第○讲欧氏几何与公理体系0.1《原本》与欧几里得公理体系0.2希尔伯特公理体系简介0.3推理与证明第○讲欧氏几何与公理体系0.1《原本》与欧几里得公理体系在古希腊人之前的几何是一种实验几何，是人们通过大量的实验和观测，总结出的几何规律，这种通过大量的实验和观测总结规律的思维方法，通常称为归纳法：注意，这里的"归纳法”与我们数学上所说的数学归纳法不同，这里所说的归纳法更准确地说，是“不完全归纳”，不完全归纳有两个重要的缺陷：1.观测有可能不那么精确：2.即使观测足够精确，对于有无数个实例的问题来说，观测到的实例永远只是一小部分，爱较真的古希腊人发现了这个问题：在大约公元前七世纪，有一些古希腊数学家提出这样一种探究问题的模式：1.对于所要论证的命题，确定几个显而易见的、“不证自明"的假定2.使用这些假定，通过逻辑推理，论证所研究的命题，那么，在逻辑推理过程正确的前提下，你只要承认了最初的几个假定，那么你就不得不承认这个命题是正确的，于是，实验几何过渡到了推理几何，前述推理过程被称为数学证明这种以少数几个一般原则为论证的出发点，通过逻辑推理论证命题的思维方法，与之前提到的（不完全）归纳法是截然不同的，我们一般称之为演绎法，其实，演绎与（不完全）归纳，各有所长，不可偏废，没有（不完全）归纳，演绎就失去进攻的目标；没有演绎，归纳不过是合理的猜度，所以，在数学学习和研究中，往往是以归纳求靶、以演绎论真，当然，我们书写出的数学证明必须是演绎的，否则无从求真，据说第一个进行数学证明的人是泰勒斯，我们对于他知之基少，紧随其后的就是大名鼎鼎的毕达哥拉斯及其门徒希波克拉迪斯，随着推理几何的火花越烧越旺，人们发现他们所做的数学证明依然有一个问题：当你证明命题A的时候，你要假定命题B是正确的，然后使用B证明A；当有人不服气地质询命题B凭什么正确的时候，你又不得不再假定命题C是正确的，再C由证明B一一显然，这个过程是没完没了的，那么我们能不能只是假定少数几个简洁明了、不证自明的命题，然后把其他所有真命题一层一层都证明出来呢？第一个做到这件事情的人就是欧几里得众所周知，欧几里得是非常著名的古希腊几何学家，但是少有人知的是，在欧几里得所活跃的时代，古希腊文明的古典时代其实已经结束，亚历山大大帝已经爆亡，整个帝国已经分裂为若干个希腊-马其顿人统治的小王国（此即所谓"希腊化"时期），当时，亚历山大大帝手下镇守埃及的大将托勒密裂土自立，史称托勒密主朝托勒密重视文化与学术，在自都亚历山大城建立参斯学院（即亚历山大图书馆），欧儿里得就是在这种历史背景下，被请到缪斯学院作为数学专业的教学负责人：为了便于教学，欧几里得编写了一部集合了当时古希腊世界已知的全部数学知识的教科书，命名为《原本》（我国明朝学者徐光启在翻译《原本》时，只翻译了其中的几何部分，因而称之为《几何原本》），为了使这部教科书有清晰的逻辑脉络，欧儿里得在《原本》的第一卷，先给出若干概念的定义，然后又给出他认为适用于一切数学理论的五条不证自明的命题，称之为公理，随后又给出适用于几何的五条不证自明的命题，称之为公设，随后洋洋洒洒十三卷定理，全部由这五条公理和五条公设证明
