复变函数
1 复变函数
第一章复数与复变函数
2 第一章 复数与复变函数
复变函数（自变量为复数的函数）对象研究复变数之间的相互依赖关系主要任务具体地就是复数域上的微积分复数与复变函数、解析函数主要内容复变函数的积分、级数、留数、共形映射、傅立叶变换和拉普拉斯变换等
3 对 象 复变函数（自变量为复数的函数） 主要任务 研究复变数之间的相互依赖关系， 具体地就是复数域上的微积分 主要内容 复变函数的积分、级数、留数、 共形映射、傅立叶变换和拉普 拉斯变换等 复数与复变函数、解析函数
复变函数中许多概念、理论、和学习方法方法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似之处.但又有不同之处，在学习中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的性质与结果
4 学习方法 复变函数中许多概念、理论、和 方法是实变函数在复数域内的推 广和发展，它们之间有许多相似 之处. 但又有不同之处，在学习 中要善于比较、区别、特别要注 意复数域上特有的性质与结果
背景十六世纪，在解代数方程时引进复数为使负数开方有意义，需要扩大数系，使实数域扩大到复数域在十八世纪以前，对复数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾.在历史上长时期人们把复数看作不能接受的“虚数·直到十八世纪，J.DAlembert(1717-1783)与L.Euler1707-1783）等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题.复数被广泛承认接受，复变函数论顺利建立和发展
5 背 景 •十六世纪,在解代数方程时引进复数 •为使负数开方有意义，需要扩大数系，使实数域扩 大到复数域 •在十八世纪以前，对复数的概念及性质了解得不清 楚，用它们进行计算又得到一些矛盾.在历史上长时 期人们把复数看作不能接受的“虚数” •直到十八世纪，J.D’Alembert(1717-1783)与 L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意 义和物理意义，澄清了复数的概念 •应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些 问题.复数被广泛承认接受，复变函数论顺利建立和 发展
十九世纪奠定复变函数的理论基础三位代表人物：·A.L.Cauchy(1789-1866)·K.Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和级数研究复变函数·G.F.B.Riemann（1826-1866)研究复变函数的映照性质通过他们的努力，复变函数形成了非常系统的理论且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也得到了很多的应用
6 •十九世纪奠定复变函数的理论基础 •三位代表人物: • A.L.Cauchy （1789-1866) •K.Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和级数 研究复变函数 •G.F.B.Riemann (1826-1866)研究复变函数的映 照性质 •通过他们的努力，复变函数形成了非常系统的理论， 且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，流 体力学和电学等方面也得到了很多的应用
s1复数及其代数运算日1.复数的概念2. 代数运算3.共轭复数T
7 1. 复数的概念 2. 代数运算 3. 共轭复数 §1复数及其代数运算
1. 复数的概念定义对任意两实数x、y,称z=x+iy或z=xtvi其中为复数？=一1，i成为虚数单位，在电工学里用表示·复数z 的实部 Re(2) =x；虚部 Im(z) =(real part)(imaginary part)·复数的模|z=x2+2≥0888888·判断复数相等<>x其%x x y,z0<>R(): Im0汇飞一般，任意两个复数不能比较大小，8
8 一般, 任意两个复数不能比较大小. 1. 复数的概念 定义 对任意两实数x、y ,称 z=x+iy或z=x+yi 为复数. •复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part) | | 0 2 2 • 复数的模 z = x + y • 判断复数相等
2. 代数运算·四则运算定义 zi=xi+iyi与z2=x2+iy2的和、差、积和商为Z1±z2=(x1±x2)+i(y1±2)Z122=(xi+iy1)(x2+iy2)=(xiX2-yiy2)+i(x2y1+xiy2)Zi - XX2 + yiy22+ii-Xi2(z2 ± 0)7=1 zz 2/ z2 /Z2 9
9 定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为： z1±z2=(x1±x2 )+i(y1±y2 ) z1 z2=(x1+iy1 )(x2+iy2 )=(x1x2 -y1y2 )+i(x2y1+x1y2 ) ( 0) | | | | 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 − + + = = z z x y x y i z x x y y z z z 2. 代数运算 •四则运算
·运算规律复数的运算满足交换律、结合律、分配律（与实数相同）即，Z+Z2=Z2+Z1;ZZ=ZZ1;(Z+Z2)+Z3=Zi+(Z2+Z3);Z(Z2Z3)=(Z1Z2)Z3 ;Z(Z2+Z3)=ZZ2+ZμZ310
10 z1+z2=z2+z1； z1z2=z2z1； (z1+z2 )+z3=z1+(z2+z3 )； z1 (z2z3 )=(z1z2 )z3； z1 (z2+z3 )=z1z2+z1z3 . •运算规律 复数的运算满足交换律、结合律、分配律. （与实数相同）即