《泛函分析》第二讲有限维空间
《泛函分析》 第二讲 有限维空间
定义1设X，Y是线性赋范空问间，若存在T：X→Y是一一的到上的线性映射，使得T与T-1都连续，则称X，Y同构，其中T称是从X到Y的同构映射
定义1 设 是线性赋范空间，若存在 是一 一的到上的线性映射，使得 与 都连续， 则称 同构，其中 称是从 到 的同构 映射. X Y, T X Y : → T 1 T − X Y, T X Y
定理1设X,Y是线性赋范空间，T：X→Y是到上的线性映射，则T是X到Y上的同构当且仅当存在正数a,b使得对于任何xeX,alx/ ≤[/Txl ≤blxll 设X与Y同构，当一个是完备空间时，另一个也是充分性.证明：若对于任意的xEX所说的不等式成立，则 当 Tx = Tx2 时,a|x - x2l|≤[T( - x2) = 0从而X=X2，T是一一的
定理1 证明： 充分性. 设 是线性赋范空间， 是到上 的线性映射，则 是 到 上的同构当且 仅当存在正数 使得对于任何 X Y, T X Y : → T X Y a b , x X , a x Tx b x . 设 X 与 Y 同构,当一个是完备空间时,另一个也是. 若对于任意的 所说的不等式成立， 则当 时， x X Tx Tx 1 2 = 1 2 1 2 a x x T x x − − = ( ) 0, 从而 x x 1 2 = ，T 是一一的
若 xn,xeX,xn →x,则Tx,→>Tx,Txn-Txl≤bxn -xl→>0,T是连续的.若 yn,yEY,yn→y,不妨设 yn=Txn,y=Yx,则a|T-'yn -T-Ix= alxn -xll≤[Txn-Tx=[yn-ll→0 (n→),于是 T-'y,→T-'y, T-l 连续. 总之X, 同构
若 x x X x x n n , , , → 则 0, Tx Tx b x x n n − − → T 是连续的. 若 y y Y y y n n , , , → 不妨设 y Tx y Yx n n = = , , 则 1 1 a T y T x a x x n n − − − = − 于是 连续. 1 1 , T y T y n − − → 1 T − 总之 X Y, 同构. 0 ( ), − = − → → Tx Tx y y n n n , Tx Tx n →
必要性设T是从X到Y上的同构映射，若不存在b>O使得ITxl≤bllxll (VxEX),此时对于任意的 n，有xn EX,Txnll > nllxnll，令xx, =Inx,ll则 Ix=→0,从而 x, →>0(n →>0)
必要性. Tx b x x X ( ), , Tx n x n n 令 , n n n x x n x = 则 1 0, xn n = → 从而 0( ). x n n → → 设 T 是从 X 到 Y 上的同构映射，若不存在 b 0 使得 此时对于任意的 ，有 , n x X n
但- > /n →(n →8),Tx,=T不是连续的.矛盾即证明存在b>0,JTx≤bx (VxEX)同样，有T- 连续，存在 α>O,-I≤=llll (Vye)令y=Tx,即得 ax≤[Tx最后的结论是明显的
但 ( ), n n n Tx Tx n n n x = → → 矛盾即证明存在 b Tx b x x X 0, ( ). 同样，有 T −1 连续，存在 1 1 a T y y y Y 0, ( ), a − 令 y Tx = , 即得 a x Tx . 最后的结论是明显的. T 不是连续的
定义2线性空问X上的两个范数，称为是彼此等价的，若存在 a,b>0 使得axl ≤x≤bxll Vx EX推论1线性空问X上的两个范数l，l 称为是彼此等价的，若对任意XnEX,Ix,ll ~→> 0.I/x,ll →0当且仅当
推论1 线性空间 上的两个范数 称为 是彼此等价的，若存在 a b , 0 使得 1 2 1 a x x b x x X , . X 1 2 • • , 1 0 xn → 当且仅当 2 0. xn → 线性空间 上的两个范数 称为是 彼此等价的， X 1 2 • • , , 若对任意 x X n 定义2
定理2设X是线性赋范空问，Y是X的线性子空问，dimY=n,Φ"是n维欧式空问.则每个从Φ"到Y中的一一线性映射都是Φ"到Y上的同构，并且 Y是X的闭子空间.证明: 令 er =(0,...,0,1,0,..,0)e@"(k= 1,..,n), F(e)= ykF(Zαrer)=Zaryr则由于F为一一映射，.,，线性无关，所以F是到上的
定理2 设 是线性赋范空间， 是 的线性子空间， 是 维欧式空间.则每个从 到 中的一一线性映射都是 到 上的同构，并 且 是 的闭子空间. n X Y X dim , n Y n = n Y n Y Y X 证明：令 (0, ,0,1,0, ,0) ( 1, , ), ( ) , n k k k k e k n F e y = = = 则 1 1 ( ) . n n k k k k k k F e y = = = 由于 为一一映射， 线性无关，所以 是到上的. F 1 , , n y y F
由()(a)F(aer)allil/≤(l），则假设b=Vα =(αi,.,α,)eΦn, F(α)≤bα所以F是连续的：
由 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 ( ) , n n n n k k k k k k k k k k F e y y = = = = 假设 则 1 2 2 1 , n k k b y = = 1 ( , , ) , ( ) . n = n F b 所以 F 是连续的
考虑函数 (α,…,α,)=F(αre)=≥αxy是 n 元连续函数.E=α:之lα=1是"中的有界闭集，从而是紧集：由定理43),可达到上、下确界不妨设a= f(α, ..,αn)= inf(f(αi,...,αn):(αi,...,αn)e E)因为yi,..",yn线性无关,仅当 αi=.….=αn=0 时 f(α,.….,αn)=0但(α°..,α)位于E上，故α>0
考虑函数 1 1 1 ( , , ) ( ) . n n n k k k k k k f F e y = = = = 是 元连续函数. f n 2 1 : 1 n k k E = = = 是 n 中的有界 闭集,从而是紧集. 由定理4(3), 可达到上、下确界. f 不妨设 0 0 1 1 1 ( , , ) inf ( , , ) : ( , , ) . a f f E = = n n n 因为 y y 1 , , n 线性无关,仅当 1 = = = n 0 时 1 ( , , ) 0, n f = 但( , , ) 1 0 0 n 位于 E上，故 0