函数的零点与4.5.1方程的解
4.5.1 函数的零点与 方程的解
我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点判别式4>04=0△<0A=b2-4acyy二次函数y=ax2+bx+cxxxxXX1=X2的图象一元二次方程有两个不等的有两个相等实没有实数根ax2+bx+c=0实数根×1X2数根×1=X2的根二次函数(X1,0) ,y=ax2+bx+c(X1,0)没有交点(X2,0)的图象与x轴的交点
判别式 =b2 -4ac >0 =0 <0 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与x轴 的交点 有两个不等的 实数根x1,x2 有两个相等实 数根x1=x2 没有实数根 x y x1 x2 x y x1=x2 x y (x1 ,0)， (x2 ,0) (x1 ,0) 没有交点 我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程， 知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点
结论：一元二次方程的根与相应的二次函数图象的关系是若一元二次方程有实数根，它的根就是相应二次函数的图象与x轴交点的横坐标；若一元二次方程没有实数根，则相应二次函数的图象与x轴没有交点，推广到一般情形：方程f（x）=0有实根Xo函数y=f（x）的图象与x轴有交点(xo, 0)
结论：一元二次方程的根与相应的二次函数图象的关系是 推广到一般情形: 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 方程f(x)=0有实根 若一元二次方程有实数根,它的根就是相应二次函数的图象与x轴交 点的横坐标; 若一元二次方程没有实数根,则相应二次函数的图象与x轴没有交点. x0 (x0,0)
像lnx+2x-6=0这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢？
像lnx+2x-6=0这样不能用公式求解的方程，是否也能 采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢？
函数的零点定义对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。函数的零点是点吗？答：不是。函数y=f(x)的零点是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标等价关系方程(x)=0有实数根函数/=f(x）的图象与x轴有交点函数y=f(x）有零点一零点的求法图象法代数法2026/2/9
2026/2/9 函数的零点定义： 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)有零点 等价关系 对于一般函数y=f(x), 我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点。 函数的零点是点吗？ 答：不是。函数y=f(x)的零点是方程f(x)=0的实数解，也 就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标。 零点的求法 代数法 图象法
由刚才的等价关系我们知道，求方程(x)=0的实数解，就是确定函数y(x)的零点，一般地，对于不能用公式求解的方程(x）=0，我们可以把它与相应的函数>=(x)联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的解。下面从考察二次函数存在零点时函数图象的特征，以及零点附近函数值的变化规律入手
由刚才的等价关系我们知道，求方程f(x) =0的 实数解，就是确定函数y=f(x)的零点，一般地， 对于不能用公式求解的方程f(x) =0，我们可以 把它与相应的函数y=f(x)联系起来，利用函数的 图象和性质找出零点，从而得到方程的解。 下面从考察二次函数存在零点时函数图象的特征， 以及零点附近函数值的变化规律入手
2.用数形结合法探究观察二次函数f(x）=x?-2x-3的图54象，在间们签帮邀{()=×-2×-3在3区闻L2)-1]有点~4计算(-2)和(1)的乘21积，f你能发这个乘积有什么特点？在区间2[2,4②在闻退闻有霖点呢？f(2) f(4) <0。对于二次函数，若在区间[a,b]上有f(a)*f(b)<0，则在区间(a,b)上有零点
-2 -1 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 x y 2. 用数形结合法探究 观察 二次函数 2 f x x x ( ) 2 3 = − − 的 图 象，如右图，我们发现函数 2 f x x x ( ) 2 3 = − − 在 区 间−2,1上有零点。计算 f ( 2) − 和 f (1)的乘 积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间 2,4上是否也具有这种特点呢？ ①在区间[-2,1]上有零点 ; f(-2)= ;f(1)= ; f(-2)·f(1) 0。 -1 5 - 4 < ②在区间[2,4]上有零点 ; f(2)·f(4) 0。 3 < 对于二次函数，若在区间[a,b]上有f(a)f(b)<0，则在区间(a,b) 上有零点
问题2：函数f(x)在区间[a,b]上f(a)f(b)<0，那么函数f(x)在区间（a,b）上是否一定有零点？此时，函数有几个零点？bxb函数f(x)在区间[a.b上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)<06
问题2：函数f(x)在区间[a,b]上f(a)f(b)<0，那么函数f(x)在区 间(a,b)上是否一定有零点？ 0 a b y x a b x y 0 函数f(x)在区间[a,b]上的图象是 连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)<0 此时，函数有几个 零点？ a 0 b y x
函数零点存在定理如果函数v=f(x)在区间[a,b上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a),f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c E (a,b)，使得,f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解
函数零点存在定理 如果函数y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断 的一条曲线，且有f(a) f(b)<0 ，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点，即存在 c ∈ (a,b)，使得 f(c) =0，这个 c也就是方程 f(x)=0 的解
思考：如果函数y=(x)在区间[a,b]上是一条连续不断的曲线，且在区间（α,b)内有零点，是否一定有(a) f(b)<0 ?1x0ab这说明什么？在给定区间[a,b]上连续”和“f(a),f(b)<0”这两个条件是函数y=(x)在区间(a,b)内有零点的充分不必要条件
思考：如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上是一条连续 不断的曲线，且在区间 (a,b) 内有零点，是否一定 有f(a) f(b)<0 ？ a b x y 0 这说明什么？ “在给定区间[a,b]上连续”和“f(a) f(b)<0”这两个条件 是函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点的充分不必要条件