第一章多项式s1数域教学目的了解代数性质的意义，理解运算封闭的概念，掌握数环、数域的定义.重点数环、数域的定义教学过程引入在中学代数里，我们看到许多数学问题的结论和数的范围有关，比如方程x-2=0有没有解？这不能笼统回答“有”，还是“没有”，因为该方程在整数范围及有理数范围内无解，在实数范围内、复数范围内有解士/2该方程有没有解和数的范围有关.今天我们讨论两类重要的数集一一数环和数域关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质.代数所研究的问题主要涉及数的代数性质，这方面的大部分性质是有理数、实数、复数的全体所共有的定义1设P是由一些复数组成的集合，其中包括0与1.如果P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是中的数，那么P就称为一个数域显然全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域.这三个数域分别用字母Q、R、C来代表.全体整数组成的集合就不是数域如果数的集合P中任意两个数作某一种运算的结果都仍在P中，就说数集P对这个运算是封闭的.因此数域的定义也可以说成，如果一个包含0，1在内的数集P对于加法、减法、乘法与除法（除数不为零）是封闭的，那么P就称为一个数域例1所有具有形式a+b/2
第一章 多项式 §1 数域 教学目的 了解代数性质的意义，理解运算封闭的概念，掌握数环、数域的 定义. 重 点 数环、数域的定义. 教学过程 引入 在中学代数里，我们看到许多数学问题的结论和数的范围有关， 比如方程 有没有解？这不能笼统回答“有”，还是“没有”，因为该 方程在整数范围及有理数范围内无解，在实数范围内、复数范围内有解 ， 该方程有没有解和数的范围有关.今天我们讨论两类重要的数集――数环 和数域. 关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质.代数所 研究的问题主要涉及数的代数性质，这方面的大部分性质是有理数、实数、 复数的全体所共有的. 定义 1 设 P 是由一些复数组成的集合，其中包括 0 与 1.如果 P 中任意 两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是中的数，那么 P 就称为一个 数域. 显然全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集 合都是数域.这三个数域分别用字母 Q、R、C 来代表.全体整数组成的集合 就不是数域. 如果数的集合 P 中任意两个数作某一种运算的结果都仍在 P 中，就说 数集 P 对这个运算是封闭的.因此数域的定义也可以说成，如果一个包含 0， 1 在内的数集 P 对于加法、减法、乘法与除法（除数不为零）是封闭的，那 么 P 就称为一个数域. 例 1 所有具有形式 a + b 2 2 x − = 2 0 2
的数（其中a,b是任何有理数），构成一个数域.通常用Q(V2)来表示这个数域例2所有可以表成形式a+an+...+a,元"Wb+b,元+..+b.元的数组成一数域，其中n,m为任意非负整数，a,b,(i=0,l,.,n;j=0,1,,m)是整数例3所有奇数组成的数集，对于乘法是封闭的，但对于加、减法不是封闭的性质：所有的数域都包含有理数域作为它的一部分
的数（其中 a,b 是任何有理数），构成一个数域.通常用 Q( 2) 来表示这个数 域. 例 2 所有可以表成形式 m m n n b b b a a a + + + + + + 0 1 0 1 的数组成一数域，其中 n,m 为任意非负整数， a ,b (i 0,1, ,n; j 0,1, ,m) i j = = 是整数. 例 3 所有奇数组成的数集，对于乘法是封闭的，但对于加、减法不是 封闭的. 性质：所有的数域都包含有理数域作为它的一部分