第〇讲 欧氏几何与公理体系 0.1 《原本》与欧几里得公理体系 0.2 希尔伯特公理体系简介 0.3 推理与证明 第〇讲 欧氏几何与公理体系 0.1 《原本》与欧几里得公理体系 在古希腊人之前的几何是一种实验几何，是人们通过大量的实验和观测，总结出的几何规律．这种通过 大量的实验和观测总结规律的思维方法，通常称为归纳法．注意，这里的“归纳法”与我们数学上所说的 数学归纳法不同，这里所说的归纳法更准确地说，是“不完全归纳”．不完全归纳有两个重要的缺陷： 1. 观测有可能不那么精确； 2. 即使观测足够精确，对于有无数个实例的问题来说，观测到的实例永远只是一小部分． 爱较真的古希腊人发现了这个问题．在大约公元前七世纪，有一些古希腊数学家提出这样一种探究问题 的模式： 1. 对于所要论证的命题，确定几个显而易见的、“不证自明”的假定； 2. 使用这些假定，通过逻辑推理，论证所研究的命题． 那么，在逻辑推理过程正确的前提下，你只要承认了最初的几个假定，那么你就不得不承认这个命题是 正确的．于是，实验几何过渡到了推理几何，前述推理过程被称为数学证明． 这种以少数几个一般原则为论证的出发点，通过逻辑推理论证命题的思维方法，与之前提到的（不完 全）归纳法是截然不同的，我们一般称之为演绎法．其实，演绎与（不完全）归纳，各有所长，不可偏 废．没有（不完全）归纳，演绎就失去进攻的目标；没有演绎，归纳不过是合理的猜度．所以，在数学 学习和研究中，往往是以归纳求靶、以演绎论真．当然，我们书写出的数学证明必须是演绎的，否则无 从求真． 据说第一个进行数学证明的人是泰勒斯，我们对于他知之甚少．紧随其后的就是大名鼎鼎的毕达哥拉斯 及其门徒希波克拉迪斯．随着推理几何的火花越烧越旺，人们发现他们所做的数学证明依然有一个问 题：当你证明命题 的时候，你要假定命题 是正确的，然后使用 证明 ；当有人不服气地质询命题 凭什么正确的时候，你又不得不再假定命题 是正确的，再 由证明 ——显然，这个过程是没完没了 的．那么我们能不能只是假定少数几个简洁明了、不证自明的命题，然后把其他所有真命题一层一层都 证明出来呢？ 第一个做到这件事情的人就是欧几里得． 众所周知，欧几里得是非常著名的古希腊几何学家．但是少有人知的是，在欧几里得所活跃的时代，古 希腊文明的古典时代其实已经结束，亚历山大大帝已经爆亡，整个帝国已经分裂为若干个希腊-马其顿 人统治的小王国（此即所谓“希腊化”时期）．当时，亚历山大大帝手下镇守埃及的大将托勒密裂土自 立，史称托勒密王朝．托勒密重视文化与学术，在首都亚历山大城建立缪斯学院（即亚历山大图书 馆）．欧几里得就是在这种历史背景下，被请到缪斯学院作为数学专业的教学负责人． 为了便于教学，欧几里得编写了一部集合了当时古希腊世界已知的全部数学知识的教科书，命名为《原 本》（我国明朝学者徐光启在翻译《原本》时，只翻译了其中的几何部分，因而称之为《几何原 本》）．为了使这部教科书有清晰的逻辑脉络，欧几里得在《原本》的第一卷，先给出若干概念的定 义，然后又给出他认为适用于一切数学理论的五条不证自明的命题，称之为公理，随后又给出适用于几 何的五条不证自明的命题，称之为公设．随后洋洋洒洒十三卷定理，全部由这五条公理和五条公设证明
而来，这样就得到了一个"公理化"的系统，后人称这个系统为欧几里得公理体系，由此得到的几何学被称为欧氏几何，我们现在已经不再区分公理和公设了，所以后文中我们将其等而视之，皆称公理但是，从现代数学的观点来看，欧几里得的公理体系是非常原始的，它的体系实际上漏洞百出，后世数学家一直设法想想完善欧氏几何的公理化体系，直到1899年，德国数学家希尔伯特出版了《几何基础》，我们才得到了一个完善的欧氏几何，我们现在所说的欧氏几何实际上是建立在希尔伯特公理体系下的欧氏几何：下面我们介绍一下希尔伯特的公理体系0.2希尔伯特公理体系简介要描述数学问题，必须要有数学概念数学概念是体现数学对象本质属性的思维形式注意：概念和定义是不同的！