第三章导数及其应用第一节导数的概念及运算[备考领航]核心素养课程标准解读关联考点1.通过对实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵，1.导数的运1.数学运算，2.通过函数图象直观地理解导数的几何意义算.2.导数的几何3.能根据导数定义，求函数y=c，y=x，y=x2，y=一的2.数学抽象意义导数，会使用导数公式表4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数知识逐点夯实重点准点清结论要牢记课前自修[重点准·逐点清]重点一导数的基本概念Ay1. 函数 y=(x)在x=x0 处的导数：函数 y=(x)在x=xb处的瞬时变化率[im 岁=lm+-为函数=i)在×= 处的导数，记作『(m)或Arxo+A)(x))x=x0，即(xo)=m=！=lim1Ax[提醒】"(xo)代表函数(x)在x=xo处的导数值；(f(xo)”是函数值f(xo)的导数，而函数值f(xo)是一个常量，其导数一定为0，即(f(xo))=0.2．导数的几何意义函数(x)在点xo处的导数"(xo)的几何意义是在曲线y=f(x)上点P(x0，m)处的切线的第1页共91页
第 1 页 共 91 页 第三章 导数及其应用 第一节 导数的概念及运算 [备考领航] 课程标准解读 关联考点 核心素养 1.通过对实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变 化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化 率就是导数，体会导数的思想及其内涵． 2.通过函数图象直观地理解导数的几何意义． 3.能根据导数定义，求函数 y＝c，y＝x，y＝x 2，y＝ 1 x 的 导数，会使用导数公式表． 4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则 运算法则求简单函数的导数 1.导数的运 算． 2.导数的几何 意义 1.数学运算． 2.数学抽象 [重点准·逐点清] 重点一 导数的基本概念 1．函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数：函数 y＝f(x)在 x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0 Δy Δx ＝ limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx 为函数 y ＝ f(x) 在 x ＝ x0 处的导数，记作 f′(x0) 或 y′ x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0 Δy Δx ＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx .)) [提醒] f′(x0)代表函数 f(x)在 x＝x0 处的导数值；(f(x0))′是函数值 f(x0)的导数，而函 数值 f(x0)是一个常量，其导数一定为 0，即(f(x0))′＝0. 2．导数的几何意义 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y＝f(x)上点 P(x0，y0)处的切线的
斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数）.相应地，切线方程为y二yo=f（xo)(x-x0)[提醒］求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者。3.函数(x)的导函数(x+A)-)为(x)的导函数，称函数了 (x)=-Ax[逐点清]1.(2020·全国您I)函数f(x)=x一2x的图象在点(1，(1))处的切线方程为(（)A. y=-2x-1B. y=-2x+1C.y=2x-3D. y=2x+1解析：选B法—：(x)=x4-2x，F()=4x3-6x2，F(1)=-2,又f(1)=1-2=-1，：所求的切线方程为y+1=-2(x-1)，即y=-2x+1.故选B.法二：(x)=x4-2x3，F(x)=4x3-6x2,(1)=-2，切线的斜率为-2，排除CD.又f(1)=1-2=-1，：切线过点(1，-1)，排除A.故选B.2.(选修2-2第10页A组2题改编)在高台跳水运动中，Is时运动员相对于水面的高度（单位：m)是h(t)=一4.9t十6.5t+10，则运动员的速度=_m/s，加速度a=m/s2.解析：0=h)=-9.8t+6.5,a=v(t)=-9.8答案：—9.8t+6.5—9.83.(错题)函数(x)=x2在区间[1,2]上的平均变化率为，在x=2处的导数为22-12解析：函数f(x)=x2在区间[1,2]上的平均变化率为=3.因为f(x)=2x，所以f网)2-在x=2处的导数为2×2=4.答案：34重点二导数公式及运算法则1.几种常见函数的导数(1)(O)"=0(C为常数);(2)(x")"=nx"二(nEQ);(3)(sinx)"=cosx;(4)(cosx)"=二血; (5(e) =;(n) =lna(0, *) ()(n) -+ (8)(og,) =-(c0,第2页共91页
