S8．子群8.1定义与例8.2等价条件8.3生成子群8.4子群的运算
§８．子群 • 8.1定义与例 • 8.2 等价条件 • 8.3 生成子群 • 8.4 子群的运算
8.1定义与例讨论子对象是一个常用的代数方法.我们看一个群G．假如由G里取出一个非空子集H来，那么利用G的乘法可以把H的两个元相乘：对于这个乘法来说，H很可能也作成一个群。定义一个群G的一个非空子集H叫做G的一个子群，假如H对于G的乘法来说作成一个群，用符号H≤G表示.例1给了一个任意群G，G至少有两个子群：1.G;2．只包含单位元e的子集
8.1定义与例 讨论子对象是一个常用的代数方法.我们看一个 群 ．假如由 里取出一个非空子集 来，那么利 用 的乘法可以把 的两个元相乘．对于这个乘法 来说， 很可能也作成一个群． G G H G H H 定义 一个群 的一个非空子集 叫做 的一个子 群，假如 对于 的乘法来说作成一个群, 用符号 表示． G H G H G H G 例１ 给了一个任意群 ， 至少有两个子群： １． ； ２．只包含单位元 的子集． G G G e
例 2 G=S,，H={(1)，(12).那么 H是 S,的一个子群因为：I：H对于G的乘法来说是闭的，(1)(1) = (1) , (1)(12) = (12),(12)(1) = (12) , (12)(12) =(1) ;Ⅱ：结合律对于所有G的元都对，对于H的元也对；IV. (I)eH;V. (1)(1)=(1) , (12)(12)=(1).更多的例子注1：H的乘法必须是G的乘法注2：验证H是子群时有些条件可以省略
例２ ， ， ．那么 是 的一个子群． 因为： Ⅰ． 对于 的乘法来说是闭的， ， ， ， ； Ⅱ．结合律对于所有 的元都对，对于 的元也对； Ⅳ． ； Ⅴ． ， ． 更多的例子. 注1: 的乘法必须是 的乘法 注2: 验证 是子群时有些条件可以省略. G S = 3 H ={(1) (12)} H 3 S H G (1)(1) (1) = (1)(12) (12) = (12)(1) (12) = (12)(12) (1) = G H (1) H (1)(1) (1) = (12)(12) (1) = H G H
8.2等价条件引理：设H≤G，那么(1)eH =eG(2)a=αG,对于H中运算α定理1一个群G的一个不空子集 H作成G的一个子群的充分而且必要条件是：(i)a,bEH=abEH(ii) aEH=aleH
8.2 等价条件 引理:设 , 那么 (1) (2) , 对于 中运算 H G H G e e = 1 1 H G a a − − = H a 定理１ 一个群 的一个不空子集 作成 的一个 子群的充分而且必要条件是： （ⅰ） （ⅱ） G H G a b H ab H , 1 a H a H −
证明若是（i），（ii）成立，H作成一个群I：由于（i），H是闭的：Ⅱ：结合律在G中成立，H在中自然成立;IV.因为H至少有一个元α，由（ii），H也有元α-，所以由（i）a'a=eεHV．由（ii），对于H的任意元 α来说，H有元 α-l，使得a-a=e反过来看，假如H是一个子群，（i）显然成立．我们证明，这时（ii）也一定成立．证完（i），（ii）两个条件也可以用一个条件来代替
证明 若是（ⅰ），（ⅱ）成立， 作成一个群． Ⅰ．由于（ⅰ）， 是闭的； Ⅱ．结合律在 中成立， 在中自然成立； Ⅳ．因为 至少有一个元 ，由（ⅱ）， 也有 元 ，所以由（ⅰ）， Ⅴ．由（ⅱ），对于 的任意元 来说， 有 元 ，使得 反过来看 ，假如 是一个子群 ，（ⅰ）显然成 立．我们证明，这时（ⅱ）也一定成立． 证完■ （ⅰ），（ⅱ）两个条件也可以用一个条件来代 替． H H G H H a H 1 a − 1 a a e H − = H a H 1 a − 1 a a e − = H
