+a3e3ChBRA返回全屏关闭退出8/33
þ $ '5 IX êþÈ þÈ Eê ê ½n1 y² 3m¥?: O§þ −→OA = ~e1, −→OB = ~e2, −→OC = ~e3, −→OP = ~a. L P : OC ²1, AOB ²¡u Q :. 2L Q : OB ²1, OA u R :. K ~a = −→OP = −→OR + −→RQ + −→QP . du −→OR//−→OA, −→RQ//−→OB, −→QP //−→OC, |^5 1 , 3¢ê x1, x2, x3 ¦ −→OR = x1~e1, −→RQ = x2~e2, −→QP = x3~e3. Ïd ~a = x1~e1 + x2~e2 + x3~e3. O A B C P Q R 8/33 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
向量运算相关性坐标系数量积向量积复数数域定义2空间中任意一点O和一组基é1.2.é.合在一起称为空间的一个仿射坐标系，记为[O;é1,é2,é3].点O称为坐标原点，é1,é2,é3称为坐标向量.éi,é2,é3所在直线分别称为 α 轴，y轴和 z轴,统称为坐标轴.三个坐标轴的任意两个决定了一个平面，称为坐标面，分别记为Ocy，Oyz，Oza.给定仿射坐标系[O;é1,é2,e],对空间中一点 P,向量OP在基ei,é2,e3下的坐标称为点P在仿射坐标系[O;éi,é2,é3] 下的坐标.因此点 P在[O;éi,é2,] 下的坐标为(αi, 2, cs) 当且仅当oP= iéi + 2e2 + sés.引入仿射坐标系后，在下列三者间存在一一对应的关系空间中的点 P←→向量oP←→坐标 (α1,α2,a3)返回全屏关闭退出I9/33
þ $ '5 IX êþÈ þÈ Eê ê ½Â 2 m¥?¿: O Ú|Ä ~e1, ~e2, ~e3 Ü3å¡m IX, P [O ; ~e1, ~e2, ~e3]. : O ¡I:, ~e1, ~e2, ~e3 ¡I þ. ~e1, ~e2, ~e3 ¤3©O¡ x ¶, y ¶Ú z ¶, Ú¡I¶. nI ¶?¿üû½ ²¡, ¡I¡, ©OP Oxy, Oyz, Ozx. ½IX [O ; ~e1, ~e2, ~e3], ém¥: P , þ −→OP 3Ä ~e1, ~e2, ~e3 eI¡: P 3IX [O ; ~e1, ~e2, ~e3] eI. Ïd: P 3 [O ; ~e1, ~e2, ~e3] eI (x1, x2, x3) = −→OP = x1~e1 + x2~e2 + x3~e3. Ú\IX, 3enöm3éA'X: m¥: P ←→ þ −→OP ←→ I (x1, x2, x3) 9/33 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
运算数量积复数数域向量相关性坐标系向量积对于给定的仿射坐标系[O；ei,e2,e3l,当我们伸出右手指向i的方向并朝e2的方向握过去时，如果大拇指的方向正好与e的方向成锐角，那么这个坐标系称为右手仿射坐标系：当我们伸出左手指向的方向，并朝e的方向握过去时，如果左手大拇指的方向正好与的方向成锐角，那么这个坐标系称为左手仿射坐标系，只有这两种类型的坐标系eeeLen(a）右手系(b）左手系返回退出全屏关闭10/33
þ $ '5 IX êþÈ þÈ Eê ê éu½IX [O ; ~e1, ~e2, ~e3], ·Ñmà ~e1 , ¿ ~e2 ºL, XJ-Ð ~e3 ¤b, @o ùIX¡ mÃIX; ·Ñà ~e1 , ¿ ~e2 ºL, XJÃ-Ð ~e3 ¤b, @où IX¡ ÃIX. kùü«a.IX. O O e1 e e e e2 e 3 1 2 3 (a) mÃX (b) ÃX 10/33 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