第4章解析函数的级数表示法高等数学中，无穷级数是一个十分重要的内容，它是用来在研究函数性质及进行数值计算的一种工具.在复变函数中，无穷级数同样是研究解析函数的重要工具.我们将看到，关于复数项级数和复变函数项级数的某些概念和定理都是实变数的相应内容在复变数范围内的直接推广，一个重要的结论是解析函数可以用级数来表示：圆盘中的解析函数可以用泰勒级数来表示，圆环中的解析函数可以用罗朗级数来表示.这两类级数都是研究解析函数的重要工具，应用这些工具可以得到解析函数的一系列重要结论北京
第4章解析函数的级数表示法84.1复数项级数1.复数列和复数列的极限定义4.1设a）（n=1,2，）为一复数列，其中a,=α十i%，a=α十iβ为一确定的复数.如果对任意的正数e，存在正整数N.使得当n>N时,有la,-al0.存在正整数N.使得当n>N时，有从而有αl0,存在正整数N.使得当n>N时，有[aα号1-β号所以有an-a[<lαn-αI+lβ-l<e.即lima,=a.67
复变函数与积分变换2.复级数设a=α十i3（n=1,2.）为一复数列，表达式Van(4.2)a+a++a+-称为复数域上的无穷级数，简称复级数或级数.记该级数的前n项部分和为S.=a+a2+...+a(n=l.2,...),(S.）称为该级数的部分和复数列.显然，若一般项a的虚部β。=0（n=1,2，），则级数>a.实质上是实级数，因此实级数可以看作是复级数的特例.若级数a.对应的部分和复数列（S.）收敛于常数定义4.2=1S,即limS.那么a，称为收敛的级数.数S称为该级数的和，记为a=S若limS.不存在，则称a.为发散的级数我们首先研究级数（4.2）的收敛性问题.定理4.2级数>a，收敛于S的充要条件是实级数和分别收敛于和其中S=十it，a，=α十（n=1.2...）证S.+a+.+a=ar=(αl+α2 +.. +α)+i(β+β +..+β)-o.+itnCβ.，它们分别为实级数。a和其中.β的部分和aisTa由定义4.2及定理4.1,S。收敛于S的充要条件是（）和（t）分别收敛于和，从而定理得证.定理4.2表明，复级数的收敛问题可以转化为实级数的收敛问题，因此有关实级数的性质和收敛判别法可以推广到复级数中，下面我们看到实级数的一些重要性质的推广，定理4.3复级数>a收敛的必要条件是68
第4章解析函数的级数表示法lima,=0.由定理4.2，>a，收敛的充要条件是对应的两个实级数a证和β均收敛，其中a%=a+i（n=1,2，）.高等数学的结论指出：实级数收敛的必要条件是其通项的极限为零.于是，有limα=0,limβ,=0,从而得到lima, =o.对于复级数a，若「a「收敛，则称级数a定义4.3绝对收敛；若「aa「发散，而a.收敛，则称级数》an条件收敛.定理4.4如果级数入a绝对收敛，则》也收敛且不等式Q.丨a「成立出证记a=α十i（n=12，），则有ZIa. l=EVa+p.由于「am≤α+B，Iβm|Vα+β.因此根据实级数的比较准则可知，α和β均收敛，于是a，是收敛的.由三角不等式2a|≤21al.又limZlaa[=Zlal,故有lim2a|lim21a,即2a≤21al.利用不等式la=a+g≤lα|+lβ「很容易得到下面的结论.69
复变函数与积分变换推论4.1设=+i（n=1.2..）则级数a绝对收敛的充要条件是级数和都绝对收敛顺便指出，由于刁「a「的各项都是非负的实数，因此它的收敛性可用正项级数判别法来确定，例4.111下列级数是否收敛？是否绝对收敛？（3i)")（3）[+(1)7(1+-：(2)1n！(3i)3"，由正项级数的比值判刘法和≥兴收效可知，原级数为绝对解(1)n!n!in!收敛.，因为(2)(1+)e/al=(1+)cos 元+i(1+sin7)sin元=0.Jcos元lim(1+1.lim(nnh所以级数的一般项的极限为lim(1)n/1由定理4.3知1+eix发散(3） 因为二收效,≥A收敛，所以原级数收敛，但（—1)为条件收敛，由推3%1n11论4.1知原级数为条件收敛，$4.2幂级数1.幂级数的概念解析函数最重要的性质之一是可以展开成幂级数，而幂级数在它的收敛圆内确定了二个解析函数，所以解析函数的幂级数表示是解析函数的一种最简单的分析表达式。所谓幂级数，是指形如.70
