子环、$ 3.5:环的同态近世代数代数系统（带有运算的集合）群域环研究方法：1、研究其子系统、商系统（从内部入手）子系统：子群、子环、子域商域商系统：商群、商环、2、研究其同态和同构（从外部入手）
研究方法： 近世代数 代数系统 （带有运算的集合） 群 环 域 1、 研究其子系统、商系统（从内部入手） 2、 研究其同态和同构 （从外部入手） 子系统：子群、子环、子域 商系统：商群、商环、商域 §3.5：子环、环的同态
$ 3.5:子环、环的同态教学目的：（1）掌握子环、（子除环，子整环，子域）的定义及其等价条件；（2）掌握环的同态及其若干性质；（3）理解并能使用“挖补定理（4）掌握类比的数学思想
教学目的： §3.5：子环、环的同态 （1）掌握子环（子除环，子整环，子域） 的定义及其等价条件； （2）掌握环的同态及其若干性质； （3）理解并能使用“挖补定理 ” ; （4）掌握类比的数学思想
一、子环定义及等价条件（与群相类比给出）：甚至在数学里，发现真理的工具是归纳和类比。法国数学家拉普拉斯类比是通过两类不同对象A,B间的某些属性的相似，从而A具有某种其他属性便猜想B也有这种属性。下面我们把环与群类比，把环看作是具有一个乘法运算的加群，即设想加群是基础，而乘法是环的“灵魂
一、子环定义及等价条件（与群相类比给出）： 下面我们把环与群类比，把环看作是具有一个 乘法运算的加群， 即设想加群是基础，而乘法是环 的“灵魂”。 甚至在数学里，发现真理的工具是归纳和类比。 ——法国数学家拉普拉斯 类比是通过两类不同对象 A, B间的某些属性的 相似，从而A具有某种其他属性便猜想B也有这种属 性
?兴在群论中在环论中定义1：设 GΦ，称G为群，若定义2：设R±Φ，且R带有加法和乘法G对其上的一种代数运算满足，两种运算，称R为环，若R满足?（）闭合律：（I）结合律：水(i)(R,+)为加群：（III）存在单位元；(i)（R,)为半群;（IV）G中任一元素存在逆元。(ii)分配律成立。定义4：设R≠Φ，R为环（除环）定义3：设G为群，称G的子集兴照兴整环，域），称R的子集S为的R子H为G的子群，若对于G的乘法环（子除环，子整环，子域），若来说H也作成一个群。S对于R的代数运算来说也作成一个环（除环，整环，域）。记作：记作H≤Gf（S是R的环时）。意安意H≤GS<R(l)a,beH=abeH;a,beS=a-bES对减法封闭）(2)aeH-a- eH.a,beSabeS（对乘法封闭）台(3)a,beH=ab-I EH.1）S包含非零元：(1（S,+）为加群2a,beSa-beS;S为R的子除环(S,) 为群。→)(2)(3)a,beS,b0ab-s
(3) , . (2) . (1) , ; 1 1 a b H ab H a H a H a b H ab H H G − − S为R的子除环 + （ ）（ ，）为群。 （）（ ，）为加群； * 2 1 S S − − (3) , 0 . (2) , (1) 1 a b S b ab S a b S a b S S ， ； 包含非零元； 在群论中 在环论中 定义1：设 ，称G为群，若 G对其上的一种代数运算满足： （I）闭合律；（II）结合律； （III）存在单位元； （IV） G中任一元素存在逆元。 G 定义3：设 为群，称G的子集 H为G的子群，若对于G的乘法 来说H也作成一个群。 记作： 。 G H G 定义2：设 ，且R带有加法和乘法 两种运算，称R为环，若R满足 (i) 为加群； (ii) 为半群； (iii) 分配律成立。 R (R,+) (R,.) S R − , ( . , ( 对乘法封闭） 对减法封闭） a b S ab S a b S a b S 定义4：设 ， R为环（除环， 整环，域）, 称R的子集S为的R子 环（子除环，子整环，子域），若 S对于R的代数运算来说也作成一个 环（除环，整环，域） 。记作： （S是R的子环时）。 R S R
二、子环的存在性及其例子：例1：一个环R至少包含两个子环R和[0}。（平凡子环）例2：设R=Z,则 S=(2)={2k|k EZ)是R的子环。例3：设R=M(F)（域F上的全矩阵环），则S={kI,IkEF} 是R的子环。（子除环、子域）（因为（s，）为群，S={kI,lkEF)的元素可交换）
例1：一个环R 至少包含两个子环R和 {0} 。 例2：设R=Z,则 S = (2) ={2k | k Z} 是R的子环。 二、子环的存在性及其例子： （平凡子环） 例3：设R = M n (F) (域F上的全矩阵环），则 S = {kIn | k F} 是R的子环。 （ 因为 （S * ，）为群 ， S = {kIn | k F} 的元素可交换） （子除环、子域）
