第五章扩域在这一章里我们要对于域作一些进一步的讨论：我们不准备证明一些复杂的结构定理，而主要是对单扩域、代数扩域、多项式的分裂域、有限域和可离扩域作一些讨论
在这一章里我们要对于域作一些进一步的 讨论．我们不准备证明一些复杂的结构定 理，而主要是对单扩域、代数扩域、多项 式的分裂域、有限域和可离扩域作一些讨 论． 第五章 扩域
这就有如何选择域的F问题．我们有以下事实定理1令 E是一个域．若 E的特征是，那么E含有一个与有理数域同构的子域；若 E的特征是素数 p，那么 E含有一个与R/(p)同构的子域，这里 R是整数环，（p）是由 P生成的主理想
F 定理１ 令 是一个域．若 的特征是 ，那 么 含有一个与有理数域同构的子域；若 的 特征是素数 ，那么 含有一个与 同构的 子域，这里 是整数环， 是由 生成的主 理想． E E E E p E R p( ) R ( ) p p 这就有如何选择域的 问题．我们有以下事实
S1：扩域、素域我们先说明一下，研究域所用的方法，定义一个域E叫做一个域F的扩域（扩张），假如F是 E的子域.我们知道，实数域是在它的子域有理数域上建立起来的，而复数域是在它的子域实数域上建立起来的：研究域的方法就是：从一个给定的域F出发，来研究它的括域
§１．扩域、素域 我们先说明一下，研究域所用的方法． 定义 一个域 叫做一个域 的扩域（扩张），假如 是 的子域． 我们知道，实数域是在它的子域有理数域上建立起来的， 而复数域是在它的子域实数域上建立起来的．研究域的方 法就是：从一个给定的域 出发，来研究它的括域． E F F E F
证明域E包含一个单位元e.因此E也包含所有ne( n是整数）：令R是所有 ne：作成的集合．那么dn>ne显然是整数环R到R的一个同态满射情形1：E的特征是0．这时是一个同构映射：R=RΦ:但E包含R的商域’：由Ⅲ，10，定理4，F与R的商域，也就是有理数域同构
： 证明 域 包含一个单位元 ．因此 也包含所有 （ 是整数）．令 是所有 ． 作成的集 合．那么 显然是整数环 到 的一个同态满射． 情形１． 的特征是 ．这时是一个同构映射： E e E ne n ' R ne n ne → R ' R E ： ' ： R R 但 包含 的商域 ．由Ⅲ，10，定理 4， 与 的商域，也就是有理数域同构． E ' R ' F ' F R
情形2.E的特征是素数P．这时R/A = R'此处A是Φ的核.但p→pe=0所以 pEA，因而(p)eA．由IV，3，引理2,(p)是一个最大理想
情形2． 的特征是素数 ．这时 此处 是 的核．但 所以 ，因而 ．由Ⅳ，３，引理２， 是一个最大理想． E p ' R R A A p pe → = 0 p A ( ) p A ( ) p
另一方面，1→e+0所以 A+R而 A=(p)，因而R/(p) = R证完
另一方面， 所以 而 ，因而 证完 1 0 → e A R A = ( ) p ' R p R ( )
有理数域和R/p）显然都不含真子域定义一个域叫做一个素域，假如它不含真子域。由定理1知道：一个素域或是与R/(p)有理数同构,或是与同构．因此定理1的另一形式是定理2另 E是一个域．若 E的特征是，那包含一个与有理数域同构的素域；若E的特征是素数 p，那么 E包含一个与 R/(p）同构的素域
有理数域和 显然都不含真子域． 定义 一个域叫做一个素域，假如它不含真子域． 由定理１知道：一个素域或是与 有理数同构， 或是与同构．因此定理１的另一形式是 定理2 另 是一个域．若 的特征是∞，那么 包含一个与有理数域同构的素域；若 的特征是 素数 ，那么 包含一个与 同构的素域． R p( ) R p( ) E E E p E E R p( )
由定理2，一个任意域都是一个素域的扩域：因此，如果我们能够决定素域的所有扩域，我们就掌握了所有的域．但事实上研究素域的扩域并不比研究一个任意域F的扩域来的容易．因此我们研究域的普通方法是：设法决定一个任意域的所有掘域现在我们极粗略地描述一下一个扩域的结构。另E是域F的一个扩域．我们从E里取出一个子集S来我们用F(S）表示含F和S的E的最小子域，把它叫做添加集合S于F所得的扩域
由定理2，一个任意域都是一个素域的扩域；因此，如果 我们能够决定素域的所有扩域，我们就掌握了所有的 域．但事实上研究素域的扩域并不比研究一个任意域 的扩域来的容易．因此我们研究域的普通方法是：设法决 定一个任意域的所有扩域 E ． F 现在我们极粗略地描述一下一个扩域的结构． 另 是域 的一个扩域．我们从 里取出一个子集 来．我们用 表示含 和 的 的最小子域，把它 叫做添加集合 于 所得的扩域． E F E S F S( ) F S E S F
F(S)的存在容易看出：因为 E 的确有含 F 和 S 的子域，例如E本身．一切这样的子域的交集显然是含 F 和 S的 E的最小子域.更具体地说，F(S）刚好包含E的一切可以写成fi(αα2..,αn)(1）fz(αp αz,..., αn)
的存在容易看出．因为 的确有含 和 的 子域，例如 本身．一切这样的子域的交集显然是 含 和 的 的最小子域． F S( ) E F S E F S E 更具体地说， F S( ) 刚好包含 E 的一切可以写成 （１） 1 1 2 2 1 2 ( ) ( ) n n f f ， ， ， ， ，
形式的元，这里α，α，α，..，是S中的任意有限个元素，而 f和f2(0)是 F上的这些 α的多项式．这是因为:F(S)既然是含有 F 和 S 的一个域，它必然含有一切可以写成形式（1）的元；令一方面，一切可以写成形式（1）的元已经作成一个含有F和S的域适当选择 S，我们可以使E=F(S)．例如，取 S=E，就可以作到这一点．实际上，为了作到这一点，常常只须取E的一个真子集S：
形式的元，这里 ， ， .，是 中的任意有限个 元素，而 和 是 上的这些 的多项式．这是 因为： 既然是含有 和 的一个域，它必然含有一 切可以写成形式（１）的元；令一方面，一切可以写成 形式（１）的元已经作成一个含有 和 的域． 1 2 n S 1 f 2 f ( 0) F F S( ) F S F S 适当选择 ，我们可以使 ．例如，取 ， 就可以作到这一点．实际上，为了作到这一点，常常 只须取 的一个真子集 ． S E F S = ( ) S E= E S