《初等几何研》课程教学资源（讲义）初等数学中的平面欧氏几何（上）.pdf_大学文库

第一讲初等数学中的平面欧氏几何（上）1.1点、直线、射线、线段、多边形1.2角和垂直1.3三角形全等第一讲初等数学中的平面欧氏几何（上）初等数学中的平面欧氏几何，实际上使用了一个减弱版希尔伯特体系，主要体现在：1.有大量的未加严格定义的概念以直观体验引入，同时也并不区分基本概念与其他概念；2.有大量的公理作为直观体验而默认，而且并不追求公理的独立性和完备性，只要没有矛盾即可；3.默认平移、旋转、轴反射不改变线段长度和角的大小；4.假定在同一个平面上讨论问题，所以所有命题都有一个前提：在平面上，我们这里总结的体系要比中学数学教学中实际使用的体系更严格一些，这是因为中学数学教学教学要考虑中学生的认知发展水平与课程标准的要求，所以，我们这里所总结的体系在严谨性上介于中学实际使用的体系和希尔伯特体系之间，1.1点、直线、射线、线段、多边形在中学数学中，点、线、直线、平面是未加严格定义的概念，通常以直观体验引入，公理1.1（两点确定一直线）经过两点有且仅有一条直线。由于该公理成立，所以，对于任意直线a，我们可以用直线a上的两点A，B表示它，记作直线AB，如果直线a，b有公共点A，我们就说a，相交于A，称A是a，b的交点.由直线的存在性公理很容易证明如下定理，定理1.2如果两条直线相交，那么它们有且仅有仅有一个公共点，证明设a，b是两条直线，A是a，b的公共点，假设a，b另有一个公共点B那么经过A，B存在两条直线，这与直线的存在性公理矛盾，口在中学数学中，射线和射线的方向并未严格给出定义，只是从直观上默认直线上一点可以将该直线分为两部分，其中任意一部分与该点在一起就构成了一条射线，而该点是射线的端点，射线上其他点是其内点，端点和内点指出了射线的方向.设射线h的端点为A，取h的任意一个内点B，那么射线h的方向就是从A指向B的，我们也称射线h为射线AB（注意，不能称之为射线BA）：线段和长度也是未加严格定义的概念，只是在直观上默认射线上一个内点可以将射线分为两部分，其中一部分仍是射线，另一部分则是线段；线段有两个端点，不是端点的点就是线段的内点，设线段α的两个端点为A和B，那么我们也称线段a为线段AB，设AB是一条线段·在A为端点以B为内点的射线上取一内点C，我们就说射线BC是线段AB的延长线；类似地，在以B为端点以A为内点的射线上取一内点D，我们就说射线AD是BA的延长线设AB是一条线段，C1，C2，···，Cn-1是线段AB的内点如果C1，C2，·，Cn-1将线段AB分成相等长度的n个线段，则称C1，C2，··，Cn-1是线段AB的n等分点；特别地，线段的2等分点通常称为中点公理1.3（线段最短）所有连接两点的线中，线段最短，如果若干个点、线段、射线都落在同一条直线上，我们就说它们共线

第一讲初等数学中的平面欧氏几何（上） 1.1 点、直线、射线、线段、多边形 1.2 角和垂直 1.3 三角形全等第一讲初等数学中的平面欧氏几何（上）初等数学中的平面欧氏几何，实际上使用了一个减弱版希尔伯特体系，主要体现在： 1. 有大量的未加严格定义的概念以直观体验引入，同时也并不区分基本概念与其他概念； 2. 有大量的公理作为直观体验而默认，而且并不追求公理的独立性和完备性，只要没有矛盾即可； 3. 默认平移、旋转、轴反射不改变线段长度和角的大小； 4. 假定在同一个平面上讨论问题，所以所有命题都有一个前提：在平面上．我们这里总结的体系要比中学数学教学中实际使用的体系更严格一些，这是因为中学数学教学教学要考虑中学生的认知发展水平与课程标准的要求．所以，我们这里所总结的体系在严谨性上介于中学实际使用的体系和希尔伯特体系之间． 1.1 点、直线、射线、线段、多边形在中学数学中，点、线、直线、平面是未加严格定义的概念，通常以直观体验引入．