S6多项式环·内容提要：6.1多项式环6.2一元多项式环R[α]6.3未定元的存在性R[x]6.4多元多项式环
• 内容提要: • 6.1 多项式环 • 6.2 一元多项式环 • 6.3 未定元的存在性 • 6.4 多元多项式环 §6 多项式环 R[ ] R x[ ]
6.1 多项式环R[α]我们已经有了一般环的定义现在要认识一种特殊的环多项式环，这种环在数学单占一个重要的地位。本节假定R,是一个有单位的交换环，R是R,的子环并且包含的巢位元。比如，为复数环(域)，为数环
我们已经有了一般环的定义,现在要认识一种特殊 的环多项式环,这种环在数学里占一个重要的地位。 本节假定 是一个有单位的交换环， 是 的子环， 并且包含 的单位元。比如, 为复数环(域), 为整 数环. R0 R R0 R0 R0 R 6.1 多项式环 R[ ]
α的多项式在R里取出一个元α来，那么aα° +aα' +...+a,a" =a +aα+...+a,α" (a, ER)有意义，是R的一个元定义1 一个可以写成(a,ER,n是≥0的整数ao +aα+...+a,α"形式R的元叫做R上α的一个多项式。α,叫做多项式的系数注1：多项式常用f(α),g(α)表示注2：α的多项式的表示形式不唯一(举例),因此不定义次数.原因在什么地方？
⚫ 的多项式 在 里取出一个元 来，那么 有意义，是 的一个元。 R0 ( ) 0 1 0 1 0 1 n n n n i a a a a a a a R + + + = + + + R0 定义1 一个可以写成 形式 的元叫做R上 的一个多项式。 叫做多项 式的系数。 0 1 n n a a a + + + (a R n i , 0 是 的整数) R0 a i a f g ( ), ( ) 注1：多项式常用 表示. 注2： 的多项式的表示形式不唯一(举例),因此不 定义次数. 原因在什么地方?
多项式环R[α]记 R[α]={所有R上的α的多项式)我们要注意，对于m<n,a +...+amα" =ao +...+amαm +Oαm+1 +...+Oαn所以当我们只考虑R[α]的有限个多项式的时候，可以假定这些多项式的项数（注：没有说次数)，都是一样的。因此，R「α|的两个元相加相乘适合以下公式：(a +...+a,α")+(b +..+b,α")=(a +b.)+.+(a, +b,)α"(a ..+a,a")(b. ..+b,a")-C ...na+这里Cx=abe+abk-- +...+atbo =Zab,i+j=k
⚫多项式环 R[ ] 记 R[ ] ={所有R上的 的多项式}. 我们要注意，对于 ， 所以当我们只考虑 的有限个多项式的时候， 可以假定这些多项式的项数(注:没有说次数),都是一 样的。因此， 的两个元相加相乘适合以下公式： m n 1 0 0 0 0 m m m n m m a a a a + + + = + + + + + R R ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 n n n n n n n n n m n n n m n k k k k i j i j k a a b b a b a b a a b b c c c a b a b a b a b + + − + = + + + + + = + + + + + + + + = + + 这里 = + + + =
这两个式子告诉我们，R[α对于加法和乘法来说都是闭的。进一步-(a +...+anα")= -a -..-anα" e R [α]所以R[αl 是一个(子)环。定义2 R[α]叫做R上α的多项式环,注3：R[α|是包括R和α的最小子环注4：上面的R「αl的计算法正是初等代数里的多项式的计算法
R ( 0 0 ) n n n n − + + = − − − a a a a R R 这两个式子告诉我们， 对于加法和乘法来说都 是闭的。进一步, 所以 是一个(子)环。 定义2 R 叫做R上 的多项式环. R R 注3： 是包括R和 的最小子环。 注4：上面的 的计算法正是初等代数里的多项 式的计算法
6.2一元多项式环R[x]α的多项式的表示形式不唯一的原因在于：当系数α,αi,,an不都等于零的时候，很可能α的多项式a +aα+...+a,α"=0比方说，当α=2的时候，取，α=2,α =0,α=-1,那么多项式a +aα+a,α?=2-2=0
6.2 一元多项式环 R x[ ] 的多项式的表示形式不唯一的原因在于:当系数 不都等于零的时候，很可能 的多项式 比方说，当 的时候，取， ， 那么多项式` 0 1 , , , n a a a 0 1 0 n n a a a + + + = = 2 0 1 2 a a a = = = − 2, 0 , 1 2 0 1 2 a a a + + = − = 2 2 0
●未定元假如定义3的一个元x叫做R的一个未定元，使得在R里找不到不都等于零的元ao,a,..,a,来,ao+ax+..+a,x"=0在这一节单，我们重要讨论未定元的多项式注5：根据上述定义，R上的一个未定元x的多项式（简称一元多项式），只能用一种方法写成(a, ER)ao+ax+...+a,x"的形式（不计系数是零的项）
⚫未定元 定义3 的一个元 叫做R的一个未定元，假如 在R里找不到不都等于零的元 来，使得 R0 x 0 1 , , , n a a a 0 1 0 n n a a x a x + + + = 在这一节里，我们重要讨论未定元的多项式。 x 0 1 ( ) n n i a a x a x a R + + + 注5：根据上述定义，R 上的一个未定元 的多项式 （简称一元多项式）,只能用一种方法写成 的形式（不计系数是零的项）
定义4A±0f(x)=a+ax+...+a,xa..n是环R上一个一元多项式。那么非负整数n叫做这个多项式的次数,表示为deg(f)注6：多项式0不定义次数deg(f +g)注7: deg(fg)
定义4 令 是环R上一个一元多项式。那么非负整数n叫做这个 多项式的次数,表示为 。 0 1 ( ) , 0 n n n f x a a x a x a = + + + deg( ) f 注6：多项式0不定义次数。 注7： , deg( ) fg deg( ) f g +
例1R是整数环，R.是复数域，在R。上发现一些R的未定元，例2（R上可能没有R的未定元）R是整数环，R.是包含所有α+bi(a,b是整数)的整环，这时对R。的每一个元 α=α+bi来说，都有(α2 +b2)+(-2a)α+α2 =0
例1 R是整数环， 是复数域, 在 上发现一些R 的未定元. R0 R0 例2 ( 上可能没有R的未定元) R是整数环， 是包含所有 的整环， 这时对 的每一个元 来说，都有 R0 R0 a bi a b + ( , 是整数) R0 = +a bi ( ) ( ) 2 2 2 a b a + + − + = 2 0
6.3未定元的存在性定理1给了一个有单位元的交换环R，存在一个包含R的环P，使得在P上一定有R上的未定元x存在证明（省略）我们非三步来证明这个定理1.首先我们利用R来作一个环P。我们让P刚好包含所有无穷序列(α,a,a)，这里 α R，但只有有限个α,0我们限定：只在a, =b, (i=1,2,)时，(ao, a ,az )=(bo, b ,b,
6.3 未定元的存在性 定理 1 给了一个有单位元的交换环R，存在一个 包含R的环P, 使得在P上一定有R上的未定元 x 存在. 证明(省略) 我们非三步来证明这个定理。 1.首先我们利用R来作一个环 。我们让 刚好包含 所有无穷序列 ，这里 ，但只有有限个 我们限定： 只在 时， P P (a a a 0 1 2 , , ) i a R 0 i a a b i i i = = , 1, 2, ( ) (a a a b b b 0 1 2 0 1 2 , , , , ) = ( )