
3.4基本不等式:a+b/ab≤.2
2 a b ab + 3.4基本不等式:

DDVa'+baG?CAbE(FGH)TEHBB重要不等式:一般地,对于任意实数a、b,我们有α2+b2 ≥2ab当且仅当a=b时,等号成立。适用范围:a,bER
重要不等式: 一般地,对于任意实数a、b,我们有 当且仅当a=b时,等号成立。 2 2 a b ab + 2 A B C D E(FGH) a a b b 2 2 a +b A D C B H F G E 适用范围: a,b∈R

问题一如果a>0,b>0,我们用Va,Vb分别代替a,b,可得到什么结论?替换后得到:(Va)+(Vb)≥2Va.Vb即: α+b≥2aba+b即:(a>0,b>0)lab2a+b问题二Vab (a>0,b>0)证明不等式:212
如果a b a b a b 0, 0, , , , 我们用 分别代替 可得到什么结论? 2 2 ( ) ( ) 2 a b a b + ≥ 2 a b ab + ≥ 替换后得到: 即: (a 0,b 0) 即: a b ab + ≥2 2 a b ab + 证明不等式: ≥ (a 0,b 0)

a+b≥/ab (a>0,b>0)问题二证明不等式:2分析法证明:要证1只要证2要证①,只要证要证②,只要证③显然,③是成立的.当且仅当a=b时,③中的等号成立
2 a b ab + 证明:要证 ≥ 只要证 a b + ≥_ ① 要证①,只要证 a b + − _ 0 ≥ ② 要证②,只要证 2 (_ _) 0 − ≥ ③ 显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立. 分 析 法 2 2 ( 0, 0, ( ) , ( ) ) a b a a b b = = 2 a b ab + 证明不等式: ≥ (a 0,b 0) 2 ab2 ab a b

a+b基本不等式:Vab ≤0,b>02当且仅当α=b时,等号成立。适用范围:a>0, b>0a+b我们把叫做正数a,b的算术平均数2叫做正数a,b的几何平均数;Vab代数意义:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
基本不等式: 当且仅当a =b时,等号成立. ( 0, 0) 2 a b ab a b + 适用范围: a>0, b>0 我们把 叫做正数a,b的算术平均数, 叫做正数a,b的几何平均数; 2 a b + ab 代数意义:两个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数

探究几何意义如图.AB是圆的直径,C是AB上与A、B不重合的一点Da+bzab2ValA则oD-a+bBCD=ObC2RtAACDSRtADCB,EACDC.DC?=BC·AC=abDCBC几何意义:半径不小于弦长的一半
A B C D E 如图,AB是圆的直径,C是 AB上与A、B不重合的一点, AC=a,CB=b,过点C作垂直 于AB的弦DE,连AD,BD, a b 则OD=__,CD=____ ab 2 a + b = AC DC DC BC 2 = = DC BC AC ab O 探究几何意义 几何意义:半径不小于弦长的一半 Rt△ACD∽Rt△DCB, 2 a b ab + ≥

例1若x>0求y=x+=自的最小值x解::x>0,:y=x+=≥2x1即x=1时,ymin=2当且仅当x=x变式:若x<0,求y=x+=的最值x
例1 若 ,求 的最小值. 1 x y x 0 x = + min 0, 1 2 1 1 2 x y x x x x y x = + = = = 解: 当且仅当 ,即 时, 1 x y x 0 . x 变式:若 = + ,求 的最值

1变式的最小值若x0y =-[-x +(--)]x-)≥22:y-2-x+(x,即x=-1时,y=-2.当且仅当一x=x
变式 若 ,求 的最小值. 1 x y x 0 x = + max 0, 0, 1 [ ( )] 1 ( ) 2 2 1 1 2 x x y x x x y x x x y x − = − − + − − + − − − = − = − = − 解: 当且仅当 ,即 时

例2用篱笛围一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长宽各为多少时,所用篱笛最短?最短的篱笛是多少?解:设矩形菜园的长为xm,宽为ym则xy=100,篱芭的长为2(x+y)m由+≥/xy可得:x+y≥2/1002:. 2(x + y) ≥ 40此时x=y=10当且仅当x=时等号成立,因此这个矩形的长、宽都为10m时,所用篱笛最短,最短篱笛是40m
例2 用篱笆围一个面积为100 的矩形菜园,问这 个矩形 的长宽各为多少时,所用篱笆最短?最短的篱笆是多少? 2 m 解:设矩形菜园的长为x m y m , , 宽为 2 100 2 2( ) 40 x y xy x y x y + + + 由 可得: 则xy x y m = + 100, 2( ) 篱笆的长为 当且仅当x y = 时等号成立, 此时x y = =10 因此这个矩形的长、宽都为10m时, 所用篱笆最短,最短篱笆是40m

例3用一段长为36m的篱笛围成一个矩形菜园,问这个矩形的长宽各为多少时,菜园面积最大?最大面积是多少?解:设矩形菜园的长为xm,宽为ym则2(x + y) = 36 :. x + y=18,矩形菜园的面积为xym18=9,可得:xy≤8122当且仅当x=j时等号成立,此时x=y=9因此这个矩形的长、宽都为9m时,菜园面积最大,最大面积是81m2
例3用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩 形的长宽各为多少时,菜园面积最大?最大面积是多少? 2 2 , , 2( ) 36 18, 18 9 81 2 2 9 9 81 . x x m y m x y x y xym x y xy xy x y m m y + = + = + = = = = = 解:设矩形菜园的长为 宽为 则 矩形菜园的面积为 由 , 当且仅当 可得: 此时 因此这个矩形的长、宽都为 时, 菜园面积最大,最 时等号成立 是 , 大面积