1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
创设情境牌楼与牌坊类似是中国传统建筑之一，最早见于周朝.在园林、寺观、宫死、陵墓和街道常有建造旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃等几种多设于要道口.牌楼中有一种柱门形结构，一般较高大.如图，牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直我们就能知道下边线与地面平行.这是为什么呢？
牌楼,与牌坊类似,是中国传统建筑之一,最早见于周朝.在园林、寺 观、宫苑、陵墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、 砖木、琉璃等几种,多设于要道口.牌楼中有一种柱门形结构,一般 较高大.如图,牌楼的柱子与地面是垂直的,如果牌楼上部的下边线 与柱子垂直,我们就能知道下边线与地面平行.这是为什么呢?
新课引入1.点的位置向量思考1：女如何用向量表示空间中的一点?在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量OP来表示我们把向量OP称为点P的位置向量
思考1：如何用向量表示空间中的一点？ 可以用向量 来表示我们把向量 称为点 的位置向量。 在空间中，我们取一定点 作为基点，那么空间中任意一点 就 OP OP P O P . 1.点的位置向量
2、空间直线的向量表示式思考2:我们知道，空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定直线1,如何用向量表示直线？方向向量：把与向量α平行的非零向量称为直线的方向向量。如图，a是直线的方向向量，在直线l上取AB，=a.设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线1上的充要条件是存在实娄t，使得AP=ta,即AP=tAB如图②，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线的充要条件是存在实数t，使得OP=OA+tn①将AB=a代入上式，得OP=OA+tAB2（1式和②式都称为空间直线的向量的表达式。图图②
思考2:我们知道，空间中给定一个点A和一个方 向就能唯一确定直线 ,如何用向量表示直线？ 2、空间直线的向量表示式 l 方向向量：把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量。 ①式和②式都称为空间直线的向量的表达式。 将 代入上式，得 ② 存在实数 ，使得 ① 如图②，取定空间中的任意一点 ，可以得到点 在直线 的充要条件是 ，使得 即 意一点，由向量共线的条件可知，点 在直线 上的充要条件是存在实数 如图①， 是直线 的方向向量，在直线 上取 ， 设 是直线 上的任 A B a OP OA t A B t OP OA tn O P l t A P ta A P t A B P l a l l A B a P l = = + = + = = = ,
3、空间平面的向量表达式问题1：由前面所学，如何确定一个平面？思考3：一定点和两个定方向能否确定一个定平面？一个定点和一个定方向能否确定一个定平面?能解：设两条直线相交于点O，它们的方向向量为a,b,P为平面内任意一点，由平面向量的基本定理可知，存在唯一的有序实数对（x,y)，使得OP=xa+yb,这样点O与向量a.b可以确定平面α
3、空间平面的向量表达式 思考3：一定点和两个定方向能否确定一个定平面？一个定点和 一个定方向能否确定一个定平面？ 问题1：由前面所学，如何确定一个平面？ 这样点 与向量 可以确定平面 ， 实数对（ ，使得 ， 内任意一点，由平面向量的基本定理可知，存在唯一的有序 解：设两条直线相交于点 ，它们的方向向量为 为平面 O a b x y OP xa yb O a b P , , ) , , = + 能
思考4：如何用向量表示这个平面？取定空间内任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,，使OP=OA+xAB+yAC,我们把此式称为空间平面ABC的向量表达式。注：空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定
思考4：如何用向量表示这个平面？ 空间平面 的向量表达式。 充要条件是存在实数 ，使 我们把此式称为 取定空间内任意一点 ，可以得到，空间一点 位于平面 内的 ABC x y OP OA xAB yAC O P ABC , = + + , 注：空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一 确定
4、平面的法向量法向量：直线lα.取直线的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量。注：给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合Pa·AP=0
4、平面的法向量 法向量。 法向量：直线l 取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面的 ⊥ , P a AP = 0 A a A a 平面完全确定，可以表示为集合 注：给定一个点 和一个向量 ，那么过点 ，且以向量 为法向量的
问题2：如果另有一条直线mα.在直线m上任取向量bb和a有什么关系？共线因此，平面的法向量有无数条
和 有什么关系？ 问题 ：如果另有一条直线 在直线 上任取向量 b a 2 m ⊥, m b, 共线 因此，平面的法向量有无数条
自主检测1、判断下列命题是否正确。（1）零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量：若是直线的方向向量，则(ER)也是直线的方向向量：2）(3）在空间直角坐标系中，i=（0,0,1）是平面Oxy的一个法向量；(1)v(2) X(3) v
自主检测 （ ）在空间直角坐标系中， （ ）是平面 的一个法向量； （ ）若 是直线 的方向向量，则 也是直线 的方向向量； （）零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量； 、判断下列命题是否正确。 j Oxy v l v R l 3 0,0,1 2 ( ) 1 1 = （1）√ （2）× （3）√
2.平面α内一条直线l的方向向量为a=(2,3，一1)，平面α的法向量为 n=(一1,1， m)，则 m=[解析]易知an=0，即一2十3一m=0，解得m=1
2．平面 α 内一条直线 l 的方向向量为 a＝(2,3，－1)，平面 α 的 法向量为 n＝(－1,1，m)，则 m＝ _. [解析] 易知 a·n＝0，即－2＋3－m＝0，解得 m＝1