第4章解析函数的级数表示法a,(-)"=a+ai(-2)+...+an(-2)"+..(4.3)的表达式.它的一般项是幂函数g.（名一）"这里a.（n=0.1.2.）和是复常数，而之为复变数，给定的一个确定值1.则级数（4.3）为复数项级数a(2i-20)"=a+a(22)++a.(2i-2)"+(4.4)若（4.4）式所表示的级数收敛，则称幂级数（4.3）在1处收敛，称为级数（4.3）的一个收敛点，否则称为发散点.若D为级数（4.3）所有收敛点的集合，则级数（4.3）在D上的和确定一个函数S（）：S()=a+a(2)+..+a(z—)+(zED),(4.5)称S（z）为级数（4.3）的和函数.对于幂级数（4.3），我们需要知道它在哪些点收敛，它的和函数具有什么样的性质.为讨论简便，不妨假定。=0，这时级数成为2(4.6)a."=ao+a2+a.g"-通常只要做变化w=2一，就可以把级数（4.3）化为级数（4.6)：同高等数学中的实幂级数一样，复幂级数也有相应的阿贝尔（Abel)）收敛定理.定理4.5如果幂级数a在=2（半0）处收敛，则对于满足！之|||的，级数必绝对收敛：如果级数在=处发散，则对于满足「的级数必发散证我们只证明定理的前半部分，后半部分的证明留给读者由于级数a%2收敛，根据定理4.3，有lima=0.因而存在正数M.使对所有的n， a"I<M成立如果，那么=q<1.而z[an"|= ane"}.<Mg"1由于Mq"是公比小于1的等比数列，因此收敛.由正项级数的比较判别法知级数
复变函数与积分变换Ia"|=|ao|+lar|+...+lan"[+.收敛，从而级数a"是绝对收敛的.2.收敛半径和收敛圆根据定理4.5，幂级数（4.6）的收敛情况必是下列情形之一：（1）除=0外，级数处处发散：（2）对于所有之，级数都收敛，由定理4.5知，级数在复平面内处处绝对收敛；（3）存在一个正实数R，使级数在1|R中发散，如图4.1所示图4.1我们把该正实数R称为级数（4.6）的收敛半径，以原点为中心、半径为R的圆盘称为级数的收敛圆.对幂级数（4.3）来说，它的收敛圆是以2为中心的圆盘，值得注意的是，在收敛圆的圆周上级数是收敛还是发散，不能做出一般的结论，要对具体级数进行具体分析.例4.2讨论幂级数=1++2+++.的收敛范国与和函数解级数的部分和为2丰1S.(2)=1十2十22=11于是↓2<1,lim S,(z):发散，4z[≥1.由此我们得到该级数的收敛半径为1,收敛圆为「「<1且在区域「2|≥1上处处发散..72
第4章解析函数的级数表示法3.收敛半径的求法对于某些幂级数，我们可以根据下面的定理来求其收敛半径定理4.6若幂级数ane"的系数满足：lim.则(1）当0时.R（2）当0=0时.R（处处收敛）；（3）当0=+时R=0（仅有一个收敛点=0）考虑正项级数证[a"[=|a|+|aiz|+...+aw"A由于antilim=//(4.7)liman"Ta.若01,即「>时，0由（4.7）式知1a2lim>1.Lane故当n充分大时,有「am+|≥a,",所以，当n→时，一般项「a,"|不能趋于零，由定理4.3可知级数≥"发散.故收敛半径R=六0-若p=0.则p1<1，由（4.7）式及比值法知，对任何，级数「an"「收敛，从而an”收敛，即收敛半径R=十co.若=十，对任意0，当n充分大时，必有「a+"+≥|a"|，由此得）amz"发散，故收敛半径R=0.定理4.7若幂级数a"的系数满足：limaT=p.则（1）当0<P<+时.R（2）当0=0时.R=十8：73
复变函数与积分变换(3）当=十00时.R=0.证明请读者自己已完成，4.幂级数的运算及性质下面给出复变幂级数的一些重要性质，其证明从略，性质4.1若幂级数a2"和b,"的收敛半径分别为R，和R，则幂级数(a,±b.）的收敛半径不小于R=min(R,R)，且在1|am"和b,"的收敛半径分别为R和R2性质4.2则幂级数+aib,+ab)z"+aab+(abi+arb)+(a.b)的收敛半径不小于R=min(Ri,R21,且在「|1).但应注意，使等式而刀l+a2-2+a"-2(1-1+a)74
第4章解析函数的级数表示法成立的范国仍为「~<1.当1|~|<一时，等式左边的两级数都不收敛，所以等式没有意义和实幂级数一样，复幂级数的和函数在收敛圆内有一些好的性质，定理4.8设幂级数a（z一z）"的收敛半径为R，那么（1）它的和函数f（2）=a（2—20）"在收敛圆|2—26|<R内是解析函数：（2）f（）的导数可通过对其幂级数逐项求导得到，即f()=Enaw(2-2)u-f出版社（3）（）在1一2<R内可以逐项积分，即[(o)d:= ZaJ(2-2)'de,其中C为|一|<R内的曲线利用上面的结果，我们可以求得一些幂级数的和函数，例4.4求出下列幂级数的和函数：(n+1)z.(1)(2"(2)-1- :解(1)因为12+1L an+r一limlim=2,TanT1.2"11O1+0011同样，22和的收敛半径分别为R所以收敛半径为R=和R2=1.于-2WE10=一时，有是,由性质4.1知，当「|<-(2)2--2(2)=2(1—2)=-2(1-（2）因为limn+2=1limon+l所以收敛半径为R=1.在12<1内取一条连接0和z的简单曲线C，由逐项积分性质，得2(n+1de=2f(+1ed-2=75