函数模型的应用4.5.3E
4.5.3 函数模型的应用
函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来刻画，面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画呢？我们学过的基本初等函数有一次函数，二次函数,反比例函数.指数函数,对数函数以及幂函数.它们都与现实世界有着紧密的联系，有着广泛的应用
函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同 的变化规律需要不同的函数模型来刻画，面临一个 实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画呢？ 我们学过的基本初等函数有一次函数,二次函 数,反比例函数,指数函数,对数函数以及幂函数.它们 都与现实世界有着紧密的联系,有着广泛的应用
例人口问题是当今世界各国普遍关注的问题认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766~1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：y=yoert其中表示经过的时间，J.表示一0时的人口数，r表示人口的年平均增长率(1）根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万.根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950~1959年期间的具体人口增长模型分析：用马尔萨斯人口增长模型建立具体人口增长模型，就是要确定其中的初始量V和平均增长率r
例 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变 化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经 济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766~1834)就提出了自然状态下的 人口增长模型： = 0 rt y y e 其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率. (1) 根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数 分别为55 196万和67 207万.根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立 我国在1950~1959年期间的具体人口增长模型. 分析：用马尔萨斯人口增长模型建立具体人口增长模型，就是要确 定其中的初始量y0和平均增长率r
解：（1）由题意知yo=55196，设1950~1959年期间我国人口的年平均增长率为r，根据马尔萨斯人口增长模型，有67207= 55196e9r由计算工具得r~0.021876因此我国在1950~1959年期间的人口增长模型为y = 55196e0.021876, t [0,9]
解： (1) 由题意知y0=55 196，设1950~1959年期间我国人口的年平均 增长率为r，根据马尔萨斯人口增长模型，有 9 67207 55196 = r e 由计算工具得 r 0.021876 因此我国在1950~1959年期间的人口增长模型为 0.021876 y e t = 55196 0,9 t
（2）利用（1)中的模型计算1951~1958年各年末的人口总数，查阅国家统计局网站公布的我国在1951~1958年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符解：(2）分别取-1，2，，8，由y=55196e0.021876t可得我国在1951~1958年间的各年末人口总数：查阅国家统计局网站，得到我国1951~1958年各年末的实际人口总数，如下表所示y75000年份1951195219531954195519561957195870000计算所得人65 000564175766558940602436157662938643306575360000口总数万5500050000实际人数总56300574825879660 26661456628286456365994数/万根据1950~1959年我国人口总数的实际数据画出散点图，并画出函数y =55196e0021876t, t e[0,9] 的图象由上表和上图可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合
(2) 利用(1)中的模型计算1951~1958年各年末的人口总数，查阅国家统计局网站公布 的我国在1951~1958年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否 相符. 解：(2) 分别取t=1，2，···，8，由 可得我国在1951~1958年间的各年末人口 总数；查阅国家统计局网站，得到我国1951~1958年各年末的实际人口总数，如下表所示. 0.021876 = 55196 t y e 年份 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 计算所得人 口总数/万 56 417 57 665 58 940 60 243 61 576 62 938 64 330 65 753 实际人数总 数／万 56 300 57 482 58 796 60 266 61 456 62 828 64 563 65 994 根据1950~1959年我国人口总数的实际数据画出散点图，并画出函数 0.021876 y e t = 55196 0,9 t ， 的图象 由上表和上图可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合
（3）以（1）中的模型作预测，大约在什么时候我国的人口总数达到13亿？解： (3) 将题意知y=130 000, 代入： y = 55196e0.021876t,由计算工具得：t～39.15所以，如果人口按照(1)中的模型增长，那么大约在1950年后的第40年（即1990年），我国的人口就已达到13亿
(3) 以(1)中的模型作预测，大约在什么时候我国的人口总数达到13亿？ 解： (3) 将题意知y=130 000，代入： 0.021876 y e = 55196 t ， 由计算工具得： t 39.15 所以，如果人口按照(1)中的模型增长，那么大约在1950年后的 第40年(即1990年)，我国的人口就已达到13亿
总结：1、本题是应用已知的模型，解决实际问题2、在用已知的函数模型刻画实际问题时，应注意模型的使用条件上面涉及的实际问题，是应用已知的函数模型解决，接下来是根据问题的条件自己建立函数模型解决
1、本题是应用已知的模型，解决实际问题. 2、在用已知的函数模型刻画实际问题时，应注 意模型的使用条件. 总结： 上面涉及的实际问题，是应用已知的函数模型解 决，接下来是根据问题的条件自己建立函数模型解决
例5、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案呢？想一想：1.考虑回报量，除了要考虑每天的回报量之外,还得考虑什么？回报的累积值
例5、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方 案供你选择，这三种方案的回报如下： 回报的累积值 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多 回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前 一天翻一番。 请问，你会选择哪种投资方案呢？ 1.考虑回报量,除了要考虑每天的回报量之 外,还得考虑什么? 想一想： 方案一：每天回报40元；
思考下面的问题①例4涉及哪些数量关系？投资天数回报金额②如何用函数描述这些数量关系？③三个函数模型的增减性如何？④要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析，如何分析？每天的回报数、增加量、累计回报数
①例4涉及哪些数量关系？ ②如何用函数描述这些数量关系？ 思考下面的问题： 投资天数 回报金额 ③三个函数模型的增减性如何？ ④要对三个方案作出选择，就要对它们的增长 情况进行分析，如何分析？ 每天的回报数、增加量、累计回报数
思考：2.本题中及哪些数量关系?如何利用函数描述这些数量关系？设第x天所得回报是y元，则方案一可用函数y=40(xEN*)进行描述;方案二可以用函数y=10x(xEN*)进行描述;方案三可以用函数y= 0.4×2x-I(x E N*)进行描述。3.怎样去研究这三个函数，才能找到最佳的方案呢？要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析，用计算器计算出三种方案所得回报的增长情况,列表如下：
思考： 2.本题中涉及哪些数量关系?如何利用函数描述这些 数量关系? 设第x天所得回报是y元,则方案一可用函数 y=40(x∈N*)进行描述;方案二可以用函数 y=10x(x∈N*)进行描述;方案三可以用函数 进行描述。 1 0.4 2 ( *) x y x N − = 3.怎样去研究这三个函数,才能找到最佳的方案呢? 要对三个方案作出选择,就要对它们的增长情况进 行分析,用计算器计算出三种方案所得回报的增长 情况,列表如下：