第 2 页 共 91 页 斜率(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数)．相应地，切线方程为 y－y0＝f′(x0)(x－ x0)． [提醒] 求曲线切线时，要分清在点 P 处的切线与过点 P 的切线的区别，前者只有一 条，而后者包括了前者． 3．函数 f(x)的导函数 称函数 f′(x)＝limΔx→0 f(x＋Δx)－f(x) Δ x 为 f(x)的导函数． [逐点清] 1．(2020·全国卷Ⅰ)函数 f(x)＝x 4－2x 3 的图象在点(1，f(1))处的切线方程为( ) A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1 C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1 解析：选 B 法一：∵f(x)＝x 4－2x 3，∴f′(x)＝4x 3－6x 2，∴f′(1)＝－2，又 f(1)＝1－2 ＝－1，∴所求的切线方程为 y＋1＝－2(x－1)，即 y＝－2x＋1.故选 B. 法二：∵f(x)＝x 4－2x 3，∴f′(x)＝4x 3－6x 2，f′(1)＝－2，∴切线的斜率为－2，排除 C、 D.又 f(1)＝1－2＝－1，∴切线过点(1，－1)，排除 A．故选 B. 2．(选修 2－2 第 10 页 A 组 2 题改编)在高台跳水运动中，ts 时运动员相对于水面的高 度(单位：m)是 h(t)＝－4.9t 2＋6.5t＋10，则运动员的速度 v＝ m/s，加速度 a＝ m/s 2 . 解析：v＝h′(t)＝－9.8t＋6.5，a＝v′(t)＝－9.8. 答案：－9.8t＋6.5 －9.8 3．(易错题)函数 f(x)＝x 2 在区间[1,2]上的平均变化率为 ，在 x＝2 处的导数 为 ． 解析：函数 f(x)＝x 2 在区间[1,2]上的平均变化率为 2 2－1 2 2－1 ＝3.因为 f′(x)＝2x，所以 f(x) 在 x＝2 处的导数为 2×2＝4. 答案：3 4 重点二 导数公式及运算法则 1．几种常见函数的导数 (1)(C)′＝0(C 为常数)；(2)(x n )′＝nxn－1 (n∈Q* )；(3)(sin x)′＝cos x；(4)(cos x)′＝－ sin x；(5)(ex )′＝e x；(6)(a x )′＝a x ln a(a>0，a≠1)；(7)(ln x)′＝ 1 x ；(8)(logax)′＝ 1 xln a (a>0
a±1).2.导数的四则运算法则(1)[u(x)+v(x)]" =u (x)±0" (x);(2)[u(x)v(x)]=u*(x)0(x)+u(x)0(x);[u(]_u' ()-u(0 ()(0(x)±0)(3)元][u(x)]?3.复合函数的导数复合函数y=f(g(x)的导数和函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为yr=yuu即对x的导数等于对u的导数与u对x的导数的乘积[逐点清]4.（易错题）下列求导运算正确的是（）A=xB. (x'e)' =2x+erD. ()=1+1C. (xcosx)' =-sinx==解析：选D对于A:(对于 B : (xe)~ =(x2 + 2x)e*.对于C：(xcosx)=cosx-xsinx=1+1对于D4-2则a=5. (2020·金国意M)设函数)=-,若} (1)-4e'(x+a) - erea，解得a=1解析：由于F(x)=，故(1)=(x+a)2(1+a)24答案：1【记结论·提速度][记结论]1。奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数。周期函数的导数还是周期函数。2.函数yfx)的导数f()反映了函数x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小/（x)反映了变化的快慢，IF(x)越大，曲线在这点处的切线越“陡”[提速度]1：已知函数x)的图象如图，f(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是(第3页共91页
