第三章 导数与微分一一隐函数与参数方程求导微分
第三章 导数与微分 ―—隐函数与参数方程求导 微分
隐函数求导要求：假设方程F(x,y)=0确定了y是x的函数，且y=y(x）可导。目标：求y=y(x）关于x的导函数y(x)。基本方法：对恒等式F(x,J(x)=0 两端关于x求导
隐函数求导 要求：假设方程 确定了 是 的函数，且 可导。 目标： 基本方法：对恒等式 两端关于 求导。 求 关于 的导函数
例求由方程e*+cos(xy)-J2=0确定的可导的隐函数y=J(x）的导数。对恒等式 e=() +cos(x(x)-J(x)=0 两端关于x 求导得到解e(t) (y(x)+ xy'(x) -sin(xy(x)·(y(x)+ xy(x) -2y(x)y(x)= 0 ,解得 J(x) = () sin(xy(x) - J(x)e (c)xe(x) -xsin(xy(x)- 2y(x)°注：实际操作时，可看作对方程两端关于x求导，同时牢记在求导过程中必须始终把看作x的函数
例 求由方程 确定的可导的隐函数 的导数。 解 对恒等式 两端关于 求导得到 解得 。 注：实际操作时，可看作对方程两端关于 求导，同时牢记在求导 过程中必须始终把 看作 的函数。
x+10 所确定的可导的隐函数y=y(x）在例求由方程sin(xy)-lnyx=0处的导数。解对方程两端关于x求导得到1y0(y+xy')·cos(xy)x+1y'(0)在上式中令x=0 得到y(0)-1+0y(0)在原方程中令x=0 得到y(0)=1，所以(0)=0
解 处的导数。 例 求由方程 所确定的可导的隐函数 在 对方程两端关于 求导得到 。 在上式中令 得到 。 在原方程中令 得到 ，所以
3a 3a例求笛卡尔叶形线x3+j3=3axy在点处的切线和法线方程。29解3x2+3y2.y'=3a(y+xy')9a?9a23a3a30024423a+1=0（后略）。2
例 求笛卡尔叶形线 在点 处的切线和法线方程。 解 ， （后略）
参数方程求导x = x(t)要求：已知曲线C其中x(t)和y(t)都是t的可导函数，(y= y(t)且x'(t)±0 。在下章我们可以证明：当x(t)≠0时，x=x(t）严格单调，从而存在反函数t=t(x)，所以y=y(t(x)是x 的函数。目标：求y关于x的导函数y(x）
参数方程求导 要求： 目标：求 关于 的导函数 。 已知曲线 ： ，其中 和 都是 的可导函数， 且 。 在下章我们可以证明：当 时， 严格单调， 从而存在反函数 ，所以 是 的函数
dxdtdydydy求导公式：dxdtdxdtdtdy的参数表示，注：上述公式是导函数dxdydxdydt(dtdx也即x= x(t)
求导公式： 。 注：上述公式是导函数 的参数表示， 也即
x = a(t -sint),求在任意t（0<t<2元）例已知摆线的参数方程是(y = a(l-cost)dy处关于x的导函数dxdxdy解a(1-cost)asintdtdtdysintdx1-cost
例 已知摆线的参数方程是 ， 解 处 关于 的导函数 。 。 ， ， 求在任意 ( )
x =acos' t,例星形线的参数方程为证明：其上任一点（坐标轴(y=asin't上的点除外）处的切线被坐标轴所截得的线段的长度等于常数。3a sin'tcostdy解-3a cos'tsint = tant,dx切线方程:y-asint=tant(x-acost)截距为acost和asint，其平方和为a2
上的点除外）处的切线被坐标轴所截得的线段的长度等于常数。 解 例 星形线的参数方程为 ，证明：其上任一点（坐标轴 ， 切线方程： ， 截距为 和 ，其平方和为
元例求心脏线 r =2a(1+cosの)上对应于=的点处的切线方程。6x = 2a(1+cos 0)cos 0解心脏线的参数方程为[ y = 2a(1 + cos )sin 0dydy-sin0sin+(1+cos)cos0所以dxl="dx-sin cos0-(1+ cos )sin 061+因为 (x,所以切线方程为2x+2y-(5+3/3)a=0
例 求心脏线 上对应于 的点处的切线方程。 解 心脏线的参数方程为 ， 所以 ， 。 因为 ， 所以切线方程为