82一元多项式教学目的理解一元多项式的有关术语，掌握多项式的加法和乘法，熟练掌握次数定理，重点次数定理教学过程一、一元多项式定义2设n是一非负整数，形式表达式(1)a,x"+an-i"+...+ax+ao其中ao,aj，,a,全属于数域P，称为系数在数域P中的一元多项式，或者简称为数域P上的一元多项式在多项式（1）中，a,x称为i次项，a,称为i次项的系数.以后用f(x).g(x),或f,g,..等来表示多项式注意：这里定义的多项式是符号或文字的形式表达式定义3如果在多项式f(x)与g(x)中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，那么f(x)与g(x)就称为相等，记为f(x)=g(x)系数全为零的多项式称为零多项式，记为0在（1）中，如果a,0，那么a,x"称为多项式（1）的首项，a,称为首项系数，n称为多项式（1）的次数.零多项式是唯一不定义次数的多项式.多项式f(x)的次数记为a(f(x)二、多项式的运算设f(x)=a,+"+a-+"- +.+ax+aog(x)=b.x"+bm-+*"++.+bx+bo是数域P上两个多项式，那么可以写成
§2 一元多项式 教学目的 理解一元多项式的有关术语，掌握多项式的加法和乘法，熟练掌 握次数定理. 重 点 次数定理. 教学过程 一、一元多项式 定义 2 设 n 是一非负整数，形式表达式 1 0 1 a x a 1 x a x a n n n n + + + + − − (1) 其中 a a an , , , 0 1 全属于数域 P ，称为系数在数域 P 中的一元多项式，或者简 称为数域 P 上的一元多项式. 在多项式（1）中， i i a x 称为 i 次项， i a 称为 i 次项的系数.以后用 f (x), g(x), 或 f , g, 等来表示多项式. 注意：这里定义的多项式是符号或文字的形式表达式. 定义 3 如果在多项式 f (x) 与 g(x) 中，除去系数为零的项外，同次项的 系数全相等，那么 f (x) 与 g(x) 就称为相等，记为 f (x) = g(x) . 系数全为零的多项式称为零多项式，记为 0. 在（1）中，如果 an 0 ，那么 n n a x 称为多项式（1）的首项， n a 称为首 项系数， n 称为多项式（1）的次数.零多项式是唯一不定义次数的多项式.多 项式 f (x) 的次数记为 ( f (x)). 二、多项式的运算 设 1 0 1 1 f (x) a x a x a x a n n n = n + + + + − − 1 0 1 1 g(x) b x b x b x b m m m = m + + + + − − 是数域 P 上两个多项式，那么可以写成
f(x)=>a.xg(x)=Zb,x)j=0在表示多项式f(x)与g(x)的和时，如n≥m，为了方便起见，在g(x)中令b,=bm--=.….=bm+=0，那么f(x)与g(x)的和为f(x)+g(x)=(a, +b,)x" +(an-- +bn--)x"- +...+(a, +b,)x+(a+b,)(a, +b,)x而 f(x)与g(x)的乘积为f(x)g(x)=a,bm++(a,bm- +an-bm)xm-l +..+(a,b +aob)x+aobo其中s次项的系数是a,bo+a.b+.+abs--+aob,=Zab+j=所以f(x) g(x)可表成f(x)g(x)=-Z(Za,b,)x*.s=0 i+j=显然，数域P上的两个多项式经过加、减、乘运算后，所得结果仍然是数域P上的多项式对于多项式的加减法，不难看出a(f(x)+ g(x) ≤max(a(f(x), a(g(x)对于多项式的乘法，可以证明，若f(x)±0,g(x)0，则f(x)g(x)+0，并且a(f(x)g(x) = a(f(x) +a(g(x)由以上证明看出，多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的乘积显然上面的结果都可以推广到多个多项式的情形多项式的运算满足以下的一些规律：
