二重积分 累次积分 可积性 有界集上的积分 面积 积分平均值定理 第10章多变量函数的重积分 §10.1二重积分 10.1.1二维区间上的积分 设 D= [a,b]×[c,d] 是 R2中的二维闭区间. 分别作 [a,b]和 [c,d]上的 分割： Tx:a=x0<x1<··<xn=b; Ty:c=yo<y1<..<ym=d. 两族平行直线x=x2,(i=0,1,.·,n)和y= yj,(j=0,1,.·,m)把D 分成n×m个子区间: Dij=[xi-1,xi]×[yj-1,yj](i=1,2,.·,n;j=1,2,..,m). 这些子区间组成D的一个分割T=T2×T.对于在D上定义的函数 ‖返回全屏关闭退出 1/29
È© \gÈ© È5 k.8þÈ© ¡È È©²þ½n 1 10 Ù õCþ¼êÈ© §10.1 È© 10.1.1 «mþÈ© D = [a, b] × [c, d] ´ R2 ¥4«m. ©O [a, b] Ú [c, d] þ ©: Tx : a = x0 < x1 < · · · < xn = b; Ty : c = y0 < y1 < · · · < ym = d. üx²1 x = xi, (i = 0, 1, · · · , n) Ú y = yj, (j = 0, 1, · · · , m) r D ©¤ n × m f«m: Dij = [xi−1, xi ] × [yj−1, yj] (i = 1, 2, · · · , n; j = 1, 2, · · · , m). ù f«m|¤ D © T = Tx × Ty. éu3 D þ½Â¼ê 1/29 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
È© \gÈ© È5 k.8þÈ© ¡È È©²þ½n f(x, y), 3z Dij ¥: ξij, Úª (Riemann Ú) S(f, T ) := X n i=1 X m j=1 f(ξij)σ(Dij), (10.1) Ù¥ σ(Dij) ´ Dij ¡È. P kT k = max i,j {diam(Dij)}, ùp diam(Dij) ´ Dij éÝ, ¡ kT k © T °Ý. ¡ ξij :. ½Â 1 f(x, y) ´½Â3 D þ¼ê. XJ3ê A, ¦é?¿ ½ ε > 0, 3 δ > 0, kT k < δ , ØØ: ξij 3 Dij ¥XÛÀ, Ñk X n i=1 X m j=1 f(ξij)σ(Dij) − A < ε, K¡¼ê f 3«m D þÈ, ¿ò A ZZ D f(x, y)dxdy ½ Z D fdσ, ¡ f 3«m D þÈ©. 2/29 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
È© \gÈ© È5 k.8þÈ© ¡È È©²þ½n ~ 1 ~¼ê c 3 D þÈ, Z D cdσ = cσ(D). ½n 1 XJ f 3 D þÈ, @o f 3 D þk. ½n 2 e f Ú g Ñ3 D þÈ, c1, c2 ´~ê, K c1f + c2g 3 D þ È, Z D (c1f + c2g)dσ = c1 Z D fdσ + c2 Z D gdσ. ½n 3 f Ú g Ñ3 D þÈ. (1) e f > 0, K Z D fdσ > 0; (2) e f > g, K Z D fdσ > Z D gdσ. 3/29 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
È© \gÈ© È5 k.8þÈ© ¡È È©²þ½n 10.1.2 \gÈ© ½n 4 (È©\gÈ©) f(x, y) 3 D = [a, b] × [c, d] þÈ. 1 ◦ XJéz y ∈ [c, d], f(x, y) ´ [a, b] þ'u x ȼê, KÈ© ϕ(y) = R b a f(x, y)dx ½Â 'uCþ y 3 [c, d] þȼê, ¿k Z d c ϕ(y)dy = Z d c dy Z b a f(x, y)dx = ZZ D f(x, y)dxdy. 2 ◦ Ón, XJéz x ∈ [a, b], f(x, y) ´ [c, d] þ'u y ȼê, K ψ(x) = R d c f(x, y)dy ´'u x 3 [a, b] þȼê, ¿k Z b a ψ(x)dx = Z b a dx Z d c f(x, y)dy = ZZ D f(x, y)dxdy. 3 ◦ AO, XJ f(x, y) ëY, w,©Oé x Ú y ëY, Ïdþ¡ 1 ◦ Ú 2 ◦ ^Ñ÷v, Ïdk ZZ D f(x, y)dxdy = Z d c dy Z b a f(x, y)dx = Z b a dx Z d c f(x, y)dy =, ©Oé x Ú y È©gS´±. 4/29 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
