5.2.2 同角三角函数的基本关系
y一、创设情境：8A(1,0)ax0M问题1.如图1，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于P(x,y），T那么y图1V(x#0)XcoSα=sinα =xtanα =问题2．三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的，你能从圆的几何性质出发，讨论一下同一个角的不同三角函数之间的关系吗？
一、创设情境： M sin = ； cos = ； tan = 问题2. 三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的，你能从 圆的几何性质出发，讨论一下同一个角的不同三角函数之间 的关系吗？ 问题1. 如图1，设 是一个任意角， 它的终边 与单位圆交于 ， 那么 P(x, y) O x y P 图1 A(1,0) T
二、 探究新知y1、探究同角正弦、余弦之间的关系问题（1）当角α的终边不在坐标轴时，正弦、a余弦之间的关系是什么？（如图2）xOMOP=1，由勾股定理得MP?+OM?=Op2因此 y2+x2=l,即 si2α+cos2α=1图2问题(2)当角Q的终边在坐标轴上时关系式是否还成立？当角α的终边在x坐标轴上时，sin2α+cos?α=0+1=1当角α的终边在V坐标轴上时,sin?α+cosα=1+0=1质疑：①simα能写成simα吗？（不能）②“同角”是什么含义？（一是“角相等”，二是对“任意一个角”）结论：对于任意角α,（αER）都有平方关系sinα+cos-α=l
，由勾股定理得 因此 ，即 二、探究新知： 问题⑵ 当角 的终边在坐标轴上时,关系式是否还成立？ 结论： 对于任意角 ,( R) 都有 sin cos 1 2 2 + = 平方关系 问题⑴ 当角 的终边不在坐标轴时，正弦、 余弦之间的关系是什么？（如图2） 1、探究同角正弦、余弦之间的关系 O x y P M 图2 当角 的终边在 坐标轴上时, 当角 的终边在 坐标轴上时, 质疑：① 能写成 吗？ ②“同角”是什么含义？ （不能） （一是“角相等”，二是对“任意一个角”） O P = 1 2 2 2 MP OM OP + = 2 2 y x + = 1
2.观察任意角α的三角函数二.(x±0)sinα=y, cosα=x, tanα=二x思考：sinα.cosα、tanα有什么样的关系呢！sinα商的关系=tanαcoSα,ke Z),是在等式两边都有意注：商商的关系不是对任意角都成立(α≠k元+）2义的情况下，等式才成立
2.观察任意角 的三角函数 sin = y, cos = x, tan = ,(x 0) x y tan cos sin = 商的关系 sin、cos、tan有什么样的关系呢？ 思考： 注：商的关系不是对任意角都成立 ,是在等式两边都有意 义的情况下，等式才成立 , ) 2 ( k + k Z
2.观察任意角α的三角函数的定义sinα=y, cosα=x, tanα=,(x±0)x思考：sinαcosα、tanα有什么样的关系呢！sinaα商的关系=tanαcoSα注：雨元商的关系不是对任意角都成立(α≠k元+，kEZ)是在等式两边都有意2义的情况下，等式才成立结论：同一角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切
2.观察任意角 的三角函数的定义 sin = y, cos = x, tan = ,(x 0) x y tan cos sin = 商的关系 注：商的关系不是对任意角都成立 ,是在等式两边都有意 义的情况下，等式才成立 , ) 2 ( k + k Z sin、cos、tan有什么样的关系呢？ 思考： 同一角 的正弦、余弦的平方和等于1， 商等于角 的正切 结论：
判断题(1)、sin 2 αQ2=1+ cos22(2)sin2α+cos2 β=1(3) sin (α+β)+cos(α + β) =1sin 90°(4)= tan 90°cos90°
1 判断题 2 cos 2 (1) sin 2 2 + = 、 tan 90 cos90 sin 90 (4)、 = (3) sin ( ) cos ( ) 1 2 2 、 + + + = (2) sin cos 1 2 2 、 + =
V注意（1）注意“同角”，至于角的形式无关重要如sin?4α十cos?4α=1等（2）注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的（3）对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用）
⑴ 注意“同角”，至于角的形式无关重要， 如sin24＋cos24＝1等. ⑵ 注意这些关系式都是对于使它们有意 义的角而言的. ⑶ 对这些关系式不仅要牢固掌握，还要 能灵活运用（正用、反用、变形用）. 注 意
例题互动如何应用同角三角函数的基本关系解决三角函数的求值及恒等证明等问题3例题6已知sinα=求cosα,tanα的值5解: : sin α 0164..cosα=5252433sinatanα:X?1554cosα
例题6 已知 ，求cos,tan的值 5 3 sin = − 解： 25 16 ) 5 3 cos 1 sin 1 ( 2 2 2 = − = − − = 当 是第三象限角时， cos 0 5 4 25 16 cos = − = − 4 3 ) 5 4 ) ( 5 3 ( cos sin tan = = − − = 当 是第四象限角时， cos 0 5 4 25 16 cos = = 4 3 5 4 ) 5 3 ( cos sin tan = = − = − 例题互动 自我诊断： 4 3 cos sin tan 5 4 cos 1 sin 5 3 sin 2 = = = − = = − 得 得 解：由 如何应用同角三角函数的基本关系解决三角函数的求值及恒等证明等问题 sin 0且sin −1 由sin 2 +cos2 =1得
讨论交流：l、公式sin2α+cos2α=1特点_sin2α=l-cos? α常用于正弦、余弦函数移项变形：2cos? α=l-sin?α的相互转化，相互求解。注：在开方时，由角α 所在的象限来确定开方后的符号。V1-cos?α，当α在一、二象限时sin α =-V1-cos?α，当α在三、四象限时即V1-sin?α，当α是一、四象限时cOSα =V1-sin?α，当α是二、三象限时
讨论交流： 1、公式sin2 + cos2 =1特点 移项变形： 2 2 2 2 sin 1 cos cos 1 sin { = − = − 常用于正弦、余弦函数 的相互转化，相互求解。 注： 在开方时，由角 所在的象限来确定开方后的符号。 即 ，当 在一、二象限时 ，当 在三、四象限时 2 2 1 cos 1 cos sin { − − − = 当 是一、四象限时 ，当 是二、三象限时 1 sin , 1 sin 2 { 2 cos − − − =
sinQ= tan α的特点2、公式coS α变形：sinαcoSα=由正弦正切，求余弦tanα由余弦正切，求正弦sinα = cosα·tanasin α由正弦余弦，求正切=tanαCOSa注：所得三角函数值的符号是由另外两个三角函数值的符号确定的
、公式 的特点 tan cos sin 2 = 变形： tan sin cos = 由正弦正切，求余弦 sin = cos tan 由余弦正切，求正弦 tan cos sin 由正弦余弦，求正切 = 注： 所得三角函数值的符号是由另外两个三角 函数值的符号确定的