= = n i i i f x a x 0 ( ) = = m j j j g x b x 0 ( ) 在表示多项式 f (x) 与 g(x) 的和时，如 n m ，为了方便起见，在 g(x) 中令 bn = bn−1 == bm+1 = 0 ，那么 f (x) 与 g(x) 的和为 = − − − = + + = + + + + + + + + n i i i i n n n n n n a b x f x g x a b x a b x a b x a b 0 1 1 0 0 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 而 f (x) 与 g(x) 的乘积为 1 0 0 1 0 0 1 1 1 f (x)g(x) a b x (a b a b )x (a b a b )x a b n m n m n m n m = n m + + + + + + + − − − + 其中 s 次项的系数是 + = + − + + − + = i j s asb0 as 1b1 a1bs 1 a0bs aibj 所以 f (x) g(x) 可表成 s n m s i j s i j f (x)g(x) ( a b )x 0 + = + = = . 显然，数域 P 上的两个多项式经过加、减、乘运算后，所得结果仍然是 数域 P 上的多项式. 对于多项式的加减法，不难看出 ( f (x) + g(x)) max( ( f (x)), (g(x))). 对于多项式的乘法，可以证明，若 f (x) 0, g(x) 0 ，则 f (x)g(x) 0， 并且 ( f (x)g(x)) = ( f (x)) + (g(x)) 由以上证明看出，多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的乘积. 显然上面的结果都可以推广到多个多项式的情形. 多项式的运算满足以下的一些规律：
1.加法交换律：f(x)+g(x)=g(x)+f(x)2.加法结合律：(f(x)+g(x)+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x)3.乘法交换律：：f(x)g(x)=g(x)f(x)4.乘法结合律：(f(x)g(x)h(x)=f(x)(g(x)h(x)5.乘法对加法的分配律：f(x)(g(x)+h(x)=f(x)g(x)+f(x)h(x)6. 乘法消去律：若f(x)g(x)=f(x)h(x)且f(x)±0，则g(x)=h(x)定义4所有系数在数域P中的一元多项式的全体，称为数域P上的一元多项式环，记为P[x]，P称为P[x]的系数域
1. 加法交换律： f (x) + g(x) = g(x) + f (x) . 2. 加法结合律： ( f (x) + g(x)) + h(x) = f (x) + (g(x) + h(x)) 3. 乘法交换律：. f (x)g(x) = g(x) f (x) 4. 乘法结合律： ( f (x)g(x))h(x) = f (x)(g(x)h(x)) 5. 乘法对加法的分配律： f (x)(g(x) + h(x)) = f (x)g(x) + f (x)h(x) 6. 乘法消去律：若 f (x)g(x) = f (x)h(x) 且 f (x) 0 ，则 g(x) = h(x). 定义 4 所有系数在数域 P 中的一元多项式的全体，称为数域 P 上的一 元多项式环，记为 P[x]， P 称为 P[x] 的系数域
83整除的概念教学目的理解整除的概念，熟练掌握整除的性质和带余除法定理，记忆整除、带余除法的有关术语，了解数域的扩张不影响多项式的整除性重点带余除法定理，整除.难点整除的灵活应用.教学过程在一元多项式环中，可以作加、减、乘三种运算，但是乘法的逆运算一除法一并不是普遍可以做的.因之整除就成了两个多项式之间的一种特殊的关系.一、整除的概念带余除法对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x)，其中g(x)+0，定有P[x]中的多项式q(x),r(x)存在，使(1)f(x)=q(x)g(x)+r(x)成立，其中a(r(x)<a(g(x)或者r(x)=0，并且这样的q(x),r(x)是唯一决定的.带余除法中所得的q(x)通常称为g(x)除f(x)的商，r(x)称为g(x)除f(x)的余式.定义5数域P上的多项式g(x)称为整除f(x)，如果有数域P上的多项式h(x)使等式f(x) = g(x)h(x)成立.用"g(x)/f(x)"表示g(x)整除f(x)，用"g(x)/f(x)"表示g(x)不能整除f(x).当g(x)If(x)时，g(x)就称为f(x)的因式，f(x)称为g(x)的倍式