第 3 页 共 91 页 a≠1)． 2．导数的四则运算法则 (1)[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)； (2)[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)； (3) u(x) v(x) ′＝ u′(x)v(x)－u(x)v′(x) [v(x)] 2 (v(x)≠0)． 3．复合函数的导数 复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 yx′＝yu′·ux′， 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积． [逐点清] 4．(易错题)下列求导运算正确的是( ) A． 1 ln x ′＝x B．(x 2 e x )′＝2x＋e x C．(xcos x)′＝－sin x D． x－ 1 x ′＝1＋ 1 x 2 解析：选 D 对于 A： 1 ln x ′＝－ 1 ln2x ·(ln x)′＝－ 1 xln2x . 对于 B：(x 2 e x )′＝(x 2＋2x)ex . 对于 C：(xcos x)′＝cos x－xsin x. 对于 D： x－ 1 x ′＝1＋ 1 x 2 . 5．(2020·全国卷Ⅲ)设函数 f(x)＝ e x x＋a .若 f′(1)＝ e 4 ，则 a＝ . 解析：由于 f′(x)＝ e x (x＋a)－e x (x＋a) 2 ，故 f′(1)＝ ea (1＋a) 2＝ e 4 ，解得 a＝1. 答案：1 [记结论·提速度] [记结论] 1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数． 2．函数 y＝f(x)的导数 f′(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的 方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． [提速度] 1．已知函数 f(x)的图象如图，f′(x)是 f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是( )
A. 0<f (2)<f (3)<f(3)-(2)B. 0<f (3)<f (2)<(3)-(2)C. 0<f (3)<f(3)-f(2)<f (2)D. 0<f(3)-f(2)<f (2)<f (3)(3) - (2),表示过点(2J(2)),(3(3)连线的斜率(2)，解析：选C(3）-(2)可写为3-2F(3)分别表示曲线(x)在点(2J(2))，(3，J(3)处切线的斜率，设过点(2,(2)，(3,(3)的直线为m，曲线在点(2，(2)），(3，J(3)处的切线分别为l，n，画出它们的图象，如图，013由图可知0<k<km<k，故0< (3)<(3) -(2)<F (2) .2.若函数x)=ax4十bx2十c满足F(1)=2，则F（一1)=解析：(g)=4ax3+2bx"(x)为奇函数，又F(1)=2，.f (-1)= -f (1)= - 2.答案：-2考点分类突破理解透规律明变化究其本课堂讲练考点—导数的运算[基础自学过关][题组练透]1.函数y=xcosx一sinx的导数为(A. xsinxB. -xsinxC.xcosxD.-xcosx解析：选By=x'cosx+x(cosx)'-(sinx)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.第4页共91页
第 4 页 共 91 页 A．0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)－f(2) B．0＜f′(3)＜f′(2)＜f(3)－f(2) C．0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2) D．0＜f(3)－f(2)＜f′(2)＜f′(3) 解析：选 C f(3)－f(2)可写为 f(3)－f(2) 3－2 ，表示过点(2，f(2))，(3，f(3))连线的斜率，f′(2)， f′(3)分别表示曲线 f(x)在点(2，f(2))，(3，f(3))处切线的斜率，设过点(2，f(2))，(3，f(3))的 直线为 m，曲线在点(2，f(2))，(3，f(3))处的切线分别为 l，n，画出它们的图象，如图， 由图可知 0＜kn＜km＜kl， 故 0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)． 2．若函数 f(x)＝ax4＋bx2＋c 满足 f′(1)＝2，则 f′(－1)＝ . 解析：∵f′(x)＝4ax3＋2bx∴f′(x)为奇函数，又∵f′(1)＝2， ∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2. 答案：－2 导数的运算 [基础自学过关] [题组练透] 1．函数 y＝xcos x－sin x 的导数为( ) A．xsin x B．－xsin x C．xcos x D．－xcos x 解析：选 B y′＝x′cos x＋x(cos x)′－(sin x)′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x
