2.3二次函数与一元二次方程、不等式
2.3二次函数与一元二 次方程 、不等式
问题导学预习教材P50一P54，并思考以下问题：1．一元二次不等式的概念是什么？2.二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解有什么对应关系？3.求解一元二次矾筹bx十c>0(d的过是什么？
问题导学 预习教材P50－P54，并思考以下问题： 1．一元二次不等式的概念是什么？ 2．二次函数与一元二次方程、一元二次不等式 的解有什么对应关系？ 3．求解一元二次不等式 的过程 是什么？ 2 ax bx c a + + 0( 0)
1．一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式2．一元二次不等式的一般形式(1) ax? +bx+c >0(a0)(2) ax2 +bx +c ≥0(a± 0)(3)ax2 +bx+c0是一元二次不等式吗？3.一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集·
1．一元二次不等式的概念 只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的 不等式，称为一元二次不等式． 一个 2 3．一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个 一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个 一元二次不等式的 解集 ． 2．一元二次不等式的一般形式 (1) (2) (3) (4) 思考1：不等式 是一元二次不等式吗？ 2 ax bx c a + + 0( 0) 2 ax bx c a + + 0( 0) 2 ax bx c a + + 0( 0) 2 ax bx c a + + 0( 0) 2 2 x y − 0 2．一元二次不等式的一般形式 (1) (2) (3) (4) 思考1：不等式 是一元二次不等式吗？ 2 ax bx c a + + 0( 0) 2 ax bx c a + + 0( 0) 2 ax bx c a + + 0( 0) 2 ax bx c a + + 0( 0) 2 2 x y − 0
观寨思考先来观察几个具体的二次函数的图象及其相应的一元二次方程、一元二次不等式：①函数y=x2-2x-3, x2-2x-3=0,x2-2x-3>0②函数y=x2-2x+1，x22-2x+1=0，x2-2x+1>0③函数y=x2-2x+3，x2-2x+3=0,x2-2x+3>0
观 察 思 考 先来观察几个具体的二次函数的图象及 其相应的一元二次方程、一元二次不等式： ①函数 2 2 x x x x − − = − − 2 3 0, 2 3 0 2 y x x = − − 2 3， 2 2 ③函数 y x x = − + 2 2 3， x x x x − + = − + 2 3 0 2 3 0 ， 2 2 ②函数 y x x = − + 2 2 1，x x x x − + = − + 2 1 0 2 1 0
二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系△0yy1二次函数y=ax +bx+c(a>0)0x的图像xxiX2X=X2x-b-/b*-4ac一元二次方程有两个相等实根X,=2aax +bx+c=0(a>0)无实根b-b+Vb-4ac的根X=X, =X2 =2a2abax+bx+c>0(a>0)Rx1xxxx+2a的解集ax+bx+c0)d0(x]x<x<x)的解集
二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 的图像 的根 的解集 的解集 b 4ac 2 = − 0 = 0 0 二次函数 y ax bx c(a 0) 2 = + + 一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 2 + + = ax bx c 0(a 0) 2 + + ax bx c 0(a 0) 2 + + 1 x 2 x y x 0 x y 0 1 x = x2 x y 0 有两个相等实根 2a b b 4ac x 2a b b 4ac x 2 2 2 1 − + − = − − − = 2a b x x 1 = 2 = − { | } 1 2 x x x 或x x { | } 1 2 x x x x } R 2 { | a b x x − 无实根
求解一元二次不等式的过程将原不等式化成ax?+bx+c>0(a>0)的形式计算△=b2-4ac的值4>04=04x2]为(xlx≠2a
求解一元二次不等式的过程
小试牛刀例1解下列不等式：(l) x2-3x+2>0(2) 2x2 -3x-5≤0(3) x2-3x>1(4) 3x2 -x+1>0(5) -x2 -4x+12<0你能总结出二次项系数为负的一元二次不等式的解法吗？二次项系数化正
小试牛刀 例1 解下列不等式： (1) 3 2 0 2 x − x + (2) 2 3 5 0 2 x − x − (3) 3 1 2 x − x (4) 3 1 0 2 x − x + (5) 4 12 0 2 − x − x + 你能总结出二次项系数为负的一元二次不等式的解法吗？ 二次项系数化正
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤1.化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0使二次项系数为正2.判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式3求实根求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根4.画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图5.写解集.根据图象写出不等式的解集
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 1.化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0， 使二次项系数为正. 2.判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则 计算对应方程的判别式. 3.求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别 式说明方程有无实根. 4.画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的 二次函数的草图. 5.写解集.根据图象写出不等式的解集
题型二含参数的一元二次不等式的解法例2：当a<0时，解不等式x2-(α+2)x+2a<0变式：解不等式x2-(a+2)x+2a<0点评：如果未能判断两根的大小，必须按两根的大小关系进行分类讨论！最后应加一段总结，按参数的大小顺序分段将结论列举出来
点评：如果未能判断两根的大小，必须按两根的大小关系 进行分类讨论！最后应加一段总结，按参数的大小顺序分 段将结论列举出来 ( 2) 2 0 2 变式：解不等式x − a + x + a 2 0 ( 2) 2 0 2 例 ：当a 时，解不等式x − a + x + a 题型二 含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法例3解关于x的不等式ax2一(a+1)x十11.当a≠0时，原不等式可化为(ax一1)(x一1)0当1当a>0 时，原不等式可化为x-(x-1)1，则1，即01；当a=0时，原不等式的解集为(xx>1)；当0x11时，原不等式的解集为x<r<1
例 3 解关于 x 的不等式 ax2－(a＋1)x＋11. 当a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)0， ∵ 1 a 1. 当 a>0 时，原不等式可化为 x－ 1 a (x－1)1，则 1 a 1，即 01 ；当 a＝0 时， 原不等式的解集为{x|x>1}；当 01 时，原不等式的解集为 x 1 a <x<1