第九章欧几里得空间81定义与基本性质教学目的熟练掌握欧氏空间的定义、柯西-涅布柯夫斯基不等式、度量矩阵概念与性质，掌握向量的长度、夹角、正交的概念，掌握三角不等式，勾股定理重点欧氏空间的定义，柯西-涅布柯夫斯基不等式，度量矩阵.难点柯西-涅布柯夫斯基不等式，度量矩阵教学过程引入线性空间的模型是几何空间，我们把线性空间与几何空间比较发现，几何空间有长度、角度、距离等度量概念，但是线性空间没有这些概念。度量概念是十分重要，十分基本的概念，有必要在线性空间中引入度量，这就是本章的任务一、向量的内积定义1设V是实数域R上一个向量空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积(innerproduct),记作(α，β)，它具有以下性质：1) (α,β)=(β,α);2) (kα,β)=k(α,β);3) (α+β,)=(α,)+(β,);4）(α,α)≥0,当且仅当α=0时，(α,α)=0这里α,β,是V任意的向量，k是任意实数,这样的线性空间V称为欧几里得空间（Euclideanspace）：例1在线性空间R"中,对于向量α=(a,a2,"",an),β=(bj,b2,",bn)定义内积(1)(α,β)=a,b+a,b, +.+a,bn
第九章 欧几里得空间 §1 定义与基本性质 教学目的 熟练掌握欧氏空间的定义、柯西-涅布柯夫斯基不等式、度 量矩阵概念与性质，掌握向量的长度、夹角、正交的概念，掌 握三角不等式，勾股定理. 重 点 欧氏空间的定义，柯西-涅布柯夫斯基不等式，度量矩阵. 难 点 柯西-涅布柯夫斯基不等式，度量矩阵. 教学过程 引入 线性空间的模型是几何空间，我们把线性空间与几何空间比较发 现，几何空间有长度、角度、距离等度量概念，但是线性空间没有这些概念. 度量概念是十分重要，十分基本的概念，有必要在线性空间中引入度量，这 就是本章的任务. 一、向量的内积 定义 1 设 V 是实数域 R 上一个向量空间,在 V 上定义了一个二元实函 数，称为内积(inner product),记作 (, ) ,它具有以下性质: 1) (, ) = (,) ; 2) (k, ) = k(, ) ; 3) ( + , ) = (, ) + (, ) ; 4) (,) 0,当且仅当 = 0 时, (,) = 0 这里 , , 是 V 任意的向量, k 是任意实数,这样的线性空间 V 称为欧几里得 空间（Euclidean space）. 例 1 在线性空间 n R 中,对于向量 ( , , , ) , ( , , , ) = a1 a2 an = b1 b2 bn , 定义内积 ( , ) . = a1 b1 + a2 b2 ++ an bn (1)
则内积(1)适合定义中的条件，这样R"就成为一个欧几里得空间.仍用来表示这个欧几里得空间在n=3时，（1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式.例2在R"里，对于向量α=(ai,a2,",an),β=(bi,b2,"",bn),定义内积(α,β)=a,b, +2a,b, +...+na,b,则内积(1)适合定义中的条件，这样R就也成为一个欧几里得空间.仍用来表示这个欧几里得空间对同一个线性空间可以引入不同的内积，使得它作成欧几里得空间例3在闭区间[a,b]上的所有实连续函数所成的空间C(a,b)中,对于函数f(x),g(x)定义内积(2)(f(x),g(x)=,f(x)g(x)dx对于内积(2)，C(a,b)构成一个欧几里得空间，同样地，线性空间R[x],R[x],对于内积(2)也构成欧几里得空间例4令H是一切平方和收敛的实数列d5=(xi,x2,,x,),Zx <+=I所成的集合，则H是一个欧几里得空间,通常称为希尔伯特(Hilbert)空间二、欧几里得空间的基本性质1）定义中条件1）表明内积是对称的2') (α,kβ)=(kβ,α)=k(α,β)= k(β,α).3') (α,β+)=(β+y,α)=(β,α)+(,α)=(α,β)+(α,)定义2非负实数/αα）称为向量α的长度（length），记为αl显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质：
