3.4基本不等式：a+b/ab≤.2
2 a b ab + 3.4基本不等式:
DDVa'+baG?CAbE(FGH)TEHBB重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，我们有α2+b2 ≥2ab当且仅当a=b时，等号成立。适用范围：a,bER
重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有 当且仅当a=b时，等号成立。 2 2 a b ab + 2 A B C D E(FGH) a a b b 2 2 a +b A D C B H F G E 适用范围： a,b∈R
问题一如果a>0,b>0,我们用Va,Vb分别代替a,b,可得到什么结论？替换后得到：（Va)+(Vb)≥2Va.Vb即： α+b≥2aba+b即:(a>0,b>0)lab2a+b问题二Vab (a>0,b>0)证明不等式：212
如果a b a b a b 0, 0, , , , 我们用 分别代替 可得到什么结论？ 2 2 ( ) ( ) 2 a b a b + ≥ 2 a b ab + ≥ 替换后得到： 即： (a 0,b 0) 即： a b ab + ≥2 2 a b ab + 证明不等式： ≥ (a 0,b 0)
a+b≥/ab (a>0,b>0)问题二证明不等式：2分析法证明：要证1只要证2要证①，只要证要证②，只要证③显然,③是成立的.当且仅当a=b时,③中的等号成立
2 a b ab + 证明：要证 ≥ 只要证 a b + ≥_ ① 要证①，只要证 a b + − _ 0 ≥ ② 要证②，只要证 2 (_ _) 0 − ≥ ③ 显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立. 分 析 法 2 2 ( 0, 0, ( ) , ( ) ) a b a a b b = = 2 a b ab + 证明不等式： ≥ (a 0,b 0) 2 ab2 ab a b
a+b基本不等式：Vab ≤0,b>02当且仅当α=b时，等号成立。适用范围：a>0, b>0a+b我们把叫做正数a，b的算术平均数2叫做正数a，b的几何平均数；Vab代数意义：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
基本不等式： 当且仅当a =b时，等号成立. ( 0, 0) 2 a b ab a b + 适用范围： a>0, b>0 我们把 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数； 2 a b + ab 代数意义：两个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数
探究几何意义如图.AB是圆的直径，C是AB上与A、B不重合的一点Da+bzab2ValA则oD-a＋bBCD=ObC2RtAACDSRtADCB,EACDC.DC?=BC·AC=abDCBC几何意义：半径不小于弦长的一半
A B C D E 如图,AB是圆的直径，C是 AB上与A、B不重合的一点， AC=a,CB=b,过点C作垂直 于AB的弦DE，连AD,BD, a b 则OD=＿＿,CD=＿＿＿＿ ab 2 a + b = AC DC DC BC 2 = = DC BC AC ab O 探究几何意义 几何意义：半径不小于弦长的一半 Rt△ACD∽Rt△DCB， 2 a b ab + ≥
例1若x>0求y=x+=自的最小值x解：：x>0,:y=x+=≥2x1即x=1时，ymin=2当且仅当x=x变式：若x<0，求y=x+=的最值x
例1 若 ,求 的最小值. 1 x y x 0 x = + min 0, 1 2 1 1 2 x y x x x x y x = + = = = 解： 当且仅当 ，即 时， 1 x y x 0 . x 变式：若 = + ，求 的最值
1变式的最小值若x0y =-[-x +(--)]x-)≥22:y-2-x+(x，即x=-1时，y=-2.当且仅当一x=x
变式 若 ,求 的最小值. 1 x y x 0 x = + max 0, 0, 1 [ ( )] 1 ( ) 2 2 1 1 2 x x y x x x y x x x y x − = − − + − − + − − − = − = − = − 解： 当且仅当 ，即 时
例2用篱笛围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长宽各为多少时，所用篱笛最短？最短的篱笛是多少？解：设矩形菜园的长为xm,宽为ym则xy=100,篱芭的长为2(x+y)m由+≥/xy可得：x+y≥2/1002:. 2(x + y) ≥ 40此时x=y=10当且仅当x=时等号成立，因此这个矩形的长、宽都为10m时，所用篱笛最短，最短篱笛是40m
例2 用篱笆围一个面积为100 的矩形菜园，问这 个矩形 的长宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆是多少？ 2 m 解：设矩形菜园的长为x m y m , , 宽为 2 100 2 2( ) 40 x y xy x y x y + + + 由 可得： 则xy x y m = + 100, 2( ) 篱笆的长为 当且仅当x y = 时等号成立， 此时x y = =10 因此这个矩形的长、宽都为10m时， 所用篱笆最短，最短篱笆是40m
例3用一段长为36m的篱笛围成一个矩形菜园，问这个矩形的长宽各为多少时，菜园面积最大？最大面积是多少？解：设矩形菜园的长为xm,宽为ym则2(x + y) = 36 :. x + y=18,矩形菜园的面积为xym18=9，可得：xy≤8122当且仅当x=j时等号成立，此时x=y=9因此这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m2
例3用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩 形的长宽各为多少时，菜园面积最大？最大面积是多少？ 2 2 , , 2( ) 36 18, 18 9 81 2 2 9 9 81 . x x m y m x y x y xym x y xy xy x y m m y + = + = + = = = = = 解：设矩形菜园的长为 宽为 则 矩形菜园的面积为 由 ， 当且仅当 可得： 此时 因此这个矩形的长、宽都为 时， 菜园面积最大，最 时等号成立 是 ， 大面积