公理1.1（两点确定一直线）经过两点有且仅有一条直线．由于该公理成立，所以，对于任意直线，我们可以用直线上的两点表示它，记作直线．如果直线有公共点，我们就说相交于，称是的交点．由直线的存在性公理很容易证明如下定理．定理1.2 如果两条直线相交，那么它们有且仅有仅有一个公共点．证明设是两条直线，是的公共点．假设另有一个公共点．那么经过存在两条直线，这与直线的存在性公理矛盾．在中学数学中，射线和射线的方向并未严格给出定义，只是从直观上默认直线上一点可以将该直线分为两部分，其中任意一部分与该点在一起就构成了一条射线，而该点是射线的端点，射线上其他点是其内点，端点和内点指出了射线的方向．设射线的端点为，取的任意一个内点，那么射线的方向就是从指向的，我们也称射线为射线（注意，不能称之为射线）．线段和长度也是未加严格定义的概念，只是在直观上默认射线上一个内点可以将射线分为两部分，其中一部分仍是射线，另一部分则是线段；线段有两个端点，不是端点的点就是线段的内点．设线段的两个端点为和，那么我们也称线段为线段．设是一条线段．在为端点以为内点的射线上取一内点，我们就说射线是线段的延长线；类似地，在以为端点以为内点的射线上取一内点，我们就说射线是的延长线．设是一条线段，是线段的内点．如果将线段分成相等长度的个线段，则称是线段的等分点；特别地，线段的2等分点通常称为中点．公理1.3 （线段最短）所有连接两点的线中，线段最短．如果若干个点、线段、射线都落在同一条直线上，我们就说它们共线．

如果将平面上不共线的n条线段首尾相接能构成一个封闭图形，那么我们就称这个封闭图形是平面n边形，也称为平面多边形，简称为n边形或多边形；这几条线段叫做该多边形的边：边的端点叫做该多边形的顶点：共用同一个顶点的两个边叫做邻边；所有的边构成该多边形的边界：边界所封闭的区域（不包括边界）叫做该多边形的内部；边界以外区域叫做该多边形的外部；边界上的点、内部的点、外部的点分别叫做该多边形的界点、内点、外点，如果一个多边形任意两个界点的连线都不在这个多边形的外部，那么我们就说这个多边形是凸多边形福中学平面几何所讨论的多边形一般特指凸多边形，以下所说的多边形特指凸多边形，特别地，三边形通常叫做三角形；顶点为A，B，C的三角形通常记作△ABC.使用公理1.3（线段最短）很容易证明三角形的如下性质，定理1.4三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边1.2角和垂直设h和k是两条有公共端点O的射线：那么由h和所构成的图形就叫做角，记作/（h，k），其中O叫做Z（h，k）的顶点，h和k叫做Z（h，k）的两个边：取h上异于O的一点A，取k上异于O的一点B，那么Z（h，k）也记作/AOB：如果A，O，B三点共线，那么所得的角叫平角：设/AOB不是平角，射线OA和OB将整个平面分为两部分，其中包含线段AB内点的部分叫做/AOB的内部，另一侧叫外部；平角不区分内部和外部.为了方便，我们也经常说：“记ZAOB为1”，“记ZAOB为2等，这只是给ZAOB另外起了一个名字而已，在不引起混淆的前提下，也可以将乙AOB简记作ZO。中学数学中没有严格几何图形的运动，只是从直观上默认几何图形在平面上的运动不改变其形状如果对平面上的两个角经过适当的运动，可以将二者完全重合，则称这两个角相等；乙（h，k）与Z(h,k)相等，记作Z(h,k)=Z(h,k）.作射线OC，使其内点在乙AOB内部（我们也说在ZAOB内部作射线OC），那么我们会得到两个新的角，即ZAOC和ZBOC，我们说ZAOC和ZBOC都是小于ZAOB的角，同时我们规定所有与小于ZAOB的角相等的角也是小于ZAOB的角；Z1小于Z2，记作1<2；另外，由于ZAOC和ZBOC恰好拼成了LAOB，所以我们也说ZAOC+/BOC=ZAOB：如果ZAOC=/BOC，那么我们就说OC是ZAOB的平分线，如果/AOB内部的射线OC1，OC2，···，OCn-1使得/AOB被分成n个相等的角，我们就说射线OC1，OC2.