则内积(1)适合定义中的条件，这样 n R 就成为一个欧几里得空间.仍用来表示 这个欧几里得空间. 在 n = 3 时，(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标 表达式. 例 2 在 n R 里, 对于向量 ( , , , ) , ( , , , ) = a1 a2 an = b1 b2 bn , 定义内积 ( , ) 2 . = a1 b1 + a2 b2 ++ nan bn 则内积(1)适合定义中的条件，这样 n R 就也成为一个欧几里得空间.仍用 来表示这个欧几里得空间., 对同一个线性空间可以引入不同的内积,使得它作成欧几里得空间. 例 3 在闭区间 [a,b] 上的所有实连续函数所成的空间 C(a,b) 中,对于函数 f (x), g(x) 定义内积 = b a ( f (x), g(x)) f (x)g(x)dx . (2) 对于内积(2)，C(a,b) 构成一个欧几里得空间. 同样地，线性空间 n R[x], R[x] 对于内积(2)也构成欧几里得空间. 例 4 令 H 是一切平方和收敛的实数列 = + =1 2 1 2 ( , , , ), n n n x x x x 所成的集合,则 H 是一个欧几里得空间,通常称为希尔伯特(Hilbert)空间. 二、欧几里得空间的基本性质 1）定义中条件 1）表明内积是对称的. 2) (, k ) = (k,) = k(, ) = k(,). 3) (, + ) = ( + ,) = (,) + ( ,) = (, ) + (, ) 定义 2 非负实数 (,) 称为向量 的长度（length），记为 . 显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度 符合熟知的性质：
[ka| -= k 1|al(3)这里keR,αeV长度为1的向量叫做单位向量(unitvecter）.如果,α±0由(3)式，向量UJal就是一个单位向量.用向量α的长度去除向量α，得到一个与α成比例的单位向量，通常称为把α单位化柯西-布涅柯夫斯基(cauchy-buniakowski)不等式：即对于任意的向量α,β有(α, β)≤Jaβ(4)当且仅当α,β线性相关时，等式才成立对于例1的空间R"，（4)式就是ab,+a,b,+..+a,b,|≤a+a?+..+a,b?+b?++b?对于例2的空间C(a,b)，(4)式就是[()g((())(g())定义3非零向量α,β的夹角规定为(α,β)2, 0≤(α,β)≤元(5)=arccos[al/β]根据柯西-布涅柯夫斯基不等式，有三角形不等式Jα + β≤[al +[β](6)定义4如果向量α,β的内积为零，即(α,β)=0那么αβ称为正交(orthogonal)或互相垂直，记为α工β两个非零向量正交的充要条件是它们的夹角为
k =| k | (3) 这里 k R, V . 长度为 1 的向量叫做单位向量(unit vecter ).如果, 0 由(3)式，向量 1 就是一个单位向量.用向量 的长度去除向量 ，得到一个与 成比例的单 位向量，通常称为把 单位化. 柯西-布涅柯夫斯基(cauchy –buniakowski)不等式：即对于任意的向量 , 有 (,) (4) 当且仅当 , 线性相关时，等式才成立. 对于例 1 的空间 n R ，(4)式就是 . 2 2 2 2 1 2 2 2 2 a1b1 + a2b2 ++ anbn a1 + a ++ an b + b ++ bn 对于例 2 的空间 C(a,b)，(4)式就是 2 1 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) b a b a b a f x g x dx f x dx g x dx 定义 3 非零向量 , 的夹角 , 规定为 = , 0 , ( , ) , arccos (5) 根据柯西-布涅柯夫斯基不等式，有三角形不等式 + + . (6) 定义 4 如果向量 , 的内积为零，即 (, ) = 0 那么 , 称为正交(orthogonal)或互相垂直，记为 ⊥ . 两个非零向量正交的充要条件是它们的夹角为 2
只有零向量才与自己正交勾股定理：当αβ正交时，α+=a+(7)推广：如果向量两α,α2,α两两正交，那么[a +α2 +..+am=a] +a+..+am设V是一个n维欧几里得空间，在V中取一组基6i,62,,,，对于V中任意两个向量α=xe+X262 +...+x,en,β=ye+y282+...+y,8n.由内积的性质得(a,β)=(xe)+x,e,+.+x,en,ye)+y2, +.+y,e.)=2Z(8,8)x,y)i=l j=l令(8)aj =(6,6)(i,j=1,2,...,n)显然a,=aji于是n(α, β)=)(9)Zaixyi=l j=l利用矩阵，(α,β)还可以写成(α,β)= X'AY,(10)其中(i)(5)y2X2X =Y:..(n)(xn分别是α,β的坐标，而矩阵
