《泛函分析》第十讲共轭算子与紧算子
《泛函分析》 第十讲 共轭算子与紧算子
定义1设X,Y为线性赋范空问，X*Y*分别为X,Y的共轭空间，,T E B(X,Y). 若线性算子T*:Y*→X*满足(T*y*)(x) = y*(Tx), Vx E X, J* E Y*则称T*是T的共轭算子.我们有时记f(x)=（f,x)，则上式可写成(T*y*,x) =(y*,Tx), Vx EX, y* E Y*
定义1 设 为线性赋范空间， 分别为 的共 轭空间， . 若线性算子 满 足 则称 是 的共轭算子. X Y, T B X Y ( , ) ( )( ) ( ), , . T y x y Tx x X y Y = X Y, T Y X : → X Y, T T 我们有时记 f x f x ( ) ( , ) = ，则上式可写成 ( , ) ( , ), , . T y x y Tx x X y Y =
例1设T:Φn>Φm为有界线性算子，e,,en 是D"的一组基，令Yh = span[ei,.,ek-1,ek+1,·",en]则Y是闭子空间，ek生Yk由Hahn-Banach定理的推论，存在fk E(Φ")*f(ek)=pek,Y)≠0.必要时，乘上一个不为0的常数，可设f(ek)=l，对于其余的e,fi(e)=0即fi·fn满足
例1 设 为有界线性算子， 是 的一组基，令 则 是闭子空间， : n m T → 1 , , n e e n Y span e e e e k k k n = 1 1 1 , , , , , , − + Yk . k k e Y 由Hahn-Banach定理的推论，存在 必要时，乘上一个不为0的 常数，可设 ，对于其余的 即 f f 1 , , n 满足 f e k k ( ) 1 = , ( ) 0. i k i e f e = ( ) , n k f ( ) ( , ) 0. k k k k f e e Y =
1,k=i,fi(e,)= Ou= {o,k≠i.称fi,..,f,为(")*关于 ei,..,en 的对偶基类似地，若u，um是Φm的一组基，则存在g1,,gm为(dDm)*关 于i,,um 的对偶基
1, , ( ) 0, . k i ki k i f e k i = = = 称 为 关于 e e 1 , , n 的对偶基. 1 , , n f f ( )n 类似地，若 是 的一组基，则存在 为 关 于 的对偶基. 1 , , m m 1 , , g gm ( ) m 1 , , m
现在设T在基底ei.en与u,.,um之下相应的矩阵为(αi,). 即Te, = aiμk,(i = 1,..,n).k-1若 T*:(")*→(Φ")* 是 T 的共轭算子， T*与(b,)相应, 即 T"g,=≥bkJe,(j=1,.,m),.k=l则根据共轭算子定义，应有(T*gj,e)=(g,Te,),(1≤i≤n,1≤ j≤m)
现在设 在基底 与 之下相 应的矩阵为 . 即 T 1 ,( 1, , ). m i ik k k Te a i n = = = ( ) aij 1 , , 1 m , , n e e 若 是 的共轭算子， 与 相应，即 : ( ) ( ) m n T → T T ( ) bij 1 ,( 1, , ). n j jk k k T g b f j m = = = 则根据共轭算子定义，应有 (T g e g Te i n j m j i j i , ( , ),(1 ,1 ). ) =
实际验算可知(T*gj,e.)=b二hCikiik=l(8,Te,)={gj,2aikHk所以bji=aij.即bij是aij的转置矩阵换句话说，从有限维空问到有限维空问的线性算子，其共轭算子相应的矩阵是原算子相应矩阵的转置矩阵
所以 即 是 的转置矩阵. ( ) 1 , , , n j i jk k i ji k T g e b f e b = = = ( ) 1 , , . m j i j ik k ij k g Te g a a = = = 实际验算可知 ij aij . b b a ji ij = 换句话说，从有限维空间到有限维空间的线 性算子，其共轭算子相应的矩阵是原算子相应矩 阵的转置矩阵
定理1设X,Y为线性赋范空间，TEB(X,Y),则(1) T*存在并且难一(2) IT=T*:(3)映射 α(T)=T*是线性的，即(αT + βT2)*=αT*+βT*并且是从B(X,Y)到B(Y*,X*)的子空问上的等距同构
定理1 设 为线性赋范空间, ,则 (1) 存在并且唯一. (2) (3)映射 是线性的，即 并且是从 到 的子空间上的等距 同构. X Y, T B X Y ( , ) ( T T T T 1 2 1 1 ) , + = + ( ) T T = T T T . = BXY ( , ) B Y X ( , )
证明：(1)对于每个y* Y*，记l(x)=(y*,Tx)，[是X上的线性泛函，并且对于每个xEX，[(x)/ = [(*, Tx)|≤[* /Tx≤I I ,所以 ≤* I(*)这说明lEX*
证明：(1) 对于每个 ，记 是 上的线性泛函，并且对于每个 ( ) ( , ) , l x y Tx y Tx y T x = y Y l x y Tx l ( ) ( , ), = X x X , 所以 这说明 l y T . ( ) l X .
显然1与J*有关，记为T**，则T*是Y*→X*的算子.由定义知(T*y*,x)=l(x)=(y*,Tx), Vx EX,y*EY*直接验证可知T*是线性算子.上式表明T*是T的共轭算子.若T*也是T的共轭算子，则VxEX,y*EY*(T*y*,x) =(y*,Tx)=(T*y*,x).由x的任意性知T**=T**，由的任意性知T*=T*
显然 与 有关，记为 ，则 是 的算子.由定义知 直接验证可知 是线性算子.上式表明 是 的共 轭算子. ( , ) ( ) ( , ), , . T y x l x y Tx x X y Y = = l y T y T Y X → T T T 若 也是 的共轭算子，则 由 的任意性知 ,由 的任意性知 1 ( , ) ( , ) ( , ). T y x y Tx T y x = = T y T y 1 = T1 x X y Y , , T x y 1 T T . =
(2) 由 (*)式, Vy* Y*, [T*y* =≤[*T故T*≤TVxe X,若 Tx≠0,则存在 y εY*,yo=1,(*,Tx)=Tx,于是Tx = (T*y,x)≤T*y*xl若Tx=0，此式自然成立.故IT≤T*y*≤ supT**=T*总之T*=T
(2) 由 式, 故 T y l y T , y Y , = ( ) T T . 若 ,则存在 ,于是 若 ，此式自然成立.故 总之 0 0 Tx T y x T y x ( , ) . = x X , T T . = Tx 0 0 0 y Y y , 1, = 0 ( , ) y Tx Tx = Tx = 0 0 1 sup . y T T y T y T =