空间向量的基本定理
空间向量的基本定理
复习回顾；1．我们把具有大小和方向_的量叫做空间向量，2．什么是零向量？什么是相反向量？什么是相等向量？一、结合律3．空间向量加法满足交换律4：你还记得平面向量的数乘运算及共线向量定理吗？5．平面向量基本定理的内容是什么？在空间中有类似的定理吗？
1．我们把具有 和 的量叫做空间向量． 2．什么是零向量？什么是相反向量？什么是相等向量？ 3．空间向量加法满足 、 ． 4．你还记得平面向量的数乘运算及共线向量定理吗？ 5. 平面向量基本定理的内容是什么？在空间中有类似的 定理吗？ 大小 方向 交换律 结合律
复习回顾1.共线向量与共面向量共面向量共线(平行)向量表示空间向量的有向线段所在互相平行或重合，则的直线定平行于同一平面的向量叫做共面向量共线向最义这些向量叫做平行向量充要条件对于空间任意两个向量a，b若两个向量a，6不共线，则向量p与a(b+0)，a//b的充要条件是6共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，j)，使_p=xa+yb存在实数^使a=入b
1．共线向量与共面向量 共线(平行)向量 共面向量 定 义 表示空间向量的有向线段所在 的直线 ，则 这些向量叫做 或 平行向量 平行于 的向量叫做共面向量 充 要 条 件 互相平行或重合 共线向量 同一平面 𝑎 Ԧ=λ𝑏 𝑝 Ԧ ＝x𝑎 Ԧ＋y𝑏
复习回顾共线（平行）向量共面向量如图，空间一点P位于平面MAB内的充如果1为经过点A平行于已知非零向量要条件是存在有序实数对(x，y)：的直线，那么对于空间任一点O，点P使MP=xMA+yMB对空间任意一在直线1上的充要条件是存在实数t，点0来说，有使oP=oA+ta，其中a叫做直线的方向向量，如图所示.推论MA、B、P三点共线OP = xOA+ yOB(且x + y=1)M、A、B、C四点共面-OP = xOA + yOB +zOM(x + y + z=1)
共线(平行)向量 共面向量 推 论 如图，空间一点P位于平面MAB内的充 要条件是存在有序实数对(x，y)， 使 或对空间任意一 点O来说，有 方向向量 A、B、P三点共线 ⇔𝑂𝑃 = 𝑥𝑂𝐴 + 𝑦𝑂𝐵 (且x + y=1) 𝑂𝑃 = 𝑂𝐴 + 𝑡𝑎 Ԧ 𝑀𝑃 = 𝑥𝑀𝐴 + 𝑦𝑀𝐵 M、A、B、C四点共面 ⇔𝑂𝑃 = 𝑥𝑂𝐴 + 𝑦𝑂𝐵 + 𝑧𝑂𝑀 (x + y + z=1)
引入新知我们知道，平面内的任意一个向量P都可以用不共线的向量a,b,c来表示（平面向量基本定理），类似地，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量α.b.c来表示呢？
用任意三个不共面的向量 来表示呢？ 来表示（平面向量基本定理），类似地，任意一个空间向量能否 我们知道，平面内的任意一个向量 都可以用不共线的向量 a b c P a b c , , ,
小组讨论如图所示，设iik是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，那么对于任意一个空间向量P,存在唯一的有序实数组（x,y,z），使得p=xi+yi+zk?给出证明。解：设P=OP,OQ为OP在ij所确定的平面上的投影向量，则PO=OQ+QP又向量OP，k共线，因此存在唯一的实数z，使得QP=zk,而OP=OQ+zk而在i，所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x,y)，使得oQ=xi+yj从而op=oQ+zk=xi+yj+zk因此，如果i，i，k是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量P，存在唯一的有序实数组（x,y,z），使得p=xi+yj+zk我们称xiyi,zk分别为向量p在i，i,k的分向量