2.J(x)=x(2021+lnx)，若"(xo)=2022，则xo等于(A. e?B. 1C.In2D. e=2022+nx，又f(xo)=2022，得2022+lm解析：选Bf(x)=2021+nx+xxXo=2022，则1nxo=0，解得xo=1.3.(2021-广州市阶段训练)已知函数 f(x)的导函数为F(x)，记fi(x)= (x)，2(g)=F i(x), , fn+1(x)=fn(x)(nEN), 若 (x)=xsin x, 则 f2019(g)+f2021(x)=(A.-2cosxB.-2sinxC.2cosxD.2sinx解析：选D由题意，f(x)=xsinx,fi(x)=f(x)=sinx+xcosxfa(x)=f"1(x)=cosx+ cosx -xsin x=2cosx-xsinx,f(x)=f 2()= -3sinx -xcosx,f(x)=f' 3(g)= - 4cosx+xsinx,fs(x)=f4(x)=5sinx+xcosx，，据此可知f2019(x)=-2019sinx-xcosx，f021(x)=2021sinx+xcosx，所以f2019(x)+f2021(g)=2sinx，故选D.4.求下列函数的导数，1(1)y=Inx+fx:cos(2)y=erx+2x-xlnx-1(3)f(x)=x2(nx+) =(nx)" +(解：(1)yrr(cos x)' et - cos x(e)'(2)yl(e)sin x+ cos xe+2.1(3)由已知(x)=x-lnx+xx2所以 ()=1.1.2+23x-x-2x+2x[练后悟通]第5页共91页
第 5 页 共 91 页 2．f(x)＝x(2 021＋ln x)，若 f′(x0)＝2 022，则 x0 等于( ) A．e 2 B．1 C．ln 2 D．e 解析：选 B f′(x)＝2 021＋ln x＋x× 1 x ＝2 022＋ln x，又 f′(x0)＝2 022，得 2 022＋ln x0＝2 022，则 ln x0＝0，解得 x0＝1. 3．(2021·广州市阶段训练)已知函数 f(x)的导函数为 f′(x)，记 f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝ f′1(x)，.，fn＋1(x)＝f′n(x)(n∈N* )，若 f(x)＝xsin x，则 f2 019(x)＋f2 021(x)＝( ) A．－2cos x B．－2sin x C．2cos x D．2sin x 解析：选 D 由题意，f(x)＝xsin x，f1(x)＝f′(x)＝sin x＋xcos x，f2(x)＝f′1(x)＝cos x ＋cos x－xsin x＝2cos x－xsin x，f3(x)＝f′2(x)＝－3sin x－xcos x，f4(x)＝f′3(x)＝－4cos x ＋xsin x，f5(x)＝f′4(x)＝5sin x＋xcos x，.，据此可知 f2 019(x)＝－2 019sin x－xcos x，f2 021(x)＝2 021sin x＋xcos x，所以 f2019(x)＋f2 021(x)＝2sin x，故选 D. 4．求下列函数的导数． (1)y＝ln x＋ 1 x ； (2)y＝ cos x e x ； (3)f(x)＝ x 3＋2x－x 2 ln x－1 x 2 . 解：(1)y′＝ ln x＋ 1 x ′＝(ln x)′＋ 1 x ′＝ 1 x － 1 x 2 . (2)y′＝ cos x e x ′＝ (cos x)′e x－cos x(e x )′ (e x ) 2 ＝－ sin x＋cos x e x . (3)由已知 f(x)＝x－ln x＋ 2 x － 1 x 2 . 所以 f′(x)＝1－ 1 x － 2 x 2＋ 2 x 3 ＝ x 3－x 2－2x＋2 x 3 . [练后悟通]
导数运算的原则和方法(1)基本原则：先化简、再求导；(2)具体方法①—连乘形式：先展开化为多项式形式，再求导根式形式：先化为分数指数霉的形式，再求导2F③复杂的分式：先将分式化筒再求导对数形式：先化为和或差的形式（注意保证定义域4（不改变），再求导③三角形式：先利用三角函数公式化简，再求导【提醒】当函数解析式中含有待定系数（例如（xo），(，b等），求导时把待定系数看成常数，再根据题意求出即可，1考点导数的几何意义[定向精析突破]考向1求曲线的切线方程为奇函数(其中e是自然对数的底[例1](1)(2021·广州术调研检测)已知(x)=数)，则曲线y=(x)在x=0处的切线方程为(2)已知函数f(x)=xlnx，若直线/过点(0，一1)，并且与曲线y=(x)相切，则直线/的方程为[解析】 (1):(x)为奇函数，(-1)+(1)=0,即e+=-1-ae=0，解得a=1,f(x)=e+).f ()=(..曲线y=f(x)在x=0处的切线的斜率为2，又(0)=0，：曲线y=f(x)在x=0处的切线的方程为2x-y=0.(2)：点(0，-1)不在曲线(x)=xlnx上，.设切点为(xo，Jo）第6页共91页
