第三章导数与微分第一节导数的概念第二节导数的求导法则第三节高阶导数第四节隐函数与由参数方程所确定的函数的导数第五节函数的微分
第三章 导数与微分 第一节 导数的概念 第二节 导数的求导法则 第三节 高阶导数 第四节 隐函数与由参数方程所确定的 函数的导数 第五节 函数的微分
第一节导数的概念引例导数的定义单侧导数四、导数的几何意义五、可导与连续的关系
第一节 导数的概念 一、引例 二、导数的定义 三、单侧导数 四、导数的几何意义 五、可导与连续的关系
一、引例MN为曲线C上不同点，作割线MN.当点N沿曲线C趋于点M时，如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置M，直线MT就称为曲线C在点M处的切线M
一、引例 M,N为曲线C上不同点，作割线MN．当点 N沿曲线C趋于点M时，如果割线MN绕点M旋 转而趋于极限位置M， 直线MT就称为曲线C 在点M处的切线．
极限位置即设 M(xo, yo), N(x, y).MN→0,ZNMT -→0.-yo -f(x)-f(x)D=2割线MN的斜率为tanx-xox-xo沿曲线CM,x→XoN_f(x)- f(xo)切线MT的斜率为k=tanα=limx→xox-xoyy=f(x)CaXY
T 0 o x x x y y = f ( x) C N M 极限位置即 MN → 0,NMT → 0. ( , ), ( , ). 0 0 设 M x y N x y 割线MN的斜率为 0 0 tan x x y y − − = , ( ) ( ) 0 0 x x f x f x − − = , , N M x x0 ⎯沿曲线 ⎯ ⎯C→ → 切线MT的斜率为 . ( ) ( ) tan lim 0 0 0 x x f x f x k x x − − = = →
二、导数的定义设函数=f(x)在点x的某个邻域内有定义，当自变量x在x处取得增量△x(点x。+△x仍在该邻域内)时，相应地函数取得增量△y=f(x+△x)-f(x);如果Ay与△x之比当△x→0时的极限存在，则称函数y=f(x)在点x处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x.处的导数，记为y'X=Xo
二、导数的定义
业df (x)或X=xoX=xodxAyf(xo +Ax)- f(xo)limlim即f'(x)二Ar-→0AxAr-00△xf(xo +h)- f(xo)f'(x) =lim其它形式hh->0f(x)- f(xo)f'(xo)= limx-→xox-xo
其它形式 0 0 0 0 0 ( ) ( ) '( ) lim lim x x y f x x f x f x → → x x + − = = , ( ) x x0 x x0 dx df x dx dy = 或 = 即
Aylim不存在，就说函数V=f(x)在点如果极限Ax->0 xX。处不可导Ay如果不可导的原因是由于lim也往往说函8Ax-0△x数y=f(x)在点x。处的导数为无穷大若函数y=f(x)在开区间I内每一点都可导则称函数V=f(x)在开区间I内可导
如果极限 0 lim x y → x 不存在， 就说函数 y f x = ( ) 在点 0 x 处不可导． 如果不可导的原因是由于 0 lim x y → x = ， 也往往说函 数 y f x = ( ) 在点 0 x 处的导数为无穷大． 若函数 y = f (x) 在开区间I 内每一点都可导， 则称函数 y = f (x) 在开区间 I 内可导．
若函数y=f(x)在开区间I内可导，则对应于中的每一个确定的x值，对应着一个确定的导数值f(x)，这样确定的新函数称之为函数y=(t)的导函数，记作 {()，，，或Aydr(), 即 F(x) = limof(x+△x)- f(x)limAr0AxdxAr->0Ax
若函数 y = f (x) 在开区间 I 内可导，则对应 于 I 中的每一个确定的 x 值，对应着一个确定的 导数值 f (x) ，这样确定的新函数称之为函数 y = f (x) 的导函数，记作 f (x) ， y ， dx dy ， 或 dx df (x) ，即 f (x )＝ x y x →0 lim ＝ x f x x f x x + − → ( ) ( ) lim 0
函数y=f(x)在点xo处的导数f(xo），就是导函数f(x）在点x=x处的函数值，即f(x)= f'(x ) Ix=xo 表示函导数在工程技术中常叫做变化率△x数=f(x)在区间[xo,x+△x]上的平均变化率，而f(x)表示函数y=f(x)在点x处的变化率，它反映了函数随自变量的变化而变化的快慢程度
函数 y = f (x) 在点 0 x 处的导数 ( ) 0 f x ，就是导 函数 f (x )在点 0 x = x 处的函数值，即 ( ) 0 f x ＝ 0 ( )| x x f x = ． 导数在工程技术中常叫做变化率，x y 表示函 数 y = f (x) 在区间[ , ] 0 0 x x + x 上的平均变化率，而 ( ) 0 f x 表示函数 y = f (x) 在点 0 x 处的变化率，它反 映了函数随自变量的变化而变化的快慢程度．
单侧导数二、如果极限f(xo +△x)- f(xo)f(xo +Ax)- f(xo)及limlimAxAr->07Ar-→0Ax存在，则极限值分别称为函数f(x)在点x处的左导数和右导数，记作f'(x)及f(x），即f(xo +Ax)- f(0) , f'(x0)= limf(xo +△r)- f(xo)f'(x)= limArAr-0tAx-→0Ax
三、单侧导数 如果极限 0 0 0 ( ) ( ) lim x f x x f x x − → + − 及 0 0 0 ( ) ( ) lim x f x x f x x + → + − 存在，则极限值分别称为函数 f x( ) 在点 0 x 处的左导数 和右导数，记作 0 f x( ) − 及 0 f x( ) + ，即 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x f x x f x f x x − − → + − = ， 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x f x x f x f x x + + → + − = ．