定理 2一个群G的一个不空子集H作成G的一个子群的充分而且必要条件是：(iii) a,beG=→ab-i ε H证明l.我们先证明，（i）和（ii）成立，（iii）就也成立.假定α，b属于H，由（ii），b-εH，由（i），ab-l H儿现在我们反过来证明，由（ii）可以得到（i）和（ii）.假定 αEH．由（iii），aa-l=eeH，于是ea-l=a-leH（ii）成立
定理２ 一个群 的一个不空子集 作成 的一 个子群的充分而且必要条件是： （ⅲ） G H G 1 a b G ab H , − 证明 I. 我们先证明，（ⅰ）和（ⅱ）成立，（ⅲ）就 也成立． 假定 ， 属于 ，由（ⅱ）， ，由（ⅰ）， II.现在我们反过来证明，由（ⅲ）可以得到（ⅰ） 和（ⅱ）． 假定 ．由（ⅲ）， ，于是 （ⅱ）成立 a b H 1 b H − 1 ab H − a H 1 aa e H − = 1 1 ea a H − − =
假定αEH，beH.由刚证明的，b-εH；由（iii），a(α-")-=abH ,即 (i)成立证完假如所给子集H是一个有限集合，那么H作成子群的条件更要简单定理3一个群G的一个不空有限子集H作成G的一个子群的充分而且必要条件是：a,beHabH证明这个条件是必要的，无须证明．我们证明它是充分的．因为H是有限集合，我们使用有限的定义证明
假定 ， ．由刚证明的， ；由（ⅲ）， ,即 (i) 成立 证完■ a H b H 1 b H − 1 1 a a ab H ( ) − − = 假如所给子集 是一个有限集合，那么 作成子群的 条件更要简单． H H 定理３ 一个群 的一个不空有限子集 作成 的一 个子群的充分而且必要条件是： G H G a b H ab H , H 证明 这个条件是必要的，无须证明．我们证明它 是充分的．因为 是有限集合，我们使用有限的定 义证明
8.3生成子群现在我们要认识一种找一个子群的一般方法我们在一个群G里任意取出一个非空子集S来，S包含元α，b，c，d，...那么S当然不见得是一个子群，但是我们可以把S扩大一点，而得到一个包S含的子群.利用S的元以及这些元的逆元我们可以作各种乘积，比方说，ab,a-c，a'cb-l,d ，c-l等等．设集合H刚好包含所有这样的乘积，可以证明：
8.3 生成子群 现在我们要认识一种找一个子群的一般方法． 我们在一个群 里任意取出一个非空子集 来， 包含元 ， ， ， ，.那么 当然不见得是一个 子群, 但是我们可以把 扩大一点，而得到一个包 含的子群． 利用 的元以及这些元的逆元我们可以作各种乘 积，比方说， ， ， ， ， 等等．设集合 刚好包含所有这样的乘积, 可以证 明: G S S a b c d S S S S ab 2 a c − 3 1 a cb− d 1 c − H
(1).H作成一个子群因为两个这样的乘积乘起来还是一个这样的乘积一个这样的乘积的逆元也是一个这样的乘积，由定理1，(2)对任何一个包含S的子群H,H一定包含H.这一点容易看出：H既是一个子群，它又包含所有S的元α，b，c，...，I，Ⅱ，两个条件，因而根据定理1，它必须包含所有的上面所作的那些乘积：这就是说，H2H.由（1)和(2)，H是包含S的最小的子群
(1). 作成一个子群． 因为两个这样的乘积乘起来还是一个这样的乘积， 一个这样的乘积的逆元也是一个这样的乘积, 由定理１， H (2) 对任何一个包含 的子群 , 一定包含 ． 这一点容易看出： 既是一个子群，它又包含所 有 的元 ， ， ，.，Ⅰ，Ⅱ，两个条件，因而根 据定理1，它必须包含所有的上面所作的那些乘积； 这就是说， ． 由 (1)和(2)， 是包含 的最小的子群． S ' H ' H H ' H S a b c ' H H H S
定义如上得到的H叫做由S生成的子群，我们用符号（S）来表示它，假如我们取一个只包含一个元α的子集S，那么(S) = (a)是一个循环子群例3生成子群很复杂给出一些简单的例子
定义 如上得到的 叫做由 生成的子群，我们 用符号 来表示它． H S ( ) S 假如我们取一个只包含一个元 的子集 ，那么 是一个循环子群． a S ( ) ( ) S a = 例3 生成子群很复杂,给出一些简单的例子