§3 整除的概念 教学目的 理解整除的概念，熟练掌握整除的性质和带余除法定理，记忆 整除、带余除法的有关术语，了解数域的扩张不影响多项式的整除性. 重 点 带余除法定理, 整除. 难 点 整除的灵活应用. 教学过程 在一元多项式环中，可以作加、减、乘三种运算，但是乘法的逆运算— 除法—并不是普遍可以做的.因之整除就成了两个多项式之间的一种特殊的 关系. 一、整除的概念 带余除法 对于 P[x] 中任意两个多项式 f (x) 与 g(x) ，其中 g(x) 0 ，一 定有 P[x] 中的多项式 q(x),r(x) 存在，使 f (x) = q(x)g(x) + r(x) (1) 成立，其中 (r(x)) (g(x)) 或者 r(x) = 0 ，并且这样的 q(x),r(x) 是唯一决定 的. 带余除法中所得的 q(x) 通常称为 g(x) 除 f (x) 的商， r(x) 称为 g(x) 除 f (x) 的余式. 定义 5 数域 P 上的多项式 g(x) 称为整除 f (x) ，如果有数域 P 上的多项 式 h(x) 使等式 f (x) = g(x)h(x) 成立.用“ g(x) | f (x) ”表示 g(x) 整除 f (x) ，用“ g(x) | f (x) ”表示 g(x) 不能整 除 f (x) . 当 g(x) | f (x) 时， g(x) 就称为 f (x) 的因式， f (x) 称为 g(x) 的倍式
当g(x)±0时，带余除法给出了整除性的一个判别条件定理1对于数域P上的任意两个多项式f(x)，g(x)，其中g(x)±0g(x)If(x)的充要条件是g(x)除f(x)的余式为零带余除法中g(x)必须不为零.但g(x)lf(x)中，g(x)可以为零.这时f(x)= g(x)· h(x)= 0h(x)= 0 .当g(x)1f(x)时，如g(x)±0，g(x)除f(x)的商g(x)有时也用f(x)g(x)来表示二、整除的性质1.任一多项式f(x)一定整除它自身2.任一多项式f(x)都能整除零多项式03．零次多项式，即非零常数，能整除任一个多项式4. 若f(x)Ig(x),g(x)If(x)，则f(x)=cg(x),其中c为非零常数5.若f(x)Ig(x),g(a)/h(x)，则f(x)/h(x）（整除的传递性）6. 若f(x)/g,(x),i=1,2,.",r，则f(x)/(u,(x)gi(x)+u(x)g2(x)+...+u,(x)g,(x)其中u,(x)是数域P上任意的多项式通常,将u(x)gi(x)+u (x)g2(x)+..+u, (x)g,(x)称为gi(x),g2(n),",g,(x)的一个多项式组合.由以上性质可以看出，f(x)与它的任一个非零常数倍cf(x)(c0)有相同的因式，也有相同的倍式.因之，在多项式整除性的讨论中，f(x)常常可以用cf(x)来代替
当 g(x) 0 时，带余除法给出了整除性的一个判别条件. 定理 1 对于数域 P 上的任意两个多项式 f (x) ， g(x) ，其中 g(x) 0 ， g(x) | f (x) 的充要条件是 g(x) 除 f (x) 的余式为零. 带余除法中 g(x) 必须不为零.但 g(x) | f (x) 中， g(x) 可以为零 .这时 f (x) = g(x) h(x) = 0 h(x) = 0 . 当 g(x) | f (x) 时，如 g(x) 0 ， g(x) 除 f (x) 的商 q(x) 有时也用 ( ) ( ) g x f x 来表示. 二、整除的性质 1. 任一多项式 f (x) 一定整除它自身. 2. 任一多项式 f (x) 都能整除零多项式 0. 3. 零次多项式，即非零常数，能整除任一个多项式. 4. 若 f (x) | g(x), g(x) | f (x) ，则 f (x) = cg(x),其中 c 为非零常数. 5. 若 f (x) | g(x), g(x) | h(x) ，则 f (x) | h(x) （整除的传递性）. 6. 若 f x g x i r i ( ) | ( ), =1,2, , ，则 ( )| ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) 1 1 2 2 f x u x g x u x g x u x g x + ++ r r , 其中 u (x) i 是数域 P 上任意的多项式. 