只有零向量才与自己正交. 勾股定理：当 , 正交时， . 2 2 2 + = + (7) 推广：如果向量两 m , , , 1 2 两两正交，那么 2 2 2 2 1 2 1 + 2 ++ m = + ++ m . 设 V 是一个 n 维欧几里得空间，在 V 中取一组基 n , , , 1 2 ，对于 V 中 任意两个向量 n n = x + x ++ x 1 1 2 2 , n n = y + y ++ y 1 1 2 2 , 由内积的性质得 = = = = + + + + + + n i n j i j i j n n n n x y x x x y y y 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 ( , ) ( , ) , 令 a ( , ) (i, j 1, 2 , ,n) ij = i j = (8) 显然 . aij = a ji 于是 = = = n i n j ij i j a x y 1 1 (, ) (9) 利用矩阵， (, ) 还可以写成 (, ) = X AY , (10) 其中 = = n n y y y Y x x x X 2 1 2 1 , 分别是 , 的坐标，而矩阵
A=(a,)mn称为基s,82，"",8,的度量矩阵(metricmatrix）上面的讨论表明，在知道了组基的度量矩阵之后，任意两个向量的内积就可以通过坐标按（9）或（10）来计算，因而度量矩阵完全确定了内积设n2n是空间V的另外一组基，而由s2到2的过渡矩阵为C，即(n,2,...,n.)=(),82,.,8,)C于是不难算出，基n,n2，,n,的度量矩阵B=(b,)=(n,n,)= C'AC,(11)这就是说，不同基的度量矩阵是合同的根据条件(4)，对于非零向量α，即(0)0X...0有(α,α)=X'AX >0因此，度量矩阵是正定的反之，给定一个n级正定矩阵A及n维实线性空间V的一组基81,82，"",8.可以规定V上内积，使它成为欧几里得空间，并且基的8,62",度量矩阵是A.欧几里得空间的子空间在所定义的内积之下显然也是一个欧几里得空间,欧几里得空间以下简称为欧氏空间
A aij nn = ( ) 称为基 n , , , 1 2 的度量矩阵(metric matrix ).上面的讨论表明，在知道了一 组基的度量矩阵之后，任意两个向量的内积就可以通过坐标按（9）或（10） 来计算，因而度量矩阵完全确定了内积. 设 n , , , 1 2 是空间 V 的另外一组基，而由 n , , , 1 2 到 n , , , 1 2 的过渡矩阵为 C ，即 (1 ,2 , ,n ) = ( 1 , 2 , , n )C 于是不难算出，基 n , , , 1 2 的度量矩阵 B = (bij) = (i , j) = CAC . (11) 这就是说，不同基的度量矩阵是合同的. 根据条件(4)，对于非零向量 ，即 0 0 0 X 有 (,) = X AX 0 因此，度量矩阵是正定的. 反之，给定一个 n 级正定矩阵 A 及 n 维 实线性空 间 V 的 一 组 基 n , , , 1 2 .可以规定 V 上内积，使它成为欧几里得空间，并且基的 n , , , 1 2 度量矩阵是 A . 欧几里得空间的子空间在所定义的内积之下显然也是一个欧几里得空 间. 欧几里得空间以下简称为欧氏空间
S2正交基教学目的掌握正交组、正交基、正交矩阵的概念，熟练掌握标准正交基的概念、作用、求法及其关系重点标准正交基的概念、作用、求法及其关系难点施密特正交化方法及应用教学过程引入解析几何中，我们常常选取3个正交单位向量构成直角坐标系，那么在n维欧氏空间中能否找到n个正交的单位向量构成“直角坐标系”呢？将“直角坐标系”用代数的语言叙述就是标准正交基问题一、标准正交基定义5欧氏空间V的一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一个正交向量组（orthogonalfamilles）按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组正交向量组是线性无关的.这个结果说明，在n维欧氏空间中，两两正交的非零向量不能超过n个定义6在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基（orthogonalbasis）；由单位向量组成的正交基称为标准正交基组(orthonormalbasis).