《泛函分析》第九讲，共轭空间
《泛函分析》 第九讲 共轭空间
对于任一线性赋范空间X，X的共轭空间X是Banach空问.对于每个fEX*，我们有fll= sup|f(x)lx≤1xEX对于每个xe X, 又有 IIx= sup[f(x)≤1feX*这些公式反映了线性赋范空问与它的共轭空间之问的对偶关系.作为线性赋范空问，X*也存在共轭空问间，记为X**，称X*为X的二次共轭空间，类似地还有X**等等
对于任一线性赋范空间 ， X 的共轭空间 是 Banach空间. 对于每个 ，我们有 对于每个 ，又有 X f X 1 sup ( ) . x x X f f x = X 1 sup ( ) . f f X x f x x X = 这些公式反映了线性赋范空间与它的共轭空间之 间的对偶关系.作为线性赋范空间， 也存在共轭 空间，记为 , 称 为 的二次共轭空间，类似 地还有 等等. X X X X X
Φn上线性泛函的一般形式是f(x)=axi +...+anxn, Vx =(xi,...,xn)eΦ"其中a,.,an是n个标量.不同的f对应不同的n元数组（ai，.,an）.直接计算可以求出Zla.lIl=1
上线性泛函的一般形式是 其中 是 个标量.不同的 对应不同的 元数组 直接计算可以求出 n 1 1 1 ( ) , ( , , ) . n n n n f x a x a x x x x = + + = 1 , , a an n f n 1 ( , , ). a an 1 2 2 1 n i i f a = =
若将Φn上的线性泛函f与Φn中的点a，··,an）对应起来，则(Φn)*与Φn之间可以建立一一对应，并且可以验证这种对应是到上的等距同构.这样一来,(")* 中的元素可以通过一个n数组表现. 换句话说，Φn本身就是(n）*的表现：在这种意义下，我们说：(dD")*=dDn
若将 上的线性泛函 与 中的点 对应起来，则 与 之间可以建立一一对应， 并且可以验证这种对应是到上的等距同构. 这样一 来， 中的元素可以通过一个 数组表现. 换 句话说， 本身就是 的表现. 在这种意义下， 我们说： n n f 1 ( , , ) a an n ( )n n ( )n n ( )n ( ) . n n =
定理1(7')*= 1°证明： 1)对应每个α=(α1,α2,")E 1~，定义f(x) =Zα,x, Vx =(x,) e Il.(1)n=lf是7上的线性泛函，并且[f(x)]≤Z[αnlxn/≤ suplαn/Z|xnln≥1n=ln=l
定理1 1 ( ) . l l = 证明：1) 对应每个 ，定义 1 1 ( ) , ( ) . (1) n n n n f x x x x l = = = 1 2 ( , , ) l = 是 上的线性泛函，并且 1 1 1 ( ) sup n n n n n n n f x x x = = f 1 l
= sup|αn I/xlln≥l从而I≤ sup|αn / = Iαll。:n≥12)反之，对每个fE(I')*，取en =(0,..., 0,1,0, ..),e, Il令α, = f(en)，首先 [αn|≤en=l。若令
1 sup . n n x = 从而 1 sup . n n f = 2) 反之，对每个 ，取 令 ，首先 1 (0, ,0,1,0, ), . n n n e e l = 1 f l( ) ( ) n n = f e . n n = f e f 若令
[α= supαn| ≤flα=(α,,α,,), 则αE [~并且n任取x=(x)el，设x()=≥Cx,e，则i=1Ix(m) - x= Z [x;/ → 0(n → 80),i=n+l从而由f的连续性Zx,f(e)=f(x)= lim f(x(n))= limanxn9n→n→00i=1n=1这说明(1)是 1上的线性泛函的一般形式
1 2 = ( , , ), 则 l 并且 sup . n n f = ( ) 1 0( ). n i i n x x x n = + − = → → 任取 x x l = ( )i 1 ，设 ( ) ，则 1 n n i i i x x e = = ( ) 1 1 ( ) lim ( ) lim ( ) . n n i i n n n n i n f x f x x f e x → → = = = = = 从而由 f 的连续性 这说明(1)是 上的线性泛函的一般形式. 1 l
3) 令 T:(7')*→[°,Tf =α. 由1)知,T是到上的线性映射.1)与2)一起说明Tfl=αl= fl(f (')*)从而T是一一映射并且(7')*与1° 等距同构,即(7')*=[°°类似地可以证明(P)*=19(1<p<0,p-l+q-1 =1)此外c* = I',c*= Il
3) 令 由1)知， 是到上 的线性映射. 1)与2)一起说明 从而 是一一映射并且 与 等距同构,即 1 Tf f f l ( ( ) ). = = 1 T l l Tf : ( ) , . → = T T 1 ( ) l l 1 ( ) . l l = 类似地可以证明 此外 1 1 0 c l c l , . = = 1 1 ( ) (1 , 1) p q l l p p q − − = + =
定理2LP[a,b]* = L'[a,b](1< p<0, p-1 +q-1 =1)定理3Riesz表现定理C[a,b]* = Vo[a,b]
定理2 定理3 1 1 [ , ] [ , ](1 , 1). p q L a b L a b p p q − − = + = 0 C a b V a b [ , ] [ , ]. = Riesz表现定理
下面我们引入自然嵌入算子定理4 对于每个 xEX, 在 X上定义泛函 x*，使x**(f) = f(x), Vf EX则x**EX**并且x**=xll证明： 由定义 Vfi,fz eX*,α,βeΦ,x**(αf +βf)=(αfi +βf2)(x)
下面我们引入自然嵌入算子. 定理4 对于每个 ，在 上定义泛函 ，使 则 并且 X x X x f f x f X ( ) ( ), = x X x x x . = 证明：由定义 1 2 f f X , , , , 1 2 1 2 x f f f f x ( ) ( )( ) + = +