s4.群的同态4.1复习同态4.2同态应用到群
§4.群的同态 • 4.1 复习同态 • 4.2 同态应用到群
4.1复习同态同态映射,单同态(映射),满同态(映射),同构(映射）两个代数系统的同态，同构，性质
4.1 复习同态 同态映射,单同态(映射),满同态(映射),同构(映射) 两个代数系统的同态,同构,性质
4.2同态应用到群定理1假定G与G是两个同态的代数系统,如果是群，那么G也是一个群证明G显然适合群定义的条件I，G的乘法适合结合律，而G与G同态，由I，8，定理1，G的乘法也适合结合律，所以G适合群定义的条件Ⅱ，我们证明G也适合IV，V两条：设：f:G→G是满同态(映射）
4.2同态应用到群 定理１假定 与 是两个同态的代数系统,如果 是群，那么 也是一个群． G G G G 证明 显然适合群定义的条件Ⅰ， 的乘法适 合结合律，而 与 同态，由Ⅰ，８，定理１， 的乘法也适合结合律，所以 适合群定义的条件 Ⅱ，我们证明 也适合Ⅳ，Ⅴ两条．设: 是满同态(映射) G G G G G G G f G G : →
IV.f(e)=é就是的一个左单位元．假定a是G的任意元,而 α是α的一个逆象：f(a)=a那么 ea= f(e)f(a)=...=aV．假定α是G的任意元，α是α的一个逆象：f(a)=a那么f(a)是α的左逆元f(a-")a=...=é
Ⅳ． 就是 的一个左单位元．假定 是 的任意元,而 是 的一个逆象: 那么 f e e ( ) = G a G a a f a a ( ) = ea f e f a a = = = ( ) ( ) . Ⅴ．假定 是 的任意元， 是 的一个逆象: 那么 是 的左逆元. a G a a f a a ( ) = 1 f a( ) − a 1 f a a e ( ) − = =
例1在Z上定义运算α@b=a+b-l证明乙关于给定的运算构成群证明 设 G=Z,运算为普通的加法,它构成群设 G=Z,运算为给定的 ④构造: f:G→G,f(a)=a+1
例１在 上定义运算 证明 关于给定的运算构成群. Z a b a b = + −1 Z 证明 设 ,运算为普通的加法,它构成群. 设 , 运算为给定的 构造: , . G Z = G Z = f G G : → f a a ( ) 1 = +
由定理1的证明我们直接可以看出定理2假定 G和G是两个群在G到G的个同态满射之下，G的单位元e的象是G的单位元，G的元α的逆元α的象是α的象的逆元，我们要注意，假如G同G的次序掉换一下，那么定理1不一定对，换一句话说，假如G与G同态，那么G不一定是一个群
由定理１的证明我们直接可以看出 定理２ 假定 和 是两个群．在 到 的一 个同态满射之下， 的单位元 的象是 的单位 元， 的元 的逆元 的象是 的象的逆元． G G G G G e G G a 1 a − a ⚫我们要注意，假如 同 的次序掉换一下，那 么定理１不一定对，换一句话说，假如 与 同 态，那么 不一定是一个群． G G G G G
例2G=（所有奇数）.G对于普通乘法来说不作成一个群.G={e}.G对于乘法 ee=e 来说显然作成一个群（参看Ⅱ，I，例1）：但d:a→e显然是G到G的一个同态满射同构的代数系统具有完全相同的运算性质谈代数系统的同态永远与一对运算联系在一起作业：P44
例２ ＝｛所有奇数｝． 对于普通乘法来说不 作成一个群． ． 对于乘法 来说显 然作成一个群（参看Ⅱ，Ⅰ，例１）． 但 显然是 到 的一个同态满射． ⚫同构的代数系统具有完全相同的运算性质. ⚫谈代数系统的同态永远与一对运算联系在一起. G G G e = { } G ee e = : a e → G G 作业: P44