½ 1.È© 5 Green úª §11.3 1.È© 11.3.1 þ| ½Â 1 « D ⊂ R3 þþ¼ê F~(x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)), (x, y, z) ∈ D ¡þ|. Ôn¥6|, Úå|, >|, ^| , 3êÆþÑ´þ|. e f(x, y, z) ´« D þ¼ê, K grad f = ∂f ∂x , ∂f ∂y , ∂f ∂z ¡ f FÝ|. 1/32 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
½ 1.È© 5 Green úª 11.3.2 ½ m¥^ L üà: A Ú B. e L ½$Ä l A B, ½l B A, K L Ò¤^k. ½l A B , A ¡å:, B ¡ª:. , ½l B A , B ¡å :, A ¡ª:. (½ , ÒK. A B A B 2/32 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
½ 1.È© 5 Green úª L këêL« L : ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)), α 6 t 6 β L Òkg,, =ëêO\. d ~r(α) å:, ~r(β) ª:. Ï~òd. XJ ~r(t) ´ëY, ~r0 (t) Ø"þ, @o ¡ ~r(t) ¡1w. ù, ~r0 (t) ÒL«ëêO\. XJ L Oxy ²¡þ^ Jordan 4, KS.þò_ . d, 3þ1r, ¤«31. O x y 3/32 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
½ 1.È© 5 Green úª 11.3.3 1.È© m¥kå| F~ = (P, Q, R). ¦:3 F~ ^e÷ L l à A $Ä,à B ¤õ. 3 L þl A B ^S©: A = M0, M1, · · · , Mn = B. ã Li = ) Mi−1Mi Cqw¤kã Mi−1Mi = ∆~ri. 3 Li þ F~ Cqu ~å F~i . ù, :3 Li $ĤõCq u X n i=1 F~i · ∆~ri. ©Ã\, eþãÚªk4 , Kd4Ò´:÷ L l à A $Ä,à B ¤õ. A B Mi-1 Mi 4/32 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
½ 1.È© 5 Green úª ½Â 2 F~ = (P, Q, R) ´m« D ¥þ|. L ´ D ¥^ ¦k, å: A ª: B. 3 L þgl A B ^S : {~ri : i = 0, 1, · · · , n} ¦ ~r0 = A, ~rn = B. - ∆~ri = ~ri − ~ri−1, i = 1, 2, · · · , n, kT k = max 16i6n |∆~ri|. XJéulã ) ri−1ri þ?: ξi, 4 lim kT k→0 X n i=1 F~(ξi) · ∆~ri ½ê, KòdêP Z L F~ · d~r (11.1) ¡þ| F~ ÷k L 1.È©. e L ´kµ4, Kþ¡È©¡þ| F~ ÷´ L þ, ~^ H L F~ · d~r L«. 5/32 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
½ 1.È© 5 Green úª ~r = (x, y, z), K d~r = (dx, dy, dz). u´1.È©~L« Z L P dx + Qdy + Rdz. (11.2) ½n 1 k« D ⊂ R3 , ëYþ| F~ : D → R3 . q L ⊂ D ´^ k1w, Ùëê§ ~r = ~r(t), α 6 t 6 β, ¿ ëêO\ L , Kk Z L F~ · d~r = Z β α (F~ ◦ ~r) · ~r0 (t) dt. (11.3) e F~ = (P, Q, R), ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)), K Z L F~ · d~r = Z β α P (x(t), y(t), z(t))x 0 (t) + Q(x(t), y(t), z(t))y 0 (t) + R(x(t), y(t), z(t))z 0 (t) dt. (11.4) 6/32 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
½ 1.È© 5 Green úª y² - ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)), F~ = (P, Q, R). ½Â¥: {~r} {~r(ti)}, α = t0 < t1 < · · · < tn = β. lã ) ri−1ri þ: ξi = ~r(τi), ti−1 6 τi 6 ti. Ïd X n i=1 F~(ξi) · ∆~ri = X n i=1 F~ ◦ ~r(τi) · (~r(ti) − ~r(ti−1)) = X n i=1 P (~r(τi))(x(ti) − x(ti−1)) + X n i=1 Q(~r(τi))(y(ti) − y(ti−1)) + X n i=1 R(~r(τi))(z(ti) − z(ti−1)). d©¥½n, 3 λi, µi, νi ∈ [ti−1, ti ] ¦ x(ti) − x(ti−1) = x 0 (λi)∆ti, y(ti) − y(ti−1) = y 0 (µi)∆ti, z(ti) − z(ti−1) = z 0 (νi)∆ti, 7/32 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
½ 1.È© 5 Green úª Ïd X n i=1 F~(ξi) · ∆~ri = X n i=1 P (~r(τi))x 0 (λi)∆ti + X n i=1 Q(~r(τi))y 0 (µi)∆ti + X n i=1 R(~r(τi))z 0 (νi)∆ti. - max i |∆ti| → 0, Ò Z L F~ · d~r = Z β α P (x(t), y(t), z(t))x 0 (t) + Q(x(t), y(t), z(t))y 0 (t) + R(x(t), y(t), z(t))z 0 (t) dt. 5¿, éu/X R L P dx È©, ATn)¤´AÏþ| F~ = (P, 0, 0) 1.È©, Ø´Ï~½È©, ùp dx ´kl 3 x ¶ÝK. Ù¦/aq. 8/32 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
½ 1.È© 5 Green úª 1.È©äk±e5: 1) 5: =e F~ = c1F~1 + c2F~2, Kk Z L F~ · d~r = c1 Z L F~1 · d~r + c2 Z L F~2 · d~r. AO, F~1 = P~i, F~2 = Q~j, F~3 = R~k , F~ = F~1 + F~2 + F~3 = P~i + Q~j + R~k. Ïd Z L F~ · d~r = Z L P dx + Qdy + Rdz = Z L P dx + Z L Qdy + Z L Rdz 2) éÈ©\5: e LAC ´d LAB Ú LBC ë ¤, Kk Z LAC F~ · d~r = Z LAB F~ · d~r + Z LBC F~ · d~r. ¤±éuÅã1w, ±©ã?1È©. 3) È©5: R LAB F~ · d~r = − R LBA F~ · d~r. 9/32 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
½ 1.È© 5 Green úª ~ 1 OÈ© R L xydx + x 2dy, L ´n/ OAB ±., Ù ¥ A = (1, 2), B = (0, 2). ) Z L xydx + x 2dy = Z L1 + Z L2 + Z L3 xydx + x 2dy. Z L1 xydx + x 2dy = Z 1 0 (x · 2x + 2x 2 )dx = 4 Z 1 0 x 2dx = 4 3 Z L2 xydx + x 2dy = −2 Z 1 0 (1 − x)dx = −1, Z L3 xydx + x 2dy = 0 ¤± Z L xydx + x 2dy = 4 3 − 1 = 1 3 . O x y B A L L L 1 2 3 10/32 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