复变函数与积分变换
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第一章复数与复变函数
2 第一章 复数与复变函数
复变函数（自变量为复数的函数）对象研究复变数之间的相互依赖关系主要任务具体地就是复数域上的微积分复数与复变函数、解析函数主要内容复变函数的积分、级数、留数、共形映射、傅立叶变换和拉普拉斯变换等
3 对 象 复变函数（自变量为复数的函数） 主要任务 研究复变数之间的相互依赖关系， 具体地就是复数域上的微积分 主要内容 复变函数的积分、级数、留数、 共形映射、傅立叶变换和拉普 拉斯变换等 复数与复变函数、解析函数
s1复数及其代数运算日1.复数的概念2. 代数运算3.共轭复数工
4 1. 复数的概念 2. 代数运算 3. 共轭复数 §1复数及其代数运算
1.复数的概念定义对任意两实数x、y,称z=x+iy或z=xtvi为复数RRRRaRRRRRRs·复数z 的实部 Re(z) =x；虚部 Im(z) =y.(real part)(imaginary part) /z=/x2+2≥0·复数的模888888·判断复数相等Z1 = Z2 ← X1 = X2,Ji = J2,其中z1 = X +iy1,Z2 = X2 +iy2z = 0 <>Re(z) = Im(z) = 0汇飞一般，任意两个复数不能比较大小，5
5 一般, 任意两个复数不能比较大小. 1. 复数的概念 定义 对任意两实数x、y ,称 z=x+iy或z=x+yi 为复数. •复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part) | | 0 2 2 • 复数的模 z = x + y 0 Re( ) Im( ) 0 , , , 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 = = = = = = = + = + z z z z z x x y y 其 中z x i y z x i y • 判断复数相等
2. 代数运算·四则运算定义 zi=xi+iyi与z2=x2+iy2的和、差、积和商为Z1±z2=(x1±x2)+i(y1±2)Z122=(xi+iy1)(x2+iy2)=(xiX2-yiy2)+i(x2y1+xiy2)Zi - XX2 + yiy22+ii-Xi2(z2 ± 0)7=1 zz 2/ z2 /Z2 6
6 定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为： z1±z2=(x1±x2 )+i(y1±y2 ) z1 z2=(x1+iy1 )(x2+iy2 )=(x1x2 -y1y2 )+i(x2y1+x1y2 ) ( 0) | | | | 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 − + + = = z z x y x y i z x x y y z z z 2. 代数运算 •四则运算
运算规律复数的运算满足交换律、结合律、分配律（与实数相同）即，Z+Z2=Z2+Z1;ZZ=ZZ1;(Z+Z2)+Z3=Zi+(Z2+Z3);Z(Z2Z3)=(Z1Z2)Z3 ;Z(Z2+Z3)=Z1Z2+Z1Z3
7 z1+z2=z2+z1； z1z2=z2z1； (z1+z2 )+z3=z1+(z2+z3 )； z1 (z2z3 )=(z1z2 )z3； z1 (z2+z3 )=z1z2+z1z3 . •运算规律 复数的运算满足交换律、结合律、分配律. （与实数相同）即
3. 共轭复数定义若z=x+ivy，称 z=x-iv为z的共轭复数(conjugate)共轭复数的性质(1)(z ±z2) = ±2(2) z = z(z132) = 2(4)z + z = 2 Re(z)()=2z - z = 2iIm(z)z2Z.2Z(3)zz = Re(z)2 +Im(z)2 = x2 + y2 = =:z28
8 •共轭复数的性质 1 2 1 2 (1) (z z ) = z z 1 2 1 2 (z z ) = z z 2 1 2 1 ( ) z z z z = (2) z = z 2 | | 1 z z z = 2 2 2 2 (3)zz = Re(z) + Im(z) = x + y 2 Im( ) (4) 2Re( ) z z i z z z z − = + = 3.共轭复数 定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数. (conjugate)
例1 : 设z = 5 - 5i,zz = -3 + 4i求 ,()及它们的实部，虚部,7.27.2解：= 5-5i7+i=-5-3+4i7.2()1+i例2:求=11-i
9 ,( ) , . 1: 5 5 , 3 4 , 2 1 2 1 1 2 求 及它们的实部 虚 部 例 设 z z z z z = − i z = − + i 5 7 3 4 5 5 : 2 1 − + = − + − = i i i z z 解 4 1 1 2 : − + i i 例 求 i i i = − + 1 1
8 2 复数的表示方法1. 点的表示口2. 向量表示法工3. 三角表示法口4.指数表示法口10
10 1. 点的表示 2. 向量表示法 3. 三角表示法 4. 指数表示法 §2 复数的表示方法