S2.交换律、单位元、零因子、整环内容提要：2.1交换律2.2单位元与可逆元2.3零因子与消去律2.4整环与例子重点：发现一些特殊环中的单位元、可逆元、零因子掌握一些整环的正反例子
§2. 交换律、单位元、零因子、整环 内容提要： 2.1 交换律 2.2 单位元与可逆元 2.3 零因子与消去律 2.4 整环与例子 重点: ◼ 发现一些特殊环中的单位元、可逆元、零因子. ◼ 掌握一些整环的正反例子
2.1交换律在环定义里我们没有要求环的乘法适合交换律所以在一个环单ab未必等于ba。定义一个环R叫做一个交换环，假如：ab =ba不管a，b是R的哪两个元检验在上一节给出的例子，数集中的环、全矩阵环、多项式环、剩余类环
2.1 交换律 在环定义里我们没有要求环的乘法适合交换律, 所以在一个环里ab未必等于ba。 ◼ 定义 一个环R叫做一个交换环，假如: 不管a，b是R的哪两个元。 ◼ 检验在上一节给出的例子: 数集中的环、全矩阵环、多项式环、剩余类环 ab ba =
2.1交换律检验在上一节给出的例子数集中的环M,(F)全矩阵环：它一些子集也可以构成环F[x]多项式环：它一些子集也可以构成环剩余类环：Z, =({[0],[1],[2]..·[n -1]
2.1 交换律 ◼ 检验在上一节给出的例子 ➢ 数集中的环 ➢ 全矩阵环: 它一些子集也可以构成环 ➢ 多项式环: 它一些子集也可以构成环 ➢ 剩余类环: ( ) M F n F x[ ] {[0],[1],[2] [ 1]} Z n n = −
2.2单位元与可逆元定义一个环R的一个元e叫做一个单位元，假如对于R的任意元a来说，都有ea=ae=a注1.环R的单位元用1R注2.单边单位元：1，和1
2.2 单位元与可逆元 ◼ 定义 一个环R的一个元 e 叫做一个单位元，假 如对于R的任意元a来说，都有 注1. 环R的单位元用 注2. 单边单位元: 和 ea ae a = = 1R 1 r 1l
2.2单位元与可逆元定义一个有单位元环的一个元b叫做元的一个逆元，假如ba = ab = 1注3：在有单位元的情况下谈逆元，逆元相对单位元而产生，注4：可以定义左(右逆元)
2.2 单位元与可逆元 ◼ 定义 一个有单位元环的一个元b叫做元的 一个逆元，假如 ba ab = =1 注3: 在有单位元的情况下谈逆元, 逆元相对单位 元而产生. 注4: 可以定义左(右逆元)
2.2单位元与可逆元找下面例子的单位元与可逆元数集中的环M,(F)全矩阵环：它一些子集也可以构成环F[x]多项式环：它一些子集也可以构成环剩余类环：Z, =({[0],[1],[2] ..·[n -1]
2.2 单位元与可逆元 ◼ 找下面例子的单位元与可逆元 ➢ 数集中的环 ➢ 全矩阵环: 它一些子集也可以构成环 ➢ 多项式环: 它一些子集也可以构成环 ➢ 剩余类环: ( ) M F n F x[ ] {[0],[1],[2] [ 1]} Z n n = −
2.2单位元与可逆元以n=8为例,归纳结论：[a]可逆的充分必要条件......??证明：
2.2 单位元与可逆元 以n=8为例,归纳结论: [a]可逆的充分必要条件:.?? 证明:
2.3零因子■定义 若是在一个环里,如果α±0. b±0但ab=0我们就说,a是这个环的左零因子，b是这个环的右零因子。刻画出矩阵环和剩余类环中的零因子
2.3 零因子 ◼ 定义 若是在一个环里,如果 a b ab = 0, 0 0 但 我们就说,a是这个环的左零因子，b是这个环的右 零因子。 ◼刻画出矩阵环和剩余类环中的零因子
2.3零因子定理在一个没有零因子的环里两个消去律都成立：a±0,ab=ac=b=ca±0,ba = ca= b= c反过来，在一个环里如果有一个消去律成立，那么这个环没有零因子
2.3 零因子 ◼ 定理 在一个没有零因子的环里两个消去律都 成立： 反过来，在一个环里如果有一个消去律成立，那 么这个环没有零因子。 0, 0, a ab ac b c a ba ca b c = = = =
推论在一个环里如果有一个消去律成立，那么另一个削去律也成立。定义一个环R叫做一个整环，假如1.乘法适合交换律：2.R有单位元1：3.R没有零因子：检验在上一节给出的例子：数集中的环、全矩阵环、多项式环、剩余类环作业，P89:2-4Back
推论 在一个环里如果有一个消去律成立，那么另一 个削去律也成立。 ◼ 定义 一个环R叫做一个整环，假如 1. 乘法适合交换律： 2. R有单位元1： 3. R没有零因子： ◼ 检验在上一节给出的例子: 数集中的环、全矩阵环、多项式环、剩余类环 作业, P89: 2-4