设C是某个数学概念，例如平行四边形，C的定义是对C进行严格刻画的语句，例如，“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”但是这里存在一个问题：要想定义任何一个概念，总需要借助于其他的概念例如，上面提到了“平行四边形"的定义，但是要说清楚这个定义，首先要给出其中使用的其他概念的定义，例如，什么是对边、什么是平行、什么是四边形？进一步地，要定义这些，你又要定义什么是线段、什么是直线相交、什么是直线、什么是点？其逻辑关系下图所示对边点线段四边形平行四边形直线线段的平行/不平行直线的平行/相交平面因此，在任何一个数学分支的体系中，数学概念事实上构成一个金字塔的形状，而位于这个金字塔塔尖处的几个概念，是无法给出定义的，否则它就不落在这个金字塔的塔尖上，所以，任何一个数学分支的体系中一定有几个概念是无法给出定义的这种无定义的最原始的概念，我们称为基本概念，最常见的基本概念就是集合，现代所有的数学分支都要使用集合这个概念，但是这个概念是无法给出定义的。在希尔伯特的公理体系中，有六个基本概念，它们分为两组，即·基本对象：点、直线、平面·基本关系：关联、介于、合同三个基本关系体现的是三个基本对象之间的关系：●关联的直观解释..在.上，..穿过，例·点在直线上，点在平面上，直线经过点，平面经过点
平行四边形 四边形 线段的平行/不平行 对边 线段 直线的平行/相交 点 直线 平面 而来．这样就得到了一个“公理化”的系统，后人称这个系统为欧几里得公理体系，由此得到的几何学被 称为欧氏几何．我们现在已经不再区分公理和公设了，所以后文中我们将其等而视之，皆称公理． 但是，从现代数学的观点来看，欧几里得的公理体系是非常原始的．它的体系实际上漏洞百出，后世数 学家一直设法想想完善欧氏几何的公理化体系，直到1899年，德国数学家希尔伯特出版了《几何基 础》，我们才得到了一个完善的欧氏几何，我们现在所说的欧氏几何实际上是建立在希尔伯特公理体系 下的欧氏几何．下面我们介绍一下希尔伯特的公理体系． 0.2 希尔伯特公理体系简介 要描述数学问题，必须要有数学概念．数学概念是体现数学对象本质属性的思维形式． 注意：概念和定义是不同的！ 设 是某个数学概念，例如平行四边形． 的定义是对 进行严格刻画的语句，例如，“两组对边分别平 行的四边形是平行四边形”． 但是这里存在一个问题： 要想定义任何一个概念，总需要借助于其他的概念． 例如，上面提到了“平行四边形”的定义．但是要说清楚这个定义，首先要给出其中使用的其他概念的定 义．例如，什么是对边、什么是平行、什么是四边形？进一步地，要定义这些，你又要定义什么是线 段、什么是直线相交、什么是直线、什么是点？其逻辑关系下图所示． 因此，在任何一个数学分支的体系中，数学概念事实上构成一个金字塔的形状，而位于这个金字塔塔尖 处的几个概念，是无法给出定义的，否则它就不落在这个金字塔的塔尖上．所以， 任何一个数学分支的体系中一定有几个概念是无法给出定义的 这种无定义的最原始的概念，我们称为基本概念． 最常见的基本概念就是集合，现代所有的数学分支都要使用集合这个概念，但是这个概念是无法给出定 义的． 在希尔伯特的公理体系中，有六个基本概念，它们分为两组，即 基本对象：点、直线、平面 基本关系：关联、介于、合同 三个基本关系体现的是三个基本对象之间的关系： 关联的直观解释：.在.上，.穿过.；例：点在直线上，点在平面上，直线经过点，平面 经过点．