第 6 页 共 91 页 导数运算的原则和方法 (1)基本原则：先化简、再求导； (2)具体方法 [提醒] 当函数解析式中含有待定系数(例如 f′(x0)，a，b 等)，求导时把待定系数看成 常数，再根据题意求出即可． 导数的几何意义 [定向精析突破] 考向 1 求曲线的切线方程 [例 1] (1)(2021·广州市调研检测)已知 f(x)＝x e x＋ a e x 为奇函数(其中 e是自然对数的底 数)，则曲线 y＝f(x)在 x＝0 处的切线方程为 ； (2)已知函数 f(x)＝xln x，若直线 l 过点(0，－1)，并且与曲线 y＝f(x)相切，则直线 l 的 方程为 ． [解析] (1)∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＋f(1)＝0，即 e＋ a e － 1 e －ae＝0，解得 a＝1，f(x)＝ x e x＋ 1 e x ， ∴f′(x)＝ e x＋ 1 e x ＋x e x－ 1 e x ， ∴曲线 y＝f(x)在 x＝0 处的切线的斜率为 2，又 f(0)＝0， ∴曲线 y＝f(x)在 x＝0 处的切线的方程为 2x－y＝0. (2)∵点(0，－1)不在曲线 f(x)＝xln x 上， ∴设切点为(x0，y0)．
又f ()=1+Inx,直线/的方程为y+1=(1+lnxo)x[yo = xoln X ,由vo +1=(1+ In 0)xo ,解得xo=1，Jo=0：直线/的方程为y=x-1，即x-y-1=0.[答案】(1)2x-y=0(2)x-y-1=0[解题技法]求曲线切线方程的步骤(1)求出函数y=f(x)在点x=xe处的导数即曲线y=f(x)在点P(xo/(xo)处切线的斜率；(2)由点斜式方程求得切线方程为y-f(xo)=f(xo)(x-xo）[提醒】“过"与“在”：曲线y=(x)"在点P(xo，yo)处的切线"与“过点P(xo，Jo)的切线”的区别：前者P(xo，Jo)为切点，而后者P(xo，yo)不一定为切点。考向2求切点坐标[例2](2021·贵阳模拟)设函数(x)=x3+(a—1)x+ax，若f(x)为奇函数，且函数y-(x)在点P(co，f(xo))处的切线与直线x+y=0垂直，则切点P(xo，f(xo)的坐标为[解析](x)=x3 +(a -1)x2 +ax ,f (x)=3x2 + 2(a - 1)x+ a.又(x)为奇函数，(-x)=-J(x)恒成立,即-x+(a-1)x-ax=-x-(a-1)x-ax恒成立,..a=1, f (x)= 3x2 +1,3x6 +1=1, x0=0,J(xo)= 0,.切点P(xo，(xo)的坐标为(0,0).[答案］(0,0)[解题技法]第7页共91页
第 7 页 共 91 页 又∵f′(x)＝1＋ln x， ∴直线 l 的方程为 y＋1＝(1＋ln x0)x. ∴由 y0＝x0ln x0， y0＋1＝(1＋ln x0)x0， 解得 x0＝1，y0＝0. ∴直线 l 的方程为 y＝x－1， 即 x－y－1＝0. [答案] (1)2x－y＝0 (2)x－y－1＝0 [解题技法] 求曲线切线方程的步骤 (1)求出函数 y＝f(x)在点 x＝x0 处的导数，即曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处切线的斜率； (2)由点斜式方程求得切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)． [提醒] “过”与“在”：曲线 y＝f(x)“在点 P(x0，y0)处的切线”与“过点 P(x0，y0)的切线” 的区别：前者 P(x0，y0)为切点，而后者 P(x0，y0)不一定为切点． 考向 2 求切点坐标 [例 2] (2021·贵阳模拟)设函数 f(x)＝x 3＋(a－1)·x 2＋ax，若 f(x)为奇函数，且函数 y＝ f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线与直线 x＋y＝0 垂直，则切点 P(x0，f(x0))的坐标为 ． [解析] ∵f(x)＝x 3＋(a－1)x 2＋ax， ∴f′(x)＝3x 2＋2(a－1)x＋a. 又 f(x)为奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)恒成立， 即－x 3＋(a－1)x 2－ax＝－x 3－(a－1)x 2－ax 恒成立， ∴a＝1，f′(x)＝3x 2＋1,3x 2 0＋1＝1，x0＝0，f(x0)＝0， ∴切点 P(x0，f(x0))的坐标为(0,0)． [答案] (0,0) [解题技法]
