
S10.商域现在让我们看一看,由一个环来得到一个域的第二种方法。我们知道普通整数的集合作成一个子环,有理数的集合作成一个域,而整数环是有理数的一个子域的一个子环现在我们问,给了一个环R,是不是可以找到一个除环或包含这个R。一个环R要能被一个除环或域包含,有一个必要条件,就是R不能有零因子,因为除环或域没有零因子。当R是非交换环时,这个条件还不充分,因为有例子告诉我们,一个无零因子的非交换环不一定能被一个环包含(参看:A.Malcev,On the Immersion of anAlgebraicRingintoaField,Math.Ann.P.113.1936).我们这一节里要证明,当R是交换环时,以上条件也是充分的。我们所用的方法完全是由整数和有理数的关系到来的
§ 10.商域 现在让我们看一看,由一个环来得到一个域的第二种 方法。 我们知道普通整数的集合作成一个子环,有理数的集 合作成一个域,而整数环是有理数的一个子域的一个子环。 现在我们问,给了一个环R,是不是可以找到一个除环或 包含这个R。一个环R要能被一个除环或域包含,有一个 必要条件,就是R不能有零因子,因为除环或域没有零因 子。当R是非交换环时,这个条件还不充分,因为有例子 告诉我们,一个无零因子的非交换环不一定能被一个环包 含(参看:A.Malcev,On the Immersion of an Algebraic Ring into a Field,Math. Ann. P.113. 1936).我们这一节里 要证明,当R是交换环时,以上条件也是充分的。我们所 用的方法完全是由整数和有理数的关系到来的

定理1没一个没有零因子的交换环R都是一个域Q的子环。证明当R只包含零元的时候,定理显然是对的。我们看至少有两个元R。用a,b,c,来表示R的元。我们作一个集合aA=所以符号(a, be R, b± 0)b在A的元间我们规定一个关系°~%,当而且只当ab'=α'b的时候b b'很明显
定理 1 没一个没有零因子的交换环R都是一个域Q的 子环。 在A的元间我们规定一个关系 : ,当而且只当 的时候 很明显, 证明 当R只包含零元的时候 ,定理显然是对的。 我们看至少有两个元R。用 来表示R的元。我 们作一个集合 abc , , , ( , , 0) a A a b R b b = 所以符号 a a b b ab a b =

aa(i)bba'a'aa(ii)b'bb'b我们也有a"a"a'aaa(ili)bbb"b'"b'b"因为:由a'α"a'ab"'b"bb'可得ab'=a'b,a'b"=a"b'(ab")b'= (ab')b"=(a'b)b"=(a'b")b=(a"b")b=(a"b)b
a a b b a a a a b b b b , a a a a a a b b b b b b , a a a a b b b b ab a b a b a b = = , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ab b ab b a b b a b b a b b a b b = = === (ⅰ) (ⅱ) 我们也有 因为:由 可得 (ⅲ)

但b'0,R没有零因子,所以可得ab"= α"baa"bb"这样,一是一个等价关系。a。我们作一这个等价关系把集合A分成若干类b个集合[]9。=^所有类对于的元我们规定ad +bca]+[a]bbdaca]-[Lba-6JL
但 ,R没有零因子,所以可得 这样, 是一个等价关系。 这个等价关系把集合A分成若干类 。我们作一 个集合 对于的元我们规定 b 0 ab a b = a a b b a b 0 a Q b = 所有类 a c ad bc b d bd + + = a c ac b d bd =

这样规定的是。的加法和乘法。因为:第一,由于R没有零因子b±0 d ±0=bd±0ad +bcac和都是.的元。Lbdbd第二,假定[][] [][岁]
这样规定的是 的加法和乘法。因为: 第一,由于R没有零因子, 都是 的元。 第二,假定 Q0 b d bd 0, 0 0 ad bc ac bd bd + 和 Q0 , a a c c b b d d + +

ab'= a'b,cd' = c'd那么ab'dd' = a'bddcd'bb' = c'dbb'(ad +bc) b'd'= (a'd'+b'c') bdad +bcTa'd' +b'c'b'd'bd另一方面,ab'cd'=a'bc'd(ac)(b'd') =(ac)(bd)["] [岁]
那么 另一方面, ab a b cd c d = = , ab dd a bdd = cd bb c dbb = (ad bc b d a d b c bd + = + ) ( ) ad bc a d b c bd b d + + = ab cd a bc d = (ac b d ac bd )( ) = ( )( ) ac a c bd b d =

两类加法相乘的结果与类的代表无关9.对于加法来说作成一个加群:[][a][a][](1)[([[](2)adf+bcf+bdebdf(:1-[D-[,]-[]-[;]adf +bcf +bdebdf
两类加法相乘的结果与类的代表无关。 Q0 对于加法来说作成一个加群: a c c a b d d b + = + a c e a cf de b d f b df + + + = + adf bcf bde bdf + + = (1) (2) a c e ad bc e b d f bd f adf bcf bde bdf + + + = + + + =

0.[.][,]-[,第]-[,](3)[][] [](4)Q.的不等于零的元对于乘法来说作成一个交换群aa-b的是单位元;乘法适合交换律与结合律,显然二ab逆元是我们很容易验算,分配律也成立。a
(3) (4) 0 c bc c b d bd d + = = a a 0 b b b − + = 的不等于零的元对于乘法来说作成一个交换群: 乘法适合交换律与结合律,显然; 是单位元; 的 逆元是 。我们很容易验算,分配律也成立。 Q0 a a a b b a

这样,9.作成一个域,我们把9.的所有的元qaq是一个固定的元,α任意).q放在一起,作成一个集合R,那么qaa→C是一个R与 R,间的一一映射。由于[q2 (a+b)]_[q (a+b)a+qbMab969qa.a
放在一起,作成一个集合 ,那么 是一个R与 间的一一映射。由于 这样, 作成一个域。 我们把 的所有的元 Q0 Q0 ( , ) qa q a q 是一个固定的元 任意 R0 qa a q → R0 ( ) ( ) ( ) 2 2 qa qb q a b q a b q q q q qa qb q ab q q q + + + = = =

以上映射是同构映射:R=Ro这样,由iii,5,定理4,有一个包含R的域QO存在证完
以上映射是同构映射: R R 0 这样,由ⅲ,5,定理4,有一个包含R的域Q存在。 证完