第1课时空间向量的线性运算
第
重难点：1.会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律2.能运用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何问题
重难点：1.会用图形说明空间向量加法、减法、数 乘向量及它们的运算律. 2.能运用空间向量的运算意义及运算律解 决简单的立体几何问题
与平面向量一样：一、空间向量的概念(1)向量：在空间中,具大小和方向的量.(2)向量a的长度或模：表示向量a的有向线段的长度，记作al（3）零向量：长度为0的向量。（手写记作单位向量：长度为1的向量。（4)相等向量：在空间，方向相同且模相等的向量。的向量。（5）相反向量：长度相等，方向相反(6)共线向量或平行向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合。规定：零向量与任意向量共线做一做1、正方体ABCD-AB'CD中与向量相等的向量有3
与平面向量一样： 一、空间向量的概念 (1)向量:在空间中,具_和_的量. (2)向量a的长度或模:表示向量a的有向线段的长度,记作|a|. （3）零向量：长度为_的向量。（手写记作 ） 单位向量：长度为_的向量。 （4)相等向量：在空间，方向相同且模相等的向量。 （5）相反向量：长度_方向_的向量。 (6)共线向量或平行向量:如果表示若干空间向量的有向线段所在 的直线互相平行或重合。 规定:零向量与任意向量共线. 0 大小 方向 做一做1、正方体ABCD - A'B'C'D'中与向量相等的向量有_ 1 相等 相反 0 3
已知空间向量a,b，以任意点o为起点，作向量OA=a.OB=b，我们就可以把他们平移到同一平面α，这样任意的两个空间向量的运算就可以转化为平面向量运算。由此，我们把平面向量的运算推广到空间，定义空间向量的加减法以及数乘运算：B(1) α+b=OA+AB= OBb(2)α-b=OA-OC=_CA(3)当α> 0时， 2a= OA= PgQMAAa(a>0)入a(2<0)当<0时，α=OA= MNN当=0时，a=
已知空间向量 ，以任意点O为起点 ，作向量 ，我 们就可以把他们平移到同一平面 ，这样任意的两个空间向量的运算就可以 转化为平面向量运算。由此，我们把平面向量的运算推广到空间，定义空间 向量的加减法以及数乘运算： a,b OA = a,OB = b 0 _ 0 _ (3) 0 _ (2) _ 1 _ = = = = = = − = − = + = + = a a OA a OA a b OA OC a b OA AB 当 时， 当 时， 当 时， （） OBCAMNPQ 0
【做一做1】如图所示.在正方体ABCD-AiBiCDi中，下列各式中运算的结果为AC的共有(0解析:O(AB + BC)+CC =AC +CC, = ACiD,C2(AA1 +AD)+DG = AD) +DC = AC)B③(AB + BB) + BC = AB; + B,C = AC;@(AA; + A;B,) + B,C, = AB; + B,C; = AC, 故选DB①(AB + BC) +CCi;?(AAi + A,D) + DiCi;(AB + BB) +BiCi;④(AA1+AiB1)+ BiCiA.1个B.2个C.3个D.4个
【做一做 1】 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中 运算的结果 为 1 的共有( ) ①( ) 1 ; ( 1 1 1 ) 1 1 ; ( 1 ) 1 1 ; ( 1 1 1 ) 1 1 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析:①( + ) + 1 = + 1 = 1 ; ②( 1 + 1 1 ) + 1 1 = 1 + 1 1 = 1 ; ③( + 1 ) + 1 1 = 1 + 1 1 = 1 ; ④( 1 + 1 1 ) + 1 1 = 1 + 1 1 = 1 ,故选 D
题型向量的加法、减法运算【例1】如图，已知长方体ABCD-A'B'C'D'化简下列向量表达式并在图中画出化简结果的向量D'DB(1)AA - CB;(2)AA + AB + B'C(3)AA+A'Bi+B'C+CA
题型一 向量的加法、减法运算 【例1】 如图,已知长方体ABCD-A'B'C'D',化简下列向量表达式, 并在图中画出化简结果的向量. (1) ' − ; (2) ' + + ' ' . (3) ' + ' ' + ' ' + '
解:(I)AA - CB = AA - DA = AA + AD = AD(2)AA + AB + B'C = (AA +AB) + BC= AB + B'C = AC.(3)AA +AB =AB,AB +B'C =AC,AC +CA=0故AA+AB+BC+CA=0向量ADAC如图所示.D'B
解:(1) ' − = ' − = ' + = ' . (2) ' + + ' ' = ( ' + ) + ' ' = ' + ' ' = ' . (3) ' + ' ' = ' , ' + ' ' = ' , ' + ' =0. 故 ' + ' ' + ' ' + ' =0. 向量 ' , ' 如图所示
【变式训练1】如图所示.已知平行六面体ABCD-AB'C'D'点M是棱AA的中点点G在对角线A'C上有CG：GA=2：1,设CD=a,CB=b,CC=c.试用向量a,bc表示向量CACA,CM,CGDMH解:CA = CB + CD =a+b.CA=CA+CC=a+b+c.CM = CA + AM = CB + CD + ICC =a+b+2CG = 2CA = 2(a+b+c)
【变式训练 1】 如图所示,已知平行六面体 ABCD-A'B'C'D',点 M是棱 AA'的中点,点 G 在对角线 A'C 上,有 CG∶GA'=2∶ 1,设 a, b, ' c.试用向量 a,b,c 表示向量 , ' , , 解: = + =a+b. ' = + ' =a+b+c. = + = + + 1 2 ' =a+b+ 1 2 𝐜. = 2 3 ' = 2 3 (a+b+c)
反思运用法则进行向量的线性运算时要注意关键的要素：(1)向量加法的三角形法则：“首尾相接，指向终点”(2)向量减法的三角形法则：“起点重合，指向被减向量"(3)平行四边形法则：“起点重合”（4)多边形法则：“首尾相接，指向终点
反思运用法则进行向量的线性运算时要注意关键的要素: (1)向量加法的三角形法则:“首尾相接,指向终点”; (2)向量减法的三角形法则:“起点重合,指向被减向量”; (3)平行四边形法则:“起点重合”; (4)多边形法则:“首尾相接,指向终点
运算律与平面向量一样，空间向量的线性运算满足以下运算律（(aERuER）(1)结合律(a+b)+c=a+(b+c)(2)交换律a+b=b+a(3）分配律a(a+b)=2a+ab(a+u)a=2a+ua(aER,uER);说明：空间向量的加法、减法运算满足平行四边形法则或三角形法则.并且空间向量的加法满足交换律和结合律【做一做2】化简2AB+2BC+3CD+3DA+AC解析:2AB+2BC+3CD+3DA+AC=2AB+2BC+2CD+2DA+CD+DA+AC=0答案:0
运算律 与平面向量一样，空间向量的线性运算满足以下运算律（(λ∈R,μ∈R): (1)结合律 (a+b)+c=a+(b+c); (2)交换律 a+b=b+a. （3）分配律 λ(a+b)=λa+λb,(λ+μ)a=λa+μa(λ∈R,μ∈R); 说明:空间向量的加法、减法运算满足平行四边形法则或三角形法则,并且空间 向量的加法满足交换律和结合律. 【做一做 2】 化简 2 2 3 3 解析:2 + 2 + 3 + 3 + = 2 + 2 + 2 + 2 + + + =0. 答案:0