已知切线方程（或斜率）求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标。考向3由曲线的切线(斜率)求参数的值(范围)[例3](1)(2021·并封布模拟考试)曲线 y=(ax+1)er在点(0,1)处的切线与 x轴交于点1 0), 则a=——:(2)函数f(x)=lnx十ax的图象存在与直线2xy=0平行的切线，则实数a的取值范围是[解析】(1)y’=e(ax+1+a)，所以y'k=o=1+a，则曲线y=(ax+1)e在(0,1)处的切线方程为 y=(1+a)x+1,又切线与×轴的交点为(-1, 0),所以 0=(1+a)×(-2)+1,解得a=1.(2)由题意知F(x)=2在(0，+8)上有解1所以" (冈):+a=2在(0，+)上有解，x因为x>0，所以2-则a=2-<2，所以a的取值范围是（-°，2).[答案] (1)1 (2)(一°，2)【解题技法]1.利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围，2.求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点(1)注意曲线上横坐标的取值范围；(2)谨记切点既在切线上又在曲线上：考向4两曲线的公切线问题[例4]已知曲线(x)=x3+ax+在x=0处的切线与曲线g(t)=一lnx相切，则a的值为第8页共91页
第 8 页 共 91 页 已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率， 从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标． 考向 3 由曲线的切线(斜率)求参数的值(范围) [例 3] (1)(2021·开封市模拟考试)曲线 y＝(ax＋1)ex 在点(0,1)处的切线与 x 轴交于点 － 1 2 ，0 ，则 a＝ ； (2)函数 f(x)＝ln x＋ax 的图象存在与直线 2x－y＝0 平行的切线，则实数 a 的取值范围 是 ． [解析] (1)y′＝e x (ax＋1＋a)，所以 y′|x＝0＝1＋a，则曲线 y＝(ax＋1)ex 在(0,1)处的切 线方程为 y＝(1＋a)x＋1，又切线与 x 轴的交点为 － 1 2 ，0 ，所以 0＝(1＋a)× － 1 2 ＋1，解 得 a＝1. (2)由题意知 f′(x)＝2 在(0，＋∞)上有解． 所以 f′(x)＝ 1 x ＋a＝2 在(0，＋∞)上有解， 则 a＝2－ 1 x .因为 x＞0，所以 2－ 1 x ＜2，所以 a 的取值范围是(－∞，2)． [答案] (1)1 (2)(－∞，2) [解题技法] 1．利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的 不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围． 2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 (1)注意曲线上横坐标的取值范围； (2)谨记切点既在切线上又在曲线上． 考向 4 两曲线的公切线问题 [例 4] 已知曲线 f(x)＝x 3＋ax＋ 1 4 在 x＝0 处的切线与曲线 g(x)＝－ln x 相切，则 a 的值 为 ．
[解析]由,(x)=x+ax+，得f(x)=3x2+a.1-f (0)=a, 0)=÷.：曲线y=(x)在x=0处的切线方程为y-4=ax.-Y=ax与曲线g(x)=-Inx相切于点(xo，-Inxo)，又：g(t)=设直线y4r1@-In.xo=axo,41?a=o3将代入得Inxo431-e4o=e41..0=33e4[答案] —e【解题技法]解决此类问题通常有两种方法：一是利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；二是设公切线/在y=(x)上的切点Pi(x1,f(xi),在y=g(x)上的切点P2(x2,g(0), 则F (n)=g* (m))二8)X1X2[跟踪训练]1.曲线(x)=x+lnx在点(1,1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为(OB.3A. 2211c. 2D.4解析：选DF(x)=1+，则g()=2，故曲线(x)=x+lnx在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1)，即y=2x-1，此切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0，-1)，(,0).则v1_1切线与坐标轴围成的三角形的面积为，×1X*2-4，故选D.2.(2020·全国卷I）曲线y=lnx十x十1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程第9页共91页