通常，将 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 u x g x u x g x u x g x + ++ r r 称为 ( ) 1 g x ， ( ) 2 g x ，.， g (x) r 的一个多项式组合. 由以上性质可以看出， f (x) 与它的任一个非零常数倍 cf (x)(c 0) 有相 同的因式，也有相同的倍式.因之，在多项式整除性的讨论中， f (x) 常常可 以用 cf (x) 来代替
最后，两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变.即若f(x)g(x)是P[x)中两个多项式，P是包含P的一个较大的数域.当然，f(x)，g(x)也可以看成是P[x)]中的多项式.从带余除法可以看出，不论把f(x)，g(x)看成是P[x]中或者是P[x]中的多项式，用g(x)去除f(x)所得的商式及余式都是一样的.因此，若在P[x]中g(x)不能整除f(x)，则在P[x]中，g(x)也不能整除f(x)例 1 证明若 g(x)Ifi(x)+ f2(),g(x)I fi(x)-f2(x),则g(x)/ f,(x),g(x)/ f,(x)例2求k,1，使x2+x+1/x+kx+1.例 3 若g(x)I f(x),g(x) /h(x)，则g(x) f(x)+h(x)
最后，两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变.即若 f (x) ， g(x) 是 P[x] 中两个多项式， P 是包含 P 的一个较大的数域.当然， f (x) ， g(x) 也可以看成是 P[x] 中的多项式.从带余除法可以看出，不论把 f (x) ， g(x) 看成是 P[x] 中或者是 P[x] 中的多项式，用 g(x) 去除 f (x) 所得的商式 及余式都是一样的.因此，若在 P[x] 中 g(x) 不能整除 f (x) ，则在 P[x] 中， g(x) 也不能整除 f (x) . 例 1 证明若 ( )| ( ) ( ), ( )| ( ) ( ) 1 2 1 2 g x f x + f x g x f x − f x ，则 ( )| ( ), ( )| ( ) 1 2 g x f x g x f x 例 2 求 k,l ，使 | 1 2 3 x + x + l x + kx+ . 例 3 若 g(x) | f (x), g(x) | h(x) ，则 g(x) | f (x) + h(x)
84多项式的最大公因式教学目标掌握公因式、最大公因式、互素的概念和辗转相除法，熟练掌握最大公因式定理和互素的充要条件重点难点最大公因式定理，互素的充要条件教学过程一、多项式的最大公因式如果多项式p(x)既是f(x)的因式，又是g(x)的因式，那么p(x)就称为f(x)与g(x)的一个公因式定义 6设f(x)与g(x)是P[x]中两个多项式.P[x]中多项式d(x)称为(x)，g(x)的一个公因式,如果它满足下面两个条件：1) d(x)是f(x)与g(x)的公因式；2）f(x)，g(x)的公因式全是d(x)的因式例如，对于任意多项式f(x)，f(x)就是f(x)与0的一个最大公因式.特别地，根据定义，两个零多项式的最大公因式就是0.引理如果有等式(1) f(x) = q(x)g(x)+r(x)成立，那么f(x)，g(x)和g(x)，r(x)有相同的公因式定理2对于P[x]的任意两个多项式f(x)，g(x)，在P[x]中存在一个最大公因式d(x)，且d(x)可以表成f(x)，g(x)的一个组合，即有P[x)中多项式u(x),v(x)使(2)d(x) = u(x)f(x)+v(x)g(x)由最大公因式的定义不难看出，如果d,(x),d,(x)是f(x)，g(x)的两个