·介于的直观解释：对于共线三点，其中一点在另外两点之间。合同的直观解释：重合、相同、全等希尔伯特对于基本对象和基本关系都没有给出定义，但是，既然这六个基本概念没有定义，我们怎么知道它们指的是什么东西呢？回答：我们不需要知道它们是什么东西！那么，我们怎么知道它们有什么性质呢？回答：希尔伯特用了五组公理刻画！简而言之，我们并不知道“点”、“直线”、“平面”、“关联”、“介于”、“合同"是什么，但是我们知道它们就是满足希尔伯特的五组公理的那些东西.这有点像高中数学里"抽象函数"相关的习题，比如：“已知函数f（α)满足f（一α）二一f(aα），求f(O)"，在这个题目中，我们并不知道是什么函数，我们只需要知道是满足的那个函数就足够了。希尔伯特的五组公理共有二十条公理，即●第组：结合公理（11-18，共八条）·第11组：顺序公理（1I1-114，共四条）·第Ⅲ组：合同公理（川1-川5，共五条）●第IV组：平行公理（IV，共一条）·第V组：连续公理（V1-V2，共二条）这二十条公理，给出了欧氏几何的全部基础。但是，在实际的中学几何教学中，不可能使用如此严格的公理体系，这将给学生学习几何造成极大的困难，我们的中学几何实际上采取了一个折中的办法，即·实际上，仍然使用了希尔伯特公理体系，但是将平面几何（初中）和立体几何（高中）分开；·基本概念仍然不给定义，而是通过学生的直观体验来学习；·某些公理不在教材中体现，而是默认其成立；·某些公理虽然在教材中体系，但不是直接使用，而是将这些公理的所推导出某些更便于学生理解的定理作为公理；·剩下的几条公理被直接保留，仍然作为公理使用；·长度、角度、面积等概念也不给定义，按学生的习惯使用我们将在第二讲中回顾中学数学所学的平面欧氏几何所用的体系，为我们以后的学习和工作打好基础，本课程也主要讨论中学数学所学的平面欧氏几何在此之前，我们首先回顾一下数学证明应该是什么样的0.3推理与证明在数学学习中确实既需要（不完全）归纳推理，也需要演绎推理，但是我们必须强调的一点是：数学证明必须是完全由演绎推理构成的对于数学证明中所书写的演绎推理，具体来说我们采用三段论的形式，所谓三段”，即·小前提：即推导结论所需的条件；·大前提：即推导结论所需的理论；·结论：即所需推导的结论例如，已知直角三角形ABC的直角边AB和AC的长度分别为3和4，求证斜边BC的长度为5在证明这个题目时，我们一般会这样做：
介于的直观解释：对于共线三点，其中一点在另外两点之间． 合同的直观解释：重合、相同、全等 希尔伯特对于基本对象和基本关系都没有给出定义． 但是，既然这六个基本概念没有定义，我们怎么知道它们指的是什么东西呢？ 回答：我们不需要知道它们是什么东西！ 那么，我们怎么知道它们有什么性质呢？ 回答：希尔伯特用了五组公理刻画！ 简而言之，我们并不知道“点”、“直线”、“平面”、“关联”、“介于”、“合同”是什么，但是我们知道它们就是 满足希尔伯特的五组公理的那些东西． 这有点像高中数学里“抽象函数”相关的习题，比如：“已知函数 满足 ，求 ”，在 这个题目中，我们并不知道是什么函数，我们只需要知道是满足的那个函数就足够了． 希尔伯特的五组公理共有二十条公理，即 第I组：结合公理（I1-I8，共八条） 第II组：顺序公理（II1-II4，共四条） 第III组：合同公理（III1-III5，共五条） 第IV组：平行公理（IV，共一条） 第V组：连续公理（V1-V2，共二条） 这二十条公理，给出了欧氏几何的全部基础． 