第 9 页 共 91 页 [解析] 由 f(x)＝x 3＋ax＋ 1 4 ，得 f′(x)＝3x 2＋a. ∵f′(0)＝a，f(0)＝ 1 4 ， ∴曲线 y＝f(x)在 x＝0 处的切线方程为 y－ 1 4 ＝ax. 设直线 y－ 1 4 ＝ax 与曲线 g(x)＝－ln x 相切于点(x0，－ln x0)，又∵g′(x)＝－ 1 x ， ∴ －ln x0－ 1 4 ＝ax0， ① a＝－ 1 x0 ， ② 将②代入①得 ln x0＝ 3 4 ， ∴x0＝e 3 4 ，∴a＝－ 1 e 3 4 ＝－e − 3 4 . [答案] －e − 3 4 [解题技法] 解决此类问题通常有两种方法：一是利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切， 列出关系式求解；二是设公切线 l在 y＝f(x)上的切点 P1(x1，f(x1))，在 y＝g(x)上的切点 P2(x2， g(x2))，则 f′(x1)＝g′(x2)＝ f(x1)－g(x2) x1－x2 . [跟踪训练] 1．曲线 f(x)＝x＋ln x 在点(1,1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( ) A．2 B． 3 2 C． 1 2 D． 1 4 解析：选 D f′(x)＝1＋ 1 x ，则 f′(1)＝2，故曲线 f(x)＝x＋ln x 在点(1,1)处的切线方程 为 y－1＝2(x－1)，即 y＝2x－1，此切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－1)， 1 2 ，0 ，则 切线与坐标轴围成的三角形的面积为1 2 ×1× 1 2 ＝ 1 4 ，故选 D. 2．(2020·全国卷Ⅰ)曲线 y＝ln x＋x＋1 的一条切线的斜率为 2，则该切线的方程
为1解析：设切点坐标为(xo，In.xo+xo+1）.由题意得y+1，则该切线的斜率k=xxo1=2，解得xo=1，所以切点坐标为(1,2)，所以该切线的方程为y-2=2(x-1)，即y=2x.答案：y=2x3。(2021·开射术第一次模拟考试)设函数f(x)=alnx十bx3的图象在点(1，一1)处的切线经过点(0,1)，则a十b的值为[(1) = -1,[b= -1,"+3bx2，于是有解析：依题意得F(α)=即解得1+1[a+3b=-2,f(1)=0-1[a=1所以a+b=0b=-1答案：0[课时过关检测]A级一一基础达标1.曲线y=ex-lnx在点(1，e)处的切线方程为（）A.(1-e)x-y+1=0B, (1-e)x-y-1=0C. (e-1)x-y+1=0D. (e-1)x-y-1=0解析：选C由于y=e-！，所以v=1=e-1，故曲线y=er-lnx在点(1，e）处的x切线方程为y-e=(e-1)(x-1)，即(e-1)x-y+1=0.2.已知函数(x)的导函数为(x)，且满足关系式(x)=x+3x(2)+lnx，则F(2)的值等于(）A. -2B. 2D. ?c. -244解析：选C因为(x)=x2+3xf(2)+Inx，所以(x)=2x+3f(2)+，所以(2)91,解得 (2)==2X2+3fl(2)+2.4第10页共91页
第 10 页 共 91 页 为 ． 解析：设切点坐标为(x0，ln x0＋x0＋1)．由题意得 y′＝ 1 x ＋1，则该切线的斜率 k＝ 1 x0 ＋ 1＝2，解得 x0＝1，所以切点坐标为(1,2)，所以该切线的方程为 y－2＝2(x－1)，即 y＝2x. 答案：y＝2x 3．(2021·开封市第一次模拟考试)设函数 f(x)＝aln x＋bx3 的图象在点(1，－1)处的切线 经过点(0,1)，则 a＋b 的值为 ． 解析：依题意得 f′(x)＝ a x ＋3bx2，于是有 f(1)＝－1， f′(1)＝ 1＋1 0－1 ， 即 b＝－1， a＋3b＝－2， 解得 a＝1， b＝－1， 所以 a＋b＝0. 答案：0 [课时过关检测] A 级——基础达标 1．曲线 y＝ex－ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A．(1－e)x－y＋1＝0 B．(1－e)x－y－1＝0 C．(e－1)x－y＋1＝0 D．(e－1)x－y－1＝0 解析：选 C 由于 y′＝e－ 1 x ，所以 y′|x＝1＝e－1，故曲线 y＝ex－ln x 在点(1，e)处的 切线方程为 y－e＝(e－1)·(x－1)，即(e－1)x－y＋1＝0. 2．已知函数 f(x)的导函数为 f′(x)，且满足关系式 f(x)＝x 2＋3xf′(2)＋ln x，则 f′(2) 的值等于( ) A．－2 B．2 C．－ 9 4 D． 9 4 解析：选 C 因为 f(x)＝x 2＋3xf′(2)＋ln x，所以 f′(x)＝2x＋3f′(2)＋ 1 x ，所以 f′(2) ＝2×2＋3f′(2)＋ 1 2 ，解得 f′(2)＝－ 9 4