·.，OCn-1是/AOB的n等分线.设ZAOB是一个平角，如果存在以O为端点的一条射线OC，不妨设射线OA，OB，OC可以构成ZAOC和ZBOC两个角，使得ZAOC=ZBOC，那么我们就说这两个角是直角，也说直线OC垂直于AB，或者说直线OC是直线AB的垂线，称O为垂足：从这个定义出发，并不能保证垂线的存在性和唯一性，其存在性是由如下公理保证的公理1.5在平面上，过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，由于所有的平角都相等，所以所有的直角都相等，我们把直角90等分，所得到的每个等角叫做1度的角；我们把1度的角60等分，所得到的每个等角叫做分的角；我们把1分的角60等分，所得到的每个等角叫做1秒的角.1度、1分、1秒分别记作1°、1、1，显然直角是90°的角，由于平角由两个直角构成，我们规定平角是180°的角，小于90°的角叫锐角大于90°而小于180°的角叫钝角.如果乙1十乙2三90°，那么我们就说1与2互为余角，简称互余如果/1十/2=180°，那么我们就说/1与/2互为补角，简称互补，显然，等角的余角相等，等角的补角相等注：平面几何在初中学习，初中所学的角仅限于0°～180°的角，我们这里遵循这一约定；事实上，小于0°的角和大于180°的角是在高中通过向量的旋转拓展出的

如果将平面上不共线的条线段首尾相接能构成一个封闭图形，那么我们就称这个封闭图形是平面边形，也称为平面多边形，简称为边形或多边形；这条线段叫做该多边形的边；边的端点叫做该多边形的顶点；共用同一个顶点的两个边叫做邻边；所有的边构成该多边形的边界；边界所封闭的区域（不包括边界）叫做该多边形的内部；边界以外区域叫做该多边形的外部；边界上的点、内部的点、外部的点分别叫做该多边形的界点、内点、外点．如果一个多边形任意两个界点的连线都不在这个多边形的外部，那么我们就说这个多边形是凸多边形．中学平面几何所讨论的多边形一般特指凸多边形，以下所说的多边形特指凸多边形．特别地，三边形通常叫做三角形；顶点为的三角形通常记作．使用公理1.3（线段最短）很容易证明三角形的如下性质．定理1.4 三角形两边之和大于第三边．三角形两边之差小于第三边． 1.2 角和垂直设和是两条有公共端点的射线．那么由和所构成的图形就叫做角，记作，其中叫做的顶点，和叫做的两个边；取上异于的一点，取上异于的一点，那么也记作；如果三点共线，那么所得的角叫平角．设不是平角．射线和将整个平面分为两部分，其中包含线段内点的部分叫做的内部，另一侧叫外部；平角不区分内部和外部．为了方便，我们也经常说：“记为 ”，“记为 ”等，这只是给另外起了一个名字而已．在不引起混淆的前提下，也可以将简记作．中学数学中没有严格几何图形的运动，只是从直观上默认几何图形在平面上的运动不改变其形状．如果对平面上的两个角经过适当的运动，可以将二者完全重合，则称这两个角相等；与相等，记作．作射线，使其内点在内部（我们也说在内部作射线），那么我们会得到两个新的角，即和．我们说和都是小于的角，同时我们规定所有与小于的角相等的角也是小于的角；小于，记作；另外，由于和恰好拼成了，所以我们也说；如果，那么我们就说是的平分线．如果内部的射线使得被分成个相等的角，我们就说射线，，，是的等分线．设是一个平角，如果存在以为端点的一条射线，不妨设射线可以构成和两个角，使得，那么我们就说这两个角是直角，也说直线垂直于，或者说直线是直线的垂线，称为垂足．从这个定义出发，并不能保证垂线的存在性和唯一性，其存在性是由如下公理保证的．