使得 给出证明。 有公共起点 ，那么对于任意一个空间向量 存在唯一的有序实数组（ 如图所示，设 是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段 , ? , , , ) , , p x i yj zk O P x y z i j k = + + 我们称 分别为向量 在 的分向量。 唯一的有序实数组（ ），使得 因此，如果 是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量 存在 从而 ，使得 而在 所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对 又向量 ， 共线，因此存在唯一的实数 ，使得 而 解：设 ， 为 在 所确定的平面上的投影向量，则 x i yj zk p i j k x y z p x i yj zk i j k P OP OQ zk x i yj zk x y OQ x i yj i j QP k z QP zk OP OQ zk P OP OQ OP i j P O OQ QP , , , , , , , , , ( , ) , , , = + + = + = + + = + = = + = = +
探究在空间中，如果用任意三个不共面的向量a,b,c代替向量ii,k，你能得到类似的结论吗？
你能得到类似的结论吗？ 在空间中，如果用任意三个不共面的向量a,b,c代替向量i, j, k
引入新知2.空间向量基本定理不共面定理：如果三个向量a，b，2，那么对于空间任一向量节存在有序实数组(x，y，z)，使得p=_xa+yb+zc施，如型穿间的基基底个基向圣两两虽龍叫度为1,这个基底叫单位正交基底常用(a,b,c)表示，把空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫作把空间向量进行正交分解
2．空间向量基本定理 定理：如果三个向量𝑎 Ԧ ，𝑏，𝑐 Ԧ ，那么对于空间任一向量𝑝 Ԧ ， 存在有序实数组{x，y，z}，使得𝑝 Ԧ ＝ . 其中{𝑎 Ԧ ，𝑏，𝑐 Ԧ}叫做空间的一个基底， 都叫做基向量． 不共面 x𝑎 Ԧ＋y𝑏＋z𝑐 Ԧ 𝑎 Ԧ ，𝑏，𝑐 Ԧ _. _, , , 1 垂直的向量，叫作把空间向量进行 这个基底叫 常用 表示，把空间向量分解为三个两两 特别地，如果空间的一个基底中三个基向量两两垂直，且长度都为 ， a b c 单位正交基底 正交分解
自主练习判断:(1)向量a.b.c共面，即表示这三个向量的有向线段所在的直线共面．（(2)若向量er,e,不共线，则空间任意向量a,都有a=入ei+μe2(Λ,HER)：（)()(3)若a//b，则存在唯一的实数入，使a=入b【解析】（1)错误.若向量a,b,c共面,则表示这三个向量的有向线段可以平移到同一个平面内，它们所在的直线平行、相交、异面都有可能(2)错误.当向量a,er,e,共面时，才有a-入e,+μe,^，μER).3）错误，当b=0，a≠0时，不存在实数入，使a=入b答案: (1) ×(2) ×(3)×
自主练习 判断: (1)向量a,b,c共面,即表示这三个向量的有向线段所在的直线 共面.( ) (2)若向量e1 ,e2不共线,则空间任意向量a,都有a=λe1 +μe2 (λ,μ∈R) . ( ) (3)若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb. ( ) 【解析】(1)错误.若向量a,b,c共面,则表示这三个向量的有向线段可以平 移到同一个平面内,它们所在的直线平行、相交、异面都有可能. (2)错误.当向量a,e1 ,e2共面时,才有a=λe1 +μe2λ,μ∈R). 3)错误.当b=0,a≠0时,不存在实数λ,使a=λb. 答案:(1)× (2)× (3)×
2.对于空间的任意三个向量a，b.2a一b，它们一定是A.共面向量B.共线向量C.不共面向量D.既不共线也不共面的向量解析：2a-b=2:a+(-1)b,.2a一b与a，b共面
2.对于空间的任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是 A.共面向量 B.共线向量 C.不共面向量 D.既不共线也不共面的向量 解析 ∵2a－b＝2·a＋(－1)·b， ∴2a－b与a，b共面