§4 多项式的最大公因式 教学目标 掌握公因式、最大公因式、互素的概念和辗转相除法，熟练掌握 最大公因式定理和互素的充要条件. 重点难点 最大公因式定理，互素的充要条件. 教学过程 一 、多项式的最大公因式 如果多项式 (x) 既是 f (x) 的因式，又是 g(x) 的因式，那么 (x) 就称为 f (x) 与 g(x) 的一个公因式. 定义 6 设 f (x) 与 g(x) 是 P[x] 中两个多项式. P[x] 中多项式 d (x) 称为 f (x) ， g(x) 的一个公因式,如果它满足下面两个条件： 1） d (x) 是 f (x) 与 g(x) 的公因式； 2） f (x) ， g(x) 的公因式全是 d (x) 的因式. 例如，对于任意多项式 f (x) ， f (x) 就是 f (x) 与 0 的一个最大公因式. 特别地，根据定义，两个零多项式的最大公因式就是 0. 引理 如果有等式 f (x) = q(x)g(x) + r(x) (1) 成立，那么 f (x) ， g(x) 和 g(x)，r(x) 有相同的公因式. 定理 2 对于 P[x] 的任意两个多项式 f (x) ，g(x) ，在 P[x] 中存在一个最 大公因式 d (x) ，且 d (x) 可以表成 f (x) ，g(x) 的一个组合，即有 P[x] 中多项 式 u(x), v(x) 使 d(x) = u(x) f (x) + v(x)g(x) (2) 由最大公因式的定义不难看出，如果 ( ), ( ) 1 2 d x d x 是 f (x) ，g(x) 的两个
最大公因式，那么一定有d,(x)ld,(x)与d,(x)ld,(x)，也就是说d,(x)=cd,(x),c*0.这就是说，两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯一确定的.两个不全为零的多项式的最大公因式总是一个非零多项式.在这个情形，我们约定，用(f(x),g(x))来表示首项系数是1的那个最大公因式，定理证明中用来求最大公因式的方法通常称为转相除法（divisionalgorithm).例设f(x)=x* +3x3 -x2 -4x-3g(x) = 3x3 +10x2 + 2x -3求 (f(x)，g(x)),并求u(x),v(x)使d(x) = u(x)f(x)+v(x)g(x).注：定理2的逆不成立.例如令f(x)=x, g(x)=x+1,则x(x+ 2)+(x + 1)(x -1)= 2x2 + 2x -1.但2x2+2x-1显然不是f(x)与g(x)的最大公因式但是当(2)式成立，而d(x)是f(x)与g(x)的一个公因式，则d(x)一定是f(x)与g(x)的一个最大公因式.二、多项式互素定义7P[x)中两个多项式f(x)，g(x)称为互素（也称为互质）的，如果(f(x),g(x)=1
最大公因式，那么一定有 ( )| ( ) 1 2 d x d x 与 ( )| ( ) 2 1 d x d x ， 也 就 是 说 d1 (x) = cd2 (x),c 0 .这就是说，两个多项式的最大公因式在可以相差一个 非零常数倍的意义下是唯一确定的.两个不全为零的多项式的最大公因式 总是一个非零多项式.在这个情形，我们约定，用 （ f (x) ， g(x) ） 来表示首项系数是 1 的那个最大公因式. 定理证明中用来求最大公因式的方法通常称为辗转相除法(division algorithm). 例 设 ( ) 3 4 3 4 3 2 f x = x + x − x − x − ( ) 3 10 2 3 3 2 g x = x + x + x − 求（ f (x) ， g(x) ），并求 u(x), v(x) 使 d(x) = u(x) f (x) + v(x)g(x) . 注：定理 2 的逆不成立.例如令 f (x) = x, g(x) = x +1, 则 ( 2) ( 1)( 1) 2 2 1 2 x x + + x + x − = x + x − . 但 2 2 1 2 x + x − 显然不是 f (x) 与 g(x) 的最大公因式. 但是当(2)式成立，而 d (x) 是 f (x) 与 g(x) 的一个公因式，则 d (x) 一定 是 f (x) 与 g(x) 的一个最大公因式. 二、多项式互素 定义 7 P[x] 中两个多项式 f (x) ， g(x) 称为互素（也称为互质）的， 如果 ( f (x), g(x)) = 1