公理1.5 在平面上，过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直．由于所有的平角都相等，所以所有的直角都相等．我们把直角90等分，所得到的每个等角叫做1度的角；我们把1度的角60等分，所得到的每个等角叫做1 分的角；我们把1分的角60等分，所得到的每个等角叫做1秒的角．1度、1分、1秒分别记作、、．显然直角是的角．由于平角由两个直角构成，我们规定平角是的角．小于的角叫锐角，大于而小于的角叫钝角．如果，那么我们就说与互为余角，简称互余．如果，那么我们就说与互为补角，简称互补．显然，等角的余角相等，等角的补角相等．注：平面几何在初中学习，初中所学的角仅限于的角，我们这里遵循这一约定；事实上，小于的角和大于的角是在高中通过向量的旋转拓展出的

相交直线所成的四个角中，如果两个角没有公共边，那么我们说它们互为对顶角·由于等角的补角相等，所以对顶角相等1.3三角形全等对一个多边形来说，以它的两条邻边为边的角叫做它的内角；以该多边形的一边及其邻边延长线为边的角叫做该多边形的外角，如果一个内角与一个外角共用多边形的一边为边，那么这两个角显然互补，多边形的内角通常简称为多边形的角，在平面上，设21和22是两个n边形，如果适当的运动后，两个n边形能重合，那么就称2和22是两个全等的n边形，记作21兰22，其中对应重合的顶点、边、角，分别称为对应顶点、对应边、对应角，如果两个多边形全等，那么对应角显然相等，对应边显然相等，由于多边形总可以分割为有限个三角形，所以多边形全等可以化归为三角形全等，公理1.6（边角边法则）在△ABC和△A'B'C"中，如果AB=A'B'，LA=LA且BC=B'C"，那么△ABC兰△AB'C".使用公理1.6（边角边法则）可以证明如下著名的结论，定理1.7三角形外角大于不相邻的内角证明设△ABC是一个三角形，延长BC至F，下证：ZACF>ZBAC.取AC中点D，连接BD并延长至E，使得DE=DB，连接CE.由边角边法则可知：△ADB兰△CDE.所以ZBAC=ZACEZBAC.使用公理1.6（边角边法则）和定理1.7可以证明关于三角形全等的角角边法则.定理1.8（角角边法则）在△ABC和△ABC中，如果/A=A，ZB=B且BC=BC"，那么AABC△AB'C"ABB'CC证明如果AB=AB，那么由边角边法则可知，△ABC兰△ABC所以以下只需证明AB=AB即可.假设AB≠AB，不妨设AB>AB.在AB上取一点A1，使得AB=AB，那么A是AB的内点.因为AB=AB，/B=ZB并且BC=BC，所以△ABC兰△ABC，所以/BAiC=A.由已知条件知ZA=ZBAC，所以ZBAC=ZA=BAC.这与定理1.7矛盾使用类似的方法，我们还可以证明角边角法则定理1.9（角边角法则）在△ABC和△A'BC"中，如果B=ZB，BC=B'C且C=/C"，那么AABCAA'B'C'AAfBBCrC

证明如果AB=AB，那么由边角边法则可知，△ABC兰△ABC所以以下只需证明AB=AB即可.假设AB≠AB，不妨设AB>AB.在AB上取一点A1，使得AB=AB那么Ai是AB的内点.因为AB=AB/B=ZB并且BC=B'C"，所以△ABC=△ABC"，所以ZACB=ZC".由已知条件知ZC'=LACB，所以ZAiCB=ACB，这将导致A与Ai重合，从而AB=AB=AB，这与假设矛盾.口有两边相等的三角形叫等腰三角形；其中相等的两边叫做等腰三角形的腰，另一边叫做底；腰所对的内角叫等腰三角形的底角，底所对的角等腰三角形的顶角：三个边都相等的三角形叫等边三角形使用角边角法则，我们还可以证明如下著名结论，定理1.10等腰三角形底角相等；等边三角形三个内角都相等。证明只需证明等腰三角形底角相等即可.