《泛函分析》第六讲开映射定理
《泛函分析》 第六讲 开映射定理
设X,Y是线性赋范空间，T：X→Y是线性算子.若T是一一的，则T-l :R(T)一→X是线性算子.此时对于每个VER(T),算子方程Tx=V有解存在,x=T-Iy.若问V的微小变动是否会引起x的微小变动，这是由T-1的连续性决定的.在微分方程理论中，存在性、唯一性和解对所给数据的连续依赖性统称为适定问题这一问题与开映射定理有关另外容易知道，当T是一一线性映射时，T是开算子恰恰相当于T-是连续算子
设 是线性赋范空间， 是线性算子. 若 是一一的，则 是线性算子.此时对 于每个 ,算子方程 有解存在， . 若问 的微小变动是否会引起 的微小变动,这是 由 的连续性决定的.在微分方程理论中，存在性、 唯一性和解对所给数据的连续依赖性统称为适定问 题.这一问题与开映射定理有关.另外容易知道，当 是一一线性映射时， 是开算子恰恰相当于 是 连续算子. X Y, T X Y : → 1 T R T X : ( ) − → y R T ( ) T Tx y = 1 x T y − = y x 1 T − T T 1 T −
定义1设XY是线性赋范空问，T：X→Y为线性算子，若T将X中的每个开集映射 为Y 中的开集,称T为开算子(开映射）
定义 1 设 是线性赋范空间， 为线性算子， 若 将 中的每个开集映射 为 中的开集,称 为开算子(开映射). X Y, T X Y : → T X Y T
引理1设X,Y是线性赋范空间，线性算子T：X→Y是开算子当且仅当对于0EX的每个邻域O(O,)T(O(O,I))包含OEY 的邻域.证明：若T 为开算子,O(O,)是0EX的邻域，则T(O(O,))是开集，从而是 O EY的邻域若T 具有所说的性质， ACX为任一开集我们证明T(A)是 Y 中的开集
引理 1 设 是线性赋范空间，线性算子 是 开算子当且仅当对于 的每个邻域 ， 包含 的邻域. X Y, T X Y : → 0 X 0Y O(0, ) T O( (0, ) ) 证明： 若 为开算子， 是 的邻域 ，则 是开集，从而是 的邻域. T 0 X 0Y O(0, ) T O( (0, ) ) 若 具有所说的性质， 为任一开集， 我们证明 是 中的开集. T T A( ) Y A X
对每个yET(A)，设V=Tx,xEA，则存在> 0,O(x, ) C A .此时 -x +O(x, ) = O(0, )是0EX的邻域，于是-Tx + T(O(x, ) = T(O(0, )包含 0EY的邻域.从而T(O(x, )) = Tx + T (O(0, ))包含T的邻域，显然 T(O(x,))CT(A).即Y 是T(A) 的内点J是任意的，故T(A)为开集，T为开算子
对每个 ，设 ，则存在 .此时 是 的邻域 ， y T A ( ) 0, ( , ) O x A y Tx x A = , − + = x O x O ( , ) (0, ) 0 X − + = Tx T O x T O ( ( , ) (0, ) ) ( ) 于是 包含 0Y 的邻域.从而 T O x Tx T O ( ( , ) (0, ) ) = + ( ) 包含 Tx 的邻域. 显然 .即 是 的内点, 是任意的，故 为开集， 为开算子. T O x T A ( ( , ) ( ) ) y T A( ) y T A( ) T
定理1（开映射定理）设X是Banach空间，Y是线性赋范空问，T：X一→Y是有界线性算子并且R(T)是Y中的第二纲集，则T必是开算子且是到上的：特别地，从Banach空间到Banach空间上的有界线性算子是开算子
定理 1 (开映射定理) 设 是Banach空间， 是线性赋范空间， 是有界线性算子并且 是 中的第二纲集，则 必 是开算子且是到上的. X T X Y : → Y Y R T( ) T 特别地，从Banach空间到Banach空间上的有界 线性算子是开算子
证明：1）我们知道，对于线性赋范空间的任意子集A, B,A+B A+B.现在设=(x [1),U=:[3<)于是由T的连续性，则 U, +U, EU,-U, =U1,-T(U)C-T(U) = T(U)从而T(U)-T(U)= T(U,)+T(U))C T(U)+T(U)C T(U)
证明：1) 我们知道，对于线性赋范空间的任意子集 A B A B A B , , . + + 现在设 1 1 : 1 , : , 2 U x x U x x = = 则 1 1 1 1 U U U U U + − = , , 于是由 T 的连续性， 1 1 1 − − = T U T U T U ( ) ( ) ( ). 从而 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). T U T U T U T U T U T U T U −=+ +
小xEU, 或 xenU,VxEX存在自然数n，2nn故x=UnU。于是n=1T(X)=UnT(U)cUnT(U)n=1n=lT(X) 是第二纲集，故存在no, n.T(U)具有非空内点,均即T(U)具有非空内点.从而T(U)-T(U)和 T(U)以OEY为内点
x X , 存在自然数 n ， 1 或 ， 1 , 2 x x U n n 1 x nU 故 . 1 n 1 x nU = = 于是 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ). n n T X nT U nT U = = = 是第二纲集，故存在 ， 具有非空内点. 即 具有非空内点.从而 和 均 以 为内点. T X( ) n0 0 1 n T U( ) 1 T U( ) 1 1 T U T U ( ) ( ) − T U( ) 0Y
不失一般性，设 T(U)O(0,),S>0. (以下为了不致于混，记X中0的邻域为Ox，Y中0的邻域为O）.T是线性的，从而对于任何r>0 O(0,8,) = rO,(0,8) C rT(U)(1)= rT(Ox(0,1) = T(Ox(0,r))
不失一般性，设 (以下 为了不致于混淆，记 中 的邻域为 ， 中 的邻域为 ). ( ) (0, ), 0. T U O Y X 0 OX Y 0 OY T 是线性的，从而对于任何 r 0 ， . (0, ) (0, ) ( ) ( (0,1)) ( (0, )). (1) Y r Y X X O rO rT U rT O T O r = = =
2)现在我们证明， 对于给定的 r T(Ox(0,r)) D O, (0,,) ，由式(1), T(Ox(0,三) 0,(0,EO,(0,Vy22ro故存在 x EOx(0,)使得[。-Tx<,从而rd1= ) -Tx 0,(0 %)
2) 现在我们证明，对于给定的 r ， ( (0, )) (0, ). 2 X Y r T O r O 0 (0, ) ，由式(1)， 2 Y r y O ( (0, )) (0, ), 2 2 X Y r r T O O 故存在 1 (0, ) 使得 ，从而 2 X r x O 0 1 2 2 r y Tx − 1 0 1 2 (0, ). 2 Y r y y Tx O = −