但是，在实际的中学几何教学中，不可能使用如此严格的公理体系，这将给学生学习几何造成极大的困 难．我们的中学几何实际上采取了一个折中的办法，即 实际上，仍然使用了希尔伯特公理体系，但是将平面几何（初中）和立体几何（高中）分开； 基本概念仍然不给定义，而是通过学生的直观体验来学习； 某些公理不在教材中体现，而是默认其成立； 某些公理虽然在教材中体系，但不是直接使用，而是将这些公理的所推导出某些更便于学生理解的 定理作为公理； 剩下的几条公理被直接保留，仍然作为公理使用； 长度、角度、面积等概念也不给定义，按学生的习惯使用． 我们将在第二讲中回顾中学数学所学的平面欧氏几何所用的体系，为我们以后的学习和工作打好基础． 本课程也主要讨论中学数学所学的平面欧氏几何 在此之前，我们首先回顾一下数学证明应该是什么样的． 0.3 推理与证明 在数学学习中确实既需要（不完全）归纳推理，也需要演绎推理，但是我们必须强调的一点是： 数学证明必须是完全由演绎推理构成的． 对于数学证明中所书写的演绎推理，具体来说我们采用三段论的形式，所谓“三段”，即 小前提：即推导结论所需的条件； 大前提：即推导结论所需的理论； 结论：即所需推导的结论． 例如，已知直角三角形 的直角边 和 的长度分别为 和 ，求证斜边 的长度为 ． 在证明这个题目时，我们一般会这样做：
因为/BAC=90°，AB=3且AC=4，所以由勾股定理可知：BC=V32+42=5这是一个典型的三段论，其中，小前提为ZBAC=90%AB=3且AC=4大前提为勾股定理结论为BC=5当然，这个题目比较简单，只需要一个三段论就可以了，在实际的数学证明中，一个证明可能会由多个三段论构成，其中某些比较简单显然的三段论可以省略小前提或大前提，但是请注意：它们在逻辑上依然是存在的，仅仅是在书写的时候可以省略，在本课程的实施中，我们对证明的书写有如下具体要求1.证明书写以证明二字开始，其后加一空格（而非冒号），此后开始书写；2.证明的书写以口结束；3证明中凡是题目中未出现的名称和符号，必须以“设.“令“取."等形式书写清楚，不得以如图所示等字样敷衍；4证明中凡是添加辅助线，必须以作.、“取”、“过.作.."等形式书写清楚，不得以如图所示"等字样敷衍；5.证明里所有三段论的"大前提"必须是本课程中已经讲授的真命题（这是为了避免循环论证的出现）
因为 ， 且 ，所以由勾股定理可知： ． 这是一个典型的三段论，其中，小前提为 ， 且 大前提为 勾股定理 结论为 当然，这个题目比较简单，只需要一个三段论就可以了，在实际的数学证明中，一个证明可能会由多个 三段论构成．其中某些比较简单显然的三段论可以省略小前提或大前提．但是请注意：它们在逻辑上依 然是存在的，仅仅是在书写的时候可以省略． 在本课程的实施中，我们对证明的书写有如下具体要求 1. 证明书写以证明二字开始，其后加一空格（而非冒号），此后开始书写； 2. 证明的书写以 结束； 3. 证明中凡是题目中未出现的名称和符号，必须以“设.”、“令.”、“取.”等形式书写清楚，不得 以“如图所示”等字样敷衍； 4. 证明中凡是添加辅助线，必须以“作.”、“取.”、“过.作.”等形式书写清楚，不得以“如图所 示”等字样敷衍； 5. 证明里所有三段论的“大前提”必须是本课程中已经讲授的真命题（这是为了避免循环论证的出 现）．