《泛函分析》第四讲线性赋范空间
《泛函分析》 第四讲 线性赋范空间
设为X，Y线性赋范空间，记BX,Y是从X到Y中的有界线性算子全体，若像定义函数空问的线性运算那样定义B(X,Y)中的加法和数乘，则B(X,Y)是线性空间.当X=Y时,即B(X,Y)为B(X)今后我们称TX→>Y是O算子，若VxEX,Tx=0称T:X>Y是单位算子(恒等算子),若VxEX,Tx=x
设为 线性赋范空间,记 是从 到 中的有界线性算子全体, 若像定义函数空间的线性运 算那样定义 中的加法和数乘，则 是线性空间.当 时,即 为 X Y, BXY ( , ) X Y BXY ( , ) BXY ( , ) X Y = BXY ( , ) B X( ). 今后我们称 T X Y : → 是 0 算子，若 = x X Tx , 0. 称 T X Y : → 是单位算子(恒等算子),若 = x X Tx x ,
命题1在赋范线性空间X中，范数x是xEX的连续函数证明：设(xn收效于 x,由 xll≤x-x+1x和l≤x一+xn可知xn Il 一Ix≤x, -x因为xn 一xl→0,故[xnl→x,当n>00.证毕
命题1 在赋范线性空间 中，范数 是 的 连续函数. X x x X 证明： 设 收敛于 ，由 和 可知 x x x x n n − + n n 1 x = x x x x x − + n n . x x x x n n − − 因为 ，故 ，当 证毕. x x n − →0 x x n → n→
定理1对每个TEB(X,Y)，令[TIl = sup Tx x[≤1则Il 是 B(X,Y)上的范数.证明: 1. 易知 IT ≥ 0. 若[ITl= 0,则 supTxll= 0.1x/≤1于是当x≤1 时，Tx=0.X由于 T(x)= T(llxl ) =xT(Vx±0)X
定理1 对每个 T B X Y ( , ) ，令 1 sup , x T Tx = 则 • 是 BXY ( , ) 上的范数. 证明: 1. 易知 T 0. 若 T = 0, 则 1 sup 0. x Tx = 于是当 x 1 时， Tx = 0. 由于 ( ) ( ) ( ),( 0), x x T x T x x T x x x = =
故 Tx=O(VxEX),即 T=02. 任意αEΦαT|l = sup|αTxl-x≤1= [α|sup[Tx =[α Tlx<≤1
2. 任意 , 1 supx T Tx = 1 sup x Tx T = = 故 Tx x X = 0( ), 即 T = 0
3. 若 T,T EB(X,Y), 则T + T2l = sup(T + T2)xIIx≤1≤ sup((IITx|I + IT2xll)IIx/<≤1≤T:II + I 故l 是 B(X,Y)上的范数
3. 若 T T B X Y 1 2 , ( , ), 则 1 2 1 2 1 sup ( ) x T T T T x + = + ( 1 2 ) 1 sup x T x T x + 1 2 + T T . 故 • 是 BXY ( , ) 上的范数
定理2若 T E B(X,Y),则I/Tx:lIITll = sup sup |TxlI/x:IIIx/=-1x01sup|Tx|(VS>0)Sx=0
定理2 若 T B X Y ( , ) , 则 0 1 sup sup 1 sup ( 0). x x x Tx T Tx x Tx = = = = =
证明：实际上ITx:Ix= sup TxlsupsupI/x:/Ixx+0xto[x|-1[Tx:≤ sup|Tx ≤ supIIx:Ix≤1x≤1x±0ITxll≤ supIIxIx±0
证明: 实际上 0 0 1 sup sup sup x x x Tx x T Tx = x x = = 1 1 0 0 sup sup sup . x x x x Tx Tx x Tx x
注：设为X,Y线性赋范空间，T是从X到Y的线性算子，则存在常数C>O，使得对于一切xEX都有[Tx ≤CIx如上C的下确界等于T的范数，证明：任意的x，x≤1则Tx≤C.故IITl = sup|Tx ≤Cx/<≤1
注：设为 线性赋范空间, 是从 到 的线性 算子，则存在常数 ，使得对于一切 都有 如上 的下确界等于 的范数. X Y, T X Y C 0 x X Tx C x . C T 证明: 任意的 x x , 1, 则 Tx C . 故 1 sup . x T Tx C =
所以ITIl ≤ inf [C : |Txl ≤Cx, Vx E X}另一方面，Tx≤Tx显然成立，故|T ≥ inf [C : |Tx|≤Clxl, Vx E X}所以ITll = inf (C : ITxll ≤CIx|l, Vx E X)
所以 T C Tx C x x X inf : , . 另一方面， Tx T x 显然成立，故 T C Tx C x x X inf : , . 所以 T C Tx C x x X = inf : , .