对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基设8,82"",8,是一组标准正交基，由定义，有[1,当i=j;(1)(61,6,)=[o,当ij.显然，（1)式完全刻画了标准正交基的性质.换句话说，一组基为标准正交基的充要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵.因为度量矩阵是正定矩阵的，根据第五章关于正定二次型的结果，正定矩阵合同于单位矩阵.这说明在n维欧氏空间中存在一组基，它的度量矩阵是单位矩阵.由此断言，在n维欧氏空间中，标准正交基是存在的在标准正交基下，向量的坐标可以通过内积简单地表示出来，即(2)α=(61,α)6, +(62,α)6, +...+(mα)8n在标准正交基下，内积有特别简单的表达式.设a=x6+x62+...+x,8n
§2 正交基 教学目的 掌握正交组、正交基、正交矩阵的概念，熟练掌握标准正交 基的概念、作用、求法及其关系. 重 点 标准正交基的概念、作用、求法及其关系. 难 点 施密特正交化方法及应用. 教学过程 引入 解析几何中，我们常常选取 3 个正交单位向量构成直角坐标系， 那么在 n 维欧氏空间中能否找到 n 个正交的单位向量构成“直角坐标系” 呢？将“直角坐标系”用代数的语言叙述就是标准正交基问题. 一、标准正交基 定义 5 欧氏空间 V 的一组非零的向量,如果它们两两正交，就称为一个 正交向量组（orthogonal familles）. 按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组. 正交向量组是线性无关的.这个结果说明，在 n 维欧氏空间中，两两正 交的非零向量不能超过 n 个. 定义 6 在 n 维欧氏空间中，由 n 个向量组成的正交向量组称为正交基 （orthogonal basis）；由单位向量组成的正交基称为标准正交基组(orthonormal basis ). 对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基. 设 n , , , 1 2 是一组标准正交基，由定义，有 = = 0, . 1, ; ( , ) i j i j i j 当 当 (1) 显然，(1)式完全刻画了标准正交基的性质.换句话说，一组基为标准正 交基的充要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵.因为度量矩阵是正定矩阵的， 根据第五章关于正定二次型的结果，正定矩阵合同于单位矩阵.这说明在 n 维欧氏空间中存在一组基，它的度量矩阵是单位矩阵.由此断言，在 n 维欧 氏空间中，标准正交基是存在的. 在标准正交基下，向量的坐标可以通过内积简单地表示出来，即 n n ( ,) ( ,) ( ,) = 1 1 + 2 2 ++ . (2) 在标准正交基下，内积有特别简单的表达式.设 . 1 1 2 2 n n = x + x ++ x
β=y6,+y262+...+y,en.那么(3)(α,β)=Xy +xy2 +..+xyn =XY.这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中坐标表达式的推广应该指出，内积的表达式(3)，对于任一组标准正交基都是一样的.这说明了，所有的标准正交基，在欧氏空间中有相同的地位二、规范正交基的存在性及其正交化方法定理1n维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组标准正交基应该注意，定理的证明实际上也就给出了一个具体的扩充正交向量组的方法.如果从任一个非零向量出发，按证明中的步骤逐个地扩充，最后就得到一组正交基.再单位化，就得到一组标准正交基定理2对于n维欧氏空间中任意一组基6,62，,6,，都可以找到一组标准正交基n,2，使L(8),82,,8)= L(n,n2,",n), i=1,2,,n应该指出，定理中的要求L(81,82,,8))= L(ni,n2,*,n), i=1,2, ",n就相当于由基1,82，,8到基n,n2…,n的过渡矩阵是上三角形的定理2中把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法在一些书和文献中称为施密特正交化过程（Schimidtorthogonalization）例 1 α, =(1,1,0,0),α2 =(1,0,1,0),α3 =(-1,0,0,1),α4 =(1,-1,-1,1)变成单位正交组三、正交矩阵上面讨论了标准正交基的求法.由于标准正交基在欧氏空间中占有特殊的地位，所以有必要来讨论从一组标准正交基到另一组标准正交基的基变换公式设,2,8与n2,n是欧氏空间V中的两组标准正交基，它们之间的过渡矩阵是A=（α,），即