设△ABC中AB=AC，下证LABC=ZACB.过A作ZBAC的平分线，交BC于D，由边角边法则可知，△ADB兰△ADC，所以ZABC=LACB.口使用定理1.10和角边角法则，我们可以证明三角形全等的边边边法则定理1.11（边边边法则）在△ABC和△ABC"中，如果AB=AB，BC=BC"且AC=A'C，那么△ABC兰△AB'C"证明在△ABC的外部作一点A使得ZCBA,=ZCB'A且ZBCA,=/B'C"A.又因为BC=B'C"，所以△ABC=△ABC',所以AB=AB'=AB，AC=A'C'=AC,所以当我们连接AA,之后所得两个三角形，即△ABA，和△ACA1是等边三角形，由定理1.10可知，/BAA1=BAiA且/CAA1=ZCAiA，所以ZBAC=ZBAiC.又因为/BAiC=B'A'C"，所以ZBAC=ZB'A'C"，所以AABC=△A'B'C.有一个角是直角的三角形叫直角三角形，直角三角形ABC可以记作Rt△ABC：直角三角形中构成直角的两边叫做直角边，直角的对边叫做斜边；有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形；三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形：锐角三角形和钝角三角形合称斜三角形：使用定理1.10和其他几个定理，我们可以证明直角三角形全等的直角边斜边法则：定理1.122（直角边斜边法则）在Rt△ABC和Rt△A'B'C中，ZB和/B是直角.如果AB=AB并且AC=AC那么△ABC兰△ABC!证明在△ABC的外部取一点Ci使得BAC1=B'A'C"且ACi=A'C，连接ACi和BC1那么由角边角法则可知，△ABCi兰△A'B'C"，所以ZABCi=ZB'=90°，所以C,BCi共线.又因为AC=A'C"=AC1，所以△ACC1是等腰三角形.由定理1.10可知，ZC=ZC1.由角边角法则可知，△ABC=△ABCi所以△ABC=△ABC

证明如果，那么由边角边法则可知，．所以以下只需证明即可．假设，不妨设．在上取一点，使得，那么是的内点．因为，并且，所以，所以．由已知条件知，所以，这将导致与重合，从而，这与假设矛盾．有两边相等的三角形叫等腰三角形；其中相等的两边叫做等腰三角形的腰，另一边叫做底；腰所对的内角叫等腰三角形的底角，底所对的角等腰三角形的顶角；三个边都相等的三角形叫等边三角形．使用角边角法则，我们还可以证明如下著名结论．定理1.10 等腰三角形底角相等；等边三角形三个内角都相等．证明只需证明等腰三角形底角相等即可．设中，下证．过作的平分线，交于．由边角边法则可知，，所以．使用定理1.10和角边角法则，我们可以证明三角形全等的边边边法则．定理1.11 （边边边法则）在和中，如果，且，那么．证明在的外部作一点使得且．又因为，所以，所以，，所以当我们连接之后所得两个三角形，即和是等边三角形，由定理1.10可知，且，所以．又因为，所以，所以．有一个角是直角的三角形叫直角三角形，直角三角形可以记作；直角三角形中构成直角的两边叫做直角边，直角的对边叫做斜边；有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形；三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形；锐角三角形和钝角三角形合称斜三角形．使用定理1.10和其他几个定理，我们可以证明直角三角形全等的直角边斜边法则．定理1.12 （直角边斜边法则）在和中，和是直角．如果并且，那么．证明在的外部取一点使得且，连接和．那么由角边角法则可知，，所以，所以共线．又因为，所以是等腰三角形．由定理1.10可知，．由角边角法则可知，，所以．