例4: 设 Z。 = {[0],[1],[2],[3],[4],[5]],S, ={[0],[2],[4]] S, = ([O],[3]}。可以验证，S, ≤Z6，S, ≤ Z。例5: 设 Q(V2)= (α+b/2 [a,be Q)则容易验证：Z≤Q(V2),Q≤Q(~2)
例 4：设 ， ， 。 {[ 0], [ 1], [ 2], [ 3], [ 4], [ 5]} Z 6 = {[ 0], [ 2], [ 4]} S 1 = {[ 0], [ 3]} S 2 = 可以验证， , S1 Z6 . S2 Z 6 例5：设 Q ( 2 ) = { a + b 2 | a,b Q } 。 则容易验证： Z Q ( 2), Q Q ( 2 )
例6：设R=(a,b)la,bEz)。现定义R的运算(a,b)+(az,b,) =(a +az,b, +b)(a,b )(az, b,) =(a,a2,b,b,)(1）容易验证，R=(a,b)la,be Z)关于所定义的运算构成一个环。令 S =((a,0) laE Z) 。（2）容易验证S≤R
例6：设 R = {(a,b)| a,b Z} 。现定义 R 的运算： ( , ) ( , ) ( , ) a1 b1 + a2 b2 = a1 + a2 b1 + b2 ( , )( , ) ( , ) a1 b1 a2 b2 = a1 a2 b1 b2 （1）容易验证， 关于所定义的运算 构成一个环。 R = {(a,b)| a,b Z} （2）容易验证 令 S = {(a,0)| a Z} 。 S R
三、环的同态及其若干性质定义：设 R 和 R 是两个环，则称 R 和 R 同态（同构），若满足（1）存在满射（双射）Φ:R→R；（2）Φ保持运算（保持加法和乘法运算）d(x + y) =d(x)+d(y)(Vx, ye R);d(xy) = d(x)d(y)(Vx, y E R)此时记 R 和 R 的同态（同构）为:R～R(R=R)
定义：设 和 是两个环，则称 和 同态 （同构），若满足 R R R R (x + y) = (x) +( y)(x, y R); (xy) = (x)( y)(x, y R). 三、环的同态及其若干性质 （2） 保持运算（保持加法和乘法运算） 此时记 和 的同态（同构）为： ) ~ R R R ~ R(R = R （1） 存在满射（双射） : R → R ；
R=Z.,作: R→R,a>[a] 。例7： 设R=Z,容易验证Φ 是同态。例8：设R={(a,b)Ia,bEZ)，R=Z。现定义R的运算：(a,b,)+(az,b,)=(a, +az,b, +b,)(a,b)(a2,b) =(a,a2,b,b,)(1）可以验证，R=(a,b)la,be Z) 关于所定义的运算构成一个环。（2）容易验证Φ是同态
例7：设 R = Z ， R = Z4 ,作 : R → R,a [a] 。 容易验证 是同态。 例8：设 R = {(a,b)| a,b Z} ， R = Z 。现定义 R 的运算： ( , ) ( , ) ( , ) a1 b1 + a2 b2 = a1 + a2 b1 + b2 ( , )( , ) ( , ) a1 b1 a2 b2 = a1 a2 b1 b2 （1）可以验证， 关于所定义的运算 构成一个环。 R = {(a,b)| a,b Z} （2）容易验证 是同态
具有同样多代数运算的代数系统间的同态可以保持相应的结合律、交换律和分配律定理1（S1.8,P22）：假定，对于代数运算。和。来说，A和A同态，那么，（i）若适合结合律，。也适合结合律（ii）若。适合交换律，。也适合交换律定理2（$1.8,P22）：假定，④,都是集合A的代数运算，④,?都是集合A的代数运算，A和A同态，那么，（i）若①,?适合第一分配律，④,也适合第一分配律：（i）,适合第二分配律，④，也适合第二分配律
具有同样多代数运算的代数系统间的同态 可以保持相应的结合律、交换律和分配律。 定理2（ §1.8,P22）：假定， 都是集合A的代 数运算， 都是集合 的代数运算， 和 同态，那 么， （i）若 适合第一分配律， 也适合第一分配律； （ii）若 适合第二分配律， 也适合第二分配律。 , A A A , , , , , 定理1（ §1.8,P22）：假定，对于代数运算 和 来说， 和 同态，那么， （i）若 适合结合律， 也适合结合律； （ii）若 适合交换律， 也适合交换律。 A A