S9最大理想·9.1定义及等价条件9.2基本结论9.3进一步的结论
§9最大理想 • 9.1 定义及等价条件 • 9.2 基本结论 • 9.3 进一步的结论
9.1定义及等价条件以下我们要认识两种由一个交换环来得到一个域的重要方法,第一种就是利用最大理想的方法(本节内容),第二种方法是分式域(下节内容)。Z, =Z/(p),p is aprime一个基本的模型：Z→Q=(=|a,beZ,b0)「叫做一个最定义 一个环R的一个不等于的理想大理想,假如，除了R同I自己以外，没有包含A的理想
9.1 定义及等价条件 以下我们要认识两种由一个交换环来得到一个域 的重要方法,第一种就是利用最大理想的方法(本节 内容),第二种方法是分式域(下节内容)。 一个基本的模型： /( ), is a prime { , , 0} Z Z p p p Z a Q a b Z b b = → = 定义 一个环 的一个不等于的理想 叫做一个最 大理想,假如，除了 同 自己以外，没有包含 的 理想。 R I R I A
最大理想有下面一些等价表述：(1)一个环R的一个不等于的理想I叫做一个最大理想,如果存在理想 J满足:ICJCR,那么J=I或J=R.(2)一个环R的一个不等于的理想叫做一个最大理想,如果存在理想J满足:IOJR，那么J=R(3)一个环R的一个不等于的理想I叫做一个最大理想,如果存在理想J满足:ICJOR，那么J=I
最大理想有下面一些等价表述: (1)一个环 的一个不等于的理想 叫做一个最大理 想,如果存在理想 满足: , 那么 或 . (2)一个环 的一个不等于的理想 叫做一个最大理 想,如果存在理想 满足: , 那么 . (3)一个环 的一个不等于的理想 叫做一个最大理 想,如果存在理想 满足: , 那么 . R I J I J R J I = J R= R I J I J R Ø J R= R I J I J R Ø J I =
例1我们看整数环Z。我们说，由一个素数p所生成的主理想I=(p)是一个最大理想。因为：假定J是理想，并且：IOJ≤Z那么J一定包含一个不能被p整除的整数q。由于p是素数，p与q互素，所以我们可以找到整数s和t使得sp +tq = 1但P也属于J，而且J是理想，所以1EJ, J= R
例1 我们看整数环 。我们说，由一个素数 所生 成的主理想 是一个最大理想。因为：假定 是 理想，并且: 那么 一定包含一个不能被 整除的整数 。由于 是素数， 与 互素，所以我们可以找到整数s和t， 使得 但 也属于 ，而且 是理想，所以 Z p I p = ( ) J I J Ø Z J p q p q p sp tq + =1 p J J 1 J J R , =
9.2基本结论定理假定R是一个有单位元交换环，I是R的一个理想。R/I是一个域是I一个最大理想的时候证明（一）设I是一个最大理想，我们分两步证明：（1）R/I至少有一个非零元那么IOR.因此,在商环R/I=([a]aER)中至少有一个非零元(??)
9.2 基本结论 定理 假定 是一个有单位元交换环， 是R的一个理想。 是一个域是 一个最大理想的时候。 R I R I/ I 证明 ( ) 设 是一个最大理想, 我们分两步证明: (1) 至少有一个非零元. 那么 . 因此,在商环 中至少有 一个非零元(??). I R I/ I R Ø R I a a R / {[ ] } =
(2)每一个非零元可逆V[r]ER/I,[r]±[O],我们需要证明[r]可逆.[r][O]=r更I构造一个理想J=I+(r），那么(??)i? J=I+(r)=J=R1e R= I+(r)=1=a+ sr(aeI,se R)=[1]=[s[r] (??)[r]可逆,R/I是一个域
(2) 每一个非零元可逆. ,我们需要证明 可逆. . 构造一个理想 , 那么 (??) (??) 可逆. 是一个域. [ ] / ,[ ] [0] r R I r [ ]r [ ] [0] r r I J I r = + ( ) i ? I J I r J R = + = ( ) 1 ( ) 1 ( , ) [1] [ ][ ] = + = + = R I r a sr a I s R s r [ ]r R I/
(=)设R/I是一个域,理想J满足：IOJCR.我们需要证明J=R，取一个αEJ,aα史I那么[a]±[Ol,可逆(??).于是存在[b]e R/ I使得[a][b]=[ab]=[1] = ab -1e I =1= ab +i(i I)=1EJ=J=R证毕.这样，给了一个有单位元的交换环R，我们只要找得到R的一个最大理想A，就可以得到一个域R/A。例2R是整数环，（p)是由素数P所生成的主理想那么由上面例1，R/(p是一个域。这个结果我们在前面已经得到过
设 是一个域, 理想 满足: . 我 们需要证明 . 取一个 那么 , 可逆(??). 于是, 存在 使得 证毕. ( ) R I/ J I J R Ø J R= a J a I , [ ] [0] a [ ] / b R I [ ][ ] [ ] [1] 1 1 ( ) 1 a b ab ab I ab i i I J J R = = − = + = 这样，给了一个有单位元的交换环R，我们只要找 得到R的一个最大理想 A ，就可以得到一个域 R A 。 例2 R是整数环， 是由素数 所生成的主理想。 那么由上面例1， 是一个域。这个结果我们在前 面已经得到过。 ( p) p R p( )
9.3进一步的结论给了一个环R，我们可以利用R的一个最大理想来得到一个商环R，使得R除了零理想同单位理想以为没有其它的理想。引理1假定I≠R是环R的理想。剩余类环R/I只有零理想同单位理想，当而且仅当1是最大理想
9.3 进一步的结论 给了一个环R，我们可以利用R的一个最大理想来 得到一个商环 ，使得 除了零理想同单位理想以为， 没有其它的理想。 R R 引理 1 假定 是环R的理想。剩余类环 只有 零理想同单位理想,当而且仅当 是最大理想。 I R R I/ I
证明我们用Φ来表示R到R/I的自然同态满射。充分性.已知I是最大理想.设,J是R=R/I的理想并且J+0那么，J在Φ这下的逆象是R的理想，J显然包含I而且不等于I（??)，所以J=R,J=R这样，R只有零理想同单位理想
证明 我们用 来表示R到 R I/ 的自然同态满射。 充分性. 已知 是最大理想. 设 是 的理想， 并且 那么， 在 这下的逆象 是R的理想， 显然包含 而且不等于 (??)，所以 = 这样， 只有零理想同单位理想。 I J R R I = / J 0 J J J I I J R = , J R R
必要性，假定I不是最大的理想，那么存在J是R的理想,并且：I勿JR那么，J在Φ这下的B的象J是R的理想。由于IOJ,J0JのR，J也不会是R.不然的话，对于R的任意元r，可以找到J的元b，使得[r] =[b], r-be I 0 J由于J是理想，可以得到rEJ，J=R，与假定不合
必要性. 假定 不是最大的理想, 那么存在 是R的理 想,并且： 那么, 在 这下的 的象 是 的理想。由于 ， , 也不会是 . 不然的话，对于R的任意元r， 可以找到 的元b，使得 由于 是理想，可以得到 ，与假定不合。 I J I J R 刎 J B J R I J Ø J 0 J R Ø J R J r b r b I J = − , Ø J r J J R , =