《泛函分析》第三讲有界线性算子
《泛函分析》 第三讲 有界线性算子
定义1设X，Y是线性赋范空问，T：X→Y是线性算子T称为是有界的，若对于X中的任一有界集A,T(A)是 Y中的有界集.注：1)有界算子与有界函数的区别有界函数是指在整个定义域中所取的值为有界的函数2)线性算子与线性函数的区别：线性函数是指f(x)=kx+b的所有函数
定义1 设 是线性赋范空间， 是线性算子. 称为是有界的，若对于 中的任一有界集 是 中的有界集. X Y, T X Y : → T X , A T A( ) Y 注： 1) 有界算子与有界函数的区别： 2) 线性算子与线性函数的区别： 有界函数是指在整个定义域中所取的值 为有界的函数. 线性函数是指 f x kx b ( ) = + 的所有函数
定理1设X,Y是线性赋范空间，T：X→Y是线性算子，则下列诸条件等价：1) T在禁一点 x连续；2)T在X上连续;3) T是有界算子;4) T在X的某一点的有界邻域内有界;特别地,T在X的单位球中有界.5) 存在α>0, 使得 Tx≤αlxl (VxX),若T=f是X上的线性泛函，且f≠0，则以上诸条件还等价于：6) N(f)=(xEX:f(x)=0)是 X中闭集;7)N(f)不在X中稠密
定理1 设 是线性赋范空间， 是线性算子， 则下列诸条件等价： X Y, T X Y : → 1) T 在某一点 x0 连续； 2) T 在 X 上连续； 3) T 是有界算子； 4) T 在 X 的某一点的有界邻域内有界； 特别地， T 在 X 的单位球中有界. 5) 存在 0, 使得 Tx x x X ( ). 若 是 上的线性泛函，且 ，则以上 诸条件还等价于： T f = X f 0 6) N f x X f x ( ) : ( ) 0 = = 是 X 中闭集； 7) N f ( ) 不在 X 中稠密
证明：(1)=(2). T在某一点Xo 连续, 即 Vxn →Xo,Txn →Txo若VEX为任一点，并且Jn→y,令 xn =yn-y+Xo,则 Xn →Xo.从而 Txn =T(yn -y+xo)→T(xo).T是线性的，故Tyn→Ty可得Tyn -Ty+Txo →Txo
证明： (1) (2). T 在某一点 x0 连续, 即 0 0 , . → → x x Tx Tx n n 若 y X 为任一点，并且 , y y n → 从而 0 0 ( ) ( ). Tx T y y x T x n n = − + → 令 x y y x n n = − + 0 , 则 0 . x x n → T 是线性的，故 Ty Ty Tx Tx n − + →0 0 可得 . Ty Ty n →
(2) => (3).反证法：若T不是有界的，则存在有界集 A CX ,T(A)在 Y中不是有界的.即Vn, 日x, EA, IlTx,ll ≥n.x不妨设Ilxnll≤M,取 yn=n1M则 ly/≤=,yn →0(n →0)In|Txnl/ ≥ /n →00(n →> 0)但 Tynll =1则 T 在x=0不是连续的， 与(2)矛盾
(2) (3). 反证法：若 T 不是有界的， 则存在有界集 A X ， T A( ) 在 Y 中不是有界的. 即 , , . n x A Tx n n n 不妨设 , x M n 取 y , n n x n = 则 , 0( ). n n M y y n n → → 但 1 ( ), Ty Tx n n n n n = → → 则 T 在x = 0不是连续的，与(2)矛盾
显然成立.(3) → (4).(4)=→(5). 不妨设T在 S(xo,r)=(xEX : llx-xoll ≤r清界,注意到 rS(O,1)+x=S(xo,r)其中 x EX,r>0.其中 S(0, 1)=(x e X : |l/≤1), 或者 S(0, 1) = =(S(xo, r)- x0).由 T的线性，T在S(xo,r)上的有界性必导致它在S(xo,r)一x。上的有界性， 从而在S(O,1)上的有界性以上论述也说明T在闭球S(O,1)上有界与T在开球0(0,1)上有界等价
(3) (4). (4) (5). 显然成立. 不妨设 T 在 S x r x X x x r ( , ) : 0 0 = − 有界， 其中 0 x X r , 0. 由 的线性， 在 上的有界性必导致它在 上的有界性，从而在 上的有界性. T T 0 S x r ( , ) 0 0 S x r x ( , ) − S(0,1) 以上论述也说明 在闭球 上有界与 在开 球 上有界等价. S(0,1) T O(0,1) T 0 0 rS x S x r (0,1) ( , ), + = 其中 S x X x (0,1) : 1 , = 或者 0 0 1 S S x r x (0,1) ( ( , ) ). r = − 注意到
为证(5)，假设在 S(0,1)上，sup|Txll=α<o0.1x/≤1xVxEX,若x≠O,则E S(0,1), 从而xl≤α,[Tx≤αxx=0时上面不等式成立，故得到(5)(5)=(1). 由(5)知, Vxn EX,xn →0, 则ITxn l ≤ αlx, ll →0(n →0),从而T在X=O连续
为证(5)，假设在 S(0,1) 上， 1 sup . x Tx = x X , 若 则 (0,1), 从而 x S x x 0, , . x T Tx x x x = 0 时上面不等式成立，故得到(5). (5) (1). 由(5)知， → x X x n n , 0, 则 0( ), Tx x n n n → → 从而 T在 x = 0连续
设f是X上的线性泛函，且f≠0(2)=→(6). 若 f在X上连续,由于,O)是 Φ中的闭集,则N(f)=-l(O)是X中的闭集(6)→(7). 反证法： 若 N(f)在X中稠密， 由(6)知N(f)= N(f)=X但f0，矛盾
设 f 是 X 上的线性泛函，且 f 0 . (2) (6). 若 f 在 X 上连续,由于 0 是 中的闭集,则 1 N f f ( ) ( 0 ) − = 是 X 中的闭集. (6) (7). 反证法：若 N f ( ) 在 X 中稠密，由(6)知 N f N f X ( ) ( ) . = = 但 f 0 ，矛盾
(7)=(3). 由(7), E x EX, r >0, O(x,r)NN(f) =Φ若f不是有界泛函，由(3)与(4)等价性的证明知f在任一点的有界邻域上都不是有界的，特别地f 不在O(O,r)上有界. 我们证明此时f(O(O,r))=Φ实际上, Vα EΦ, 存在 x'EO(O,r),lf(x)|≥|αlααx',则Ilxl取x=x≤x<r,f(x)f(x)并且f(x)=α,故知之
(7) (3). 由(7), 0 0 = , 0, ( , ) ( ) . x X r O x r N f 若 不是有界泛函，由(3)与(4)等价性的证明知， 在任一点的有界邻域上都不是有界的，特别地 不在 上有界. f f f O r (0, ) 我们证明此时 f O r ( (0, ) . ) = 实际上， , 存在 x O r f x (0, ), ( ) . 取 , 则 ( ) x x f x = , ( ) x x x r f x = 并且 故知之. f x( ) , =
现在对于-f(xo)EΦ,存在 VEO(O,r), 使得f(y)=一f(xo), 于是f(xo +y)= O, xo +ye N(f)但显然 xo+yEO(xo,r), 所以O(xo,r)nN(f) ±Φ,与所设矛盾
现在对于 − f x( ) , 0 存在 y O r (0, ), 使得 0 f y f x ( ) ( ), = − 于是 0 0 f x y x y N f ( ) 0, ( ). + = + 但显然 x y O x r 0 0 + ( , ), 所以 0 O x r N f ( , ) ( ) , 与所设矛盾