È© \gÈ© È5 k.8þÈ© ¡È È©²þ½n y² A ´ f 3 D þÈ©, K? ε > 0, 3 δ > 0, D © T °Ý kT k < δ, ? ξi ∈ [xi−1, xi ], ηj ∈ [yj−1, yj], ¿P Pij = (ξi, ηj) ∈ Dij = [xi−1, xi ] × [yj−1, yj], ÒÑk A − ε < X i,j f(Pij)∆xi∆yj < A + ε. ½ A − ε < X m j=1 ∆yj X n i=1 f(ξi, ηj)∆xi < A + ε. 5¿, éu½ ηj ∈ [yj−1, yj], X n i=1 f(ξi, ηj)∆xi ´ f(x, ηj) 3 [a, b] þ Riemann Ú. Ïéu?Û½ y, f(x, y) x ¼ê´È, ¤± lim kTxk→0 X n i=1 f(ξi, ηj)∆xi = ϕ(ηj). 5/29 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
È© \gÈ© È5 k.8þÈ© ¡È È©²þ½n ùp, ϕ(y) = R b a f(x, y)dx. - kTxk → 0, kTyk < δ Òk A − ε 6 X m j=1 ϕ(ηj)∆yj 6 A + ε. dd ϕ(y) 3 [c, d] È, ¿k Z d c ϕ(y)dy = Z d c Z b a f(x, y)dx dy = A = ZZ D f(x, y)dxdy. ùÒy² 1 ◦ . Óny² 2 ◦ . þã(Jw·, ÷v½n¥^, «mþ¼êÈ ©, Òzü¼ê½È© (kéCþ¼êÈ©, 3é, Cþ¼êÈ©). ù«È©L§¡\gÈ©. \gÈ© , ÀJkéXÈ©, âÈ©B ½. 6/29 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
È© \gÈ© È5 k.8þÈ© ¡È È©²þ½n ~ 2 ¦ ZZ D e x+ydxdy, Ù¥ D = [0, 1] × [0, 1]. ) ZZ D e x+ydxdy = Z 1 0 dy Z 1 0 e x+ydx = Z 1 0 e ydy Z 1 0 e xdx = (e − 1) Z 1 0 e ydy = (e − 1)2 . ~ 3 ¦ ZZ D x cos xydxdy, Ù¥ D = [0, π] × [0, 1]. ) ZZ D x cos xydxdy = Z π 0 dx Z 1 0 x cos xydy = Z π 0 sin xy y=1 y=0 dx = Z π 0 sin xdx = 2. 3ù~f¥, XJké x È©, OþÒ . 7/29 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
È© \gÈ© È5 k.8þÈ© ¡È È©²þ½n 10.1.3 È5 éu«m D ±9© T , P mij = inf f(Dij), Mij = sup f(Dij), (i = 1, 2, · · · , n; j = 1, · · · , m). ωij = Mij − mij ¡ f 3 Dij þÌ. ½Â S(f, T ) = X n i=1 X m j=1 mijσ(Dij), S(f, T ) = X n i=1 X m j=1 Mijσ(Dij), ©O¡ f 'u© T eÚþÚ. w,k S(f, T ) 6 S(f, T ) 6 S(f, T ). T = Tx × Ty T 0 = T 0 x × T 0 y ´ D ü©. XJ T 0 x ' Tx [, Ó T 0 y ' Ty [, K¡ T 0 ' T [, P T 6 T 0 . 8/29 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
È© \gÈ© È5 k.8þÈ© ¡È È©²þ½n ½n 5 T T 0 ´ D ü©, T 6 T 0 . Kk S(f, T ) 6 S(f, T 0 ) 6 S(f, T 0 ) 6 S(f, T ). ùÒ´`, 3©\[L§¥, þÚØOeÚØ~. ½n 6 T1 T2 ´ D ü©. Kk S(f, T1) 6 S(f, T2). Ò´`?¿eÚجu?¿þÚ. w,eÚ¤¤8kþ., þÚ¤¤8ke. þÚe(.¡þ È©, P R f dxdy; eÚþ(.¡eÈ©, P R f dxdy. u´ Z f dxdy 6 Z f dxdy. 9/29 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
È© \gÈ© È5 k.8þÈ© ¡È È©²þ½n ½n 7 f ´½Â3«m D þk.¼ê. @oe¡o^ d: (1) f 3 D þÈ; (2) lim kT k→0 X n i=1 X m j=1 ωijσ(Dij) = 0, Ù¥ ωij = Mij − mij; (3) é?¿ ε > 0 3 D © T ¦ S(f, T ) − S(f, T ) < ε. (4) f þÈ©ÚeÈ© , = Z f dxdy = Z f dxdy. 10/29 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