. 1 1 2 2 n n = y + y ++ y 那么 ( , ) . = x1 y1 + x2 y2 ++ xn yn = X Y (3) 这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中坐标表达式的推广. 应该指出，内积的表达式(3)，对于任一组标准正交基都是一样的.这说明了， 所有的标准正交基，在欧氏空间中有相同的地位. 二、规范正交基的存在性及其正交化方法 定理 1 n 维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组标准正交基. 应该注意，定理的证明实际上也就给出了一个具体的扩充正交向量组 的方法.如果从任一个非零向量出发，按证明中的步骤逐个地扩充，最后就 得到一组正交基.再单位化，就得到一组标准正交基. 定理 2 对于 n 维欧氏空间中任意一组基 n , , , 1 2 ，都可以找到一组 标准正交基 n , , , 1 2 ，使 L( 1 , 2 , , i ) = ( , , , ) , 1,2, , . L 1 2 i i = n 应该指出，定理中的要求 L( 1 , 2 , , i ) = ( , , , ) , 1,2, , . L 1 2 i i = n 就相当于由基 n , , , 1 2 到基 n , , , 1 2 的过渡矩阵是上三角形的. 定理 2 中把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法在一些 书和文献中称为施密特正交化过程(Schimidt orthogonalization). 例 1 (1,1,0,0), (1,0,1,0), ( 1,0,0,1), (1, 1, 1,1) 1 = 2 = 3 = − 4 = − − 变成单位正交组. 三、正交矩阵 上面讨论了标准正交基的求法.由于标准正交基在欧氏空间中占有特殊 的地位，所以有必要来讨论从一组标准正交基到另一组标准正交基的基变 换公式. 设 n , , , 1 2 与 n , , , 1 2 是欧氏空间 V 中的两组标准正交基，它们 之间的过渡矩阵是 ( ) A = aij ，即
auai2aina21a22a2n(n1,n2,**.,nn)= (8),62,-,8n目:..anlan2ann...因为ni,n2n是标准正交基，所以[1,当i= j;(4)(n,n,) =[0,当ij矩阵A的各列就是n,n2,n在标准正交基61,62,8,下的坐标.按公式(3),(4)式可以表示为[1,当i=j;(5)ara,+aaa2,+...+anam[o当i+j(5)式相当于一个矩阵的等式A'A=E(6)或者A-" = A'定义7n组实数矩阵A称为正交矩阵，如果AA=E由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基一定也是标准正交基最后指出，根据逆矩阵的性质，由A'A=E即得AA'-E写出来就是(1,当i=j;(7)a,aj+a2aj2+.+anajn[0,当i](5)式是矩阵列与列之间的关系，(7)式是矩阵行与行之间的关系.这两组关系是等价的例2考虑定义在闭区间[0,2元]上一切连续函数所作成的欧氏空间C[0,2元].函数组1,cosx,sin x,..,cosnx,sin nx
(1 ,2 , ,n ) = n n nn n n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 1 2 ( , , , ) 因为 n , , , 1 2 是标准正交基，所以 = = 0, . 1, ; ( , ) i j i j i j 当 当 (4) 矩阵 A 的各列就是 n , , , 1 2 在标准正交基 n , , , 1 2 下的坐标.按公式 (3),(4)式可以表示为 = + + + = 0 , . 1 , ; 1 1 2 2 i j i j a ia j a ia j anianj 当 当 (5) (5)式相当于一个矩阵的等式 AA = E (6) 或者 A = A −1 定义 7 n 组实数矩阵 A 称为正交矩阵，如果 AA = E 由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一 组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基一定也是标准 正交基. 