第八章多元函数微分学第一节多元函数的基本概念第二节 偏导数第三节全微分及应用第四节多元函数微分学的应用第五节二元函数的极值与最值
第八章 多元函数微分学 第一节 多元函数的基本概念 第二节 偏导数 第三节 全微分及应用 第四节 多元函数微分学的应用 第五节 二元函数的极值与最值
第一节多元函数的基本概念一、多元函数的概念二、二元函数的极值三、二元函数的连续性
第一节 多元函数的基本概念 一、多元函数的概念 二、二元函数的极值 三、二元函数的连续性
一、多元函数的概念（一）区域平面区域平面上由一条曲线或几条曲线围成的部分有界区域区域是有限的，如圆形区域，矩形区域等无界区域区域能够延伸到无穷远处区域的边界围成区域的曲线闭区域所考虑的区域包含区域的全部边界开区域，所考虑的区域不包括区域的边界
一、多元函数的概念 （一） 区域 平面区域 平面上由一条曲线或几条曲线围 成的部分 有界区域 区域是有限的，如圆形区域，矩 形区域等 无界区域 区域能够延伸到无穷远处 区域的边界 围成区域的曲线 闭区域 所考虑的区域包含区域的全部边界 开区域 所考虑的区域不包括区域的边界
例如，在平面上((x,y)]x+y>0)开区域((x,y)[1<x +y2<4)(x,y)] x+ y≥0)闭区域((x,)|1≤x+y≤4)2x2x
例如，在平面上 ( x, y) x + y 0 ( , ) 1 4 2 2 x y x + y ( x, y) x + y 0 ( , ) 1 4 2 2 x y x + y 开区域 闭区域 x y o 1 2 x y o x y o x y o 1 2
（二）二元函数的定义多变量之间依赖关系举例，圆柱体的体积hV =πr"h, (r,h)]r>0,h>0)定量理想气体的压强RT(R为常数),(V,T)V>0,T>T,a+b+c三角形面积的海伦公式（P2S = p(p-a)(p-b)(p-c)(a,b,c)] a>0,b>0,c>0,a+b >c
（二） 二元函数的定义 • 圆柱体的体积 • 定量理想气体的压强 • 三角形面积的海伦公式 c b a h r 多变量之间依赖关系举例：
定义1设非空DCR",映射f:DHR称为定义在D上点集的n元函数，记作z= f(xi,x2,,xn) 或 z= f(P),Pe D点集D称为函数的定义域;数集（z[z=f(P),PED称为函数的值域。特别地，当 n =2 时，有二元函数t=f(x,y), (x,y)eDcR当n=3时，有三元函数z= f(x,y,z), (x,y,z)e DcR3
定义1 设非空 点集 点集 D 称为函数的定义域 ;数集 称为函数的值域 . 特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数 当 n = 3 时, 有三元函数 映射 称为定义在D 上 的 n 元函数 ,记作
（三）二元函数的几何意义(a,y,2)/(r.yED,e=f(,y))称为二元函数2=f(1,y)的图形.一般来说，，它通常是一张曲面，这就是二元函数的几何意义2=3)
（三） 二元函数的几何意义 称 为二 元函 数 的图 形.一 般来 说，它通 常是一 张曲 面，这就是二元函数的几何意义
二、二元函数的极限定义2设函数z=f（x,y)在点P（xo,yo）的某一邻域内有定义（点P。可以除外），如果当点P(x，y)无限地接近于点P.(xo，yo）时，对应的函数值z趋近于一个确定的常数A，则称A为函数z=f (x,J) 当(x,y)→(xo,) 时的极限，记为lim f(x,y) = A,(x,y-→xo,yo)或f(x,y) →A,(x, y) →(xo,yo)
二、二元函数的极限 则称 A 为函数 z = f (x , y) 当 时的极 限， (x, y)→(x0 , y0 ) 设函数 z = f (x , y)在点 P0(x0 , y0) 的某一邻域内有定义(点 P0 可以除外)，如果当 点 P(x , y)无限地接近于点 P0(x0 , y0)时， 0 0 ( , , ) , , x y x y lim f x y A → 记为 ( )= 或 定义2 对应 的函数值z 趋近于一个确定的常数A， 0 0 f(x,y) A,( ) ( ) → → x, , y x y
例考察函数xy￥029x'+yg(x, y) =x-19当(x,)→(0,0)时的极限解当（x,）沿轴趋向于原点，即当=0而x→0时,有limg(x, y) = lim g(x,0) = lim 0 = 0 ,x-0x-→0x-0y=0
+ + = , 0 , ( , ) 2 2 2 2 x y x y x y g x y 例 0 , 0 2 2 x + y = 当( , ) ( 0 , 0) x y → 时的极限 0 , 0 时 即当 而 → = x 当 ( x, y ) 沿 y 轴趋向于原点， y lim ( , ) lim ( ,0) lim0 0 , 0 0 0 0 = = = → → = → x x y x g x y g x 有 解 考察函数
而当点(αx,)沿轴趋向于原点，即x=0,而→0时，有lim g(x, y) = lim g(0, y) = lim 0 = 0 .x=0J-0y-→0y-0但是，当点（x，y）沿着直线y=kx（k±0）趋向于点(0,0)时，即当y=kx，而x→0时,kx?klim g(x,y)= lim g(x, x)= lim x + kx?1+kx-0Xy=kx-→0k故极限的值也不同，随着k的取值不同1+klim g(x,J) 不存在。x→0y-0
但是，当点( x , y )沿着直线 y = k x ( k 0 )趋向于点 (0, 0) 时， , 1 lim ( , ) lim ( , ) lim 2 2 2 2 2 0 0 0 0 k k x k x kx g x y g x kx x x y k x x + = + = = → → = → → 即当 y = k x ， 而 x → 0时, lim ( , ) lim (0, ) lim 0 0 . 0 0 0 0 = = = → → → = y y y x g x y g y 而当点 (x, y) 沿 y 轴趋向于原点， 有 lim ( , ) . 0 0 不存在 故极限 g x y y x → → , 1 2 的值也不同 k k + 随着 k 的取值不同， 即 x = 0 ,而 y →0 时