最后指出，根据逆矩阵的性质，由 AA = E 即得 AA = E 写出来就是 = + + + = 0 , . 1 , ; 1 1 2 2 i j i j ai a j ai a j ai na j n 当 当 (7) (5)式是矩阵列与列之间的关系，(7)式是矩阵行与行之间的关系.这两组关系 是等价的. 例 2 考虑定义在闭区间 [0, 2 ] 上一切连续函数所作成的欧氏空间 C[0,2 ].函数组 1,cos x,sin x, ,cos nx,sin nx,
构成C[0,2元]的一个正交组.把上面的每一向量除以它的长度，就得到C[0,2元]的一个标准正交组：11111Fsinx,-sin nx,....一cosx,cosnx,12元1元V元1元元例3欧氏空间R"的基(i), = (0,,, 1,0,,0), -1,2,..n是R"的一个标准正交基
构成 C[0,2 ] 的一个正交组. 把上面的每一向量除以它的长度,就得到 C[0,2 ] 的一个标准正交组: sin , . 1 cos , 1 sin , , 1 cos , 1 , 2 1 x x nx nx 例 3 欧氏空间 n R 的基 ） （ ） (0,,0, 1,0,,0 i i = , i = 1,2, ,n 是 n R 的一个标准正交基
$3同构教学目的掌握欧氏空间同构的定义，简单性质重点欧氏空间同构与线性空间同构的关系难点教学过程引入第六章我们讨论了线性空间的同构，简单说，保持线性运算的双射叫线性空间的同构，如果在欧氏空间中还保持内积运算，就可以称为欧氏空间的同构.定义8实数域R上欧氏空间V与V称为同构的，如果由V到V有一个双射，满足1)α(α + β)=(α) +α(β),2)(kα)= ko(α),3)(α(α),α(β)=(α, β),这里α,βeV,keR，这样的映射α称为V到V的同构映射（isomorphicmapping)由定义，如果α是欧氏空间V到V的一个同构映射，那么也是V到V作为线性空间的同构映射.因此，同构的欧氏空间必有相同的维数设V是一个n维欧氏空间，在V中取一组标准正交基8,82，,8,，在这组基下，V的每个向量α都可表成α=X6+X282+...+X,8n令0(α)=(X,X2,,x,)e R"就是V到R"的一个双射，并且适合定义中条件1),2).上一节(3)式说明，α也适合条件3)，因而α是V到R"的一个同构映射，由此可知，每个n维的欧氏空间都与R"同构同构作为欧氏空间之间的关系具有反身性、对称性与传递性既然每个n维欧氏空间都与R"同构，按对称性与传递性得，任意两个n维欧氏空间都同构定理3两个有限维欧氏空间同构一它们的维数相等这个定理说明，从抽象的观点看，欧氏空间的结构完全被它们的维数决
§3 同构 教学目的 掌握欧氏空间同构的定义，简单性质. 重 点 欧氏空间同构与线性空间同构的关系. 难 点 教学过程 引入 第六章我们讨论了线性空间的同构，简单说，保持线性运算的双 射叫线性空间的同构，如果在欧氏空间中还保持内积运算，就可以称为欧氏 空间的同构. 定义 8 实数域 R 上欧氏空间 V 与 V 称为同构的,如果由 V 到 V 有一个 双射 ，满足 1) ( + ) = () + ( ), 2) (k) = k () , 3) ( (), ( )) = (, ) , 这里 , V, k R ，这样的映射 称为 V 到 V 的同构映射（isomorphic mapping）. 由定义，如果 是欧氏空间 V 到 V 的一个同构映射，那么也是 V 到 V 作为线性空间的同构映射.因此，同构的欧氏空间必有相同的维数. 设 V 是一个 n 维欧氏空间，在 V 中取一组标准正交基 n , , , 1 2 ，在这 组基下， V 的每个向量 都可表成 n n = x + x ++ x 1 1 2 2 令 n () = (x1 , x2 , , xn ) R 就是 V 到 n R 的一个双射，并且适合定义中条件 1),2).上一节(3)式说明， 也 适合条件 3)，因而 是 V 到 n R 的一个同构映射，由此可知，每个 n 维的欧 氏空间都与 n R 同构. 同构作为欧氏空间之间的关系具有反身性、对称性与传递性. 既然每个 n 维欧氏空间都与 n R 同构，按对称性与传递性得，任意两个 n 维欧氏空间都同构. 定理 3 两个有限维欧氏空间同构 它们的维数相等. 这个定理说明，从抽象的观点看，欧氏空间的结构完全被它们的维数决