（8一9节）8 5 同态与同构5.1最初的思想5.2同态映射与性质5.3同态的代数系统5.4可单向传递的性质5.5同构的代数系统及其意义
§5 同态与同构（8－9节） • 5.1 最初的思想 • 5.2 同态映射与性质 • 5.3 同态的代数系统 • 5.4 可单向传递的性质 • 5.5 同构的代数系统及其意义
5.1最初的思想，如何比较两个代数系统？回忆两个三角形全等的定义：经过运动，顶点可以重合.这里涉及两个步骤：第一,点间有一个对应(映射);第二,对应后可以重合：我们比较两个代数系统A和A第一,我们需要一个映射Φ：A→A；第二，这个映射还能够使“运算重合”或日：保持算.具和a)p(b) 体的说，假如和是，的两个元，那必·b)都有意义，都是的元.保持运算即下面等式成立：d(aob) =Φ(a)p(b)
5.1最初的思想 • 如何比较两个代数系统? • 回忆两个三角形全等的定义:经过运动,顶点可以重合.这 里涉及两个步骤:第一,点间有一个对应(映射);第二,对应 后可以重合. • 我们比较两个代数系统 和 . 第一,我们需要一个映射 ; 第二, 这个映射还能够使“运算重合”或曰：保持运算.具 体的说,假如 和 是 的两个元,那么 和 都有意 义,都是的元.保持运算即下面等式成立: A A : A A → a b A ( ) a b ( ) ( ) a b ( ) ( ) ( ) a b a b =
·换一种表示，假定在Φ之下的像，x→x，上面的等式即：aob=aob
a b a b = • 上面的等式即: x x → • 换一种表示，假定在 之下的像
5.2同态映射与性质定义与例子定义1一个A到A的映射称为对于代数运算。和的同态映射,假如,Va,be A,都有:d(a b) =d(a)p(b)注：同态映射简称为态射A=[所有整数},A的代数运算是普通加法·A=(1,-1),A的代数运算是普通乘法
5.2 同态映射与性质 注: 同态映射简称为态射. • ＝{所有整数}, 的代数运算是普通加法. • , 的代数运算是普通乘法. A A A = − {1, 1} A • 定义1 一个 到 的映射 称为对于代数运算 和 的同态映射,假如, ,都有: A A a b A , ( ) ( ) ( ) a b a b = ⚫ 定义与例子
·例1证明 Φ：α→1（α是A的任一元)是一个到的同态映射．证明...例2 :若是偶数a→l,若是奇数a→-l,·证明:是一个A到A的满射的同态映射：诱臀α显是晟数到A的满射.对于A的任意两不数a霜6莱说，分兰种情况：（3）若a和都数么ab也是偶数Φ(a)=1 , (b)=1, Φ(a+b)=1所以，Φ(a+b)=Φ(a)p(b)
• 例1 证明 ( 是 的任一元) • 是一个到的同态映射. • 证明 . 1 : 1 a → a A • 例2 : , 若是偶数 , 若是奇数 • 证明: 是一个 到 的满射的同态映射. 2 a →1 a → −1 2 A A • 证明: 显然, 是 到 的满射.对于 的任意两 个整数 和 来说,分三种情况: 2 A A A a b • (1)若 , 都是偶数,那么 也是偶数 • , , • 所以, a b a b + 2 ( ) 1 a = 2 ( ) 1 b = 2 ( ) 1 a b + = 2 2 2 ( ) ( ) ( ) a b a b + = • (2)若 a , b 都是奇数. • (3)若 a 和 b 奇偶性相反
· 例3 Φ: aα→-1(α是A的任一元)固然是一个A到A的映射,但不是同态映射.因为,对于任意A的α和b来说，a→-l b→>-1α+b→-l≠(-1)×(-1)
• 例3 : ( 是 的任一元) • 固然是一个 到 的映射,但不是同态映 射.因为,对于任意 的 和 来说, 2 a → −1 a a A A A A b a b → − → − 1, 1 a b + → − − − 1 ( 1) ( 1)
进一步的定义·定义2·(1)单同态：·(2)满同态:(3)同构映射:
• 定义2 • (1)单同态: • (2)满同态: • (3)同构映射: ⚫ 进一步的定义
性质性质1设A,A,A是三个代数系统并且f:A→A, g:A→A是两个同态映射(单同态、满同态同构映射).那么，gf:A→A仍然是同态映射(单同态、满同态、同构映射)
• 性质1 设 是三个代数系统,并且 是两个同态映射(单同态、满同态、 同构映射).那么, 仍然是 同态映射(单同态、满同态、同构 映射) A A A , , f A A A : , g: A → → gf A A : → ⚫ 性质
性质2设f：A→A是一个同构.那么，f-I:A→A也是一个同构·证明：（1）f-是双射·(2)保持运算.看一个关键等式f-'(aob)= f-[f(a)of(b)= f-lf(a ob))=aob= f-l(a)o f-l(b)
• 性质2 设 是一个同构. 那么， 也是一个同构. f A A : → 1 f A A : − → • 证明: • (1) 是双射 • (2) 保持运算. 看一个关键等式 1 f − 1 1 1 1 1 ( ) [ ( ) ( )] [ ( )] ( ) ( ) f a b f f a f b f f a b a b f a f b − − − − − = = = =
5.3同态的代数系统·定义 A和 A是两个代数系统,如果存在一个A到A的同态满射f,就称A和A同态.记号：A～A·性质1（1）反身性：A～A（2）传递性：注：对称性不成立
• 性质1 （1）反身性: （2）传递性: 注: 对称性不成立 A A 5.3 同态的代数系统 • 定义 和 是两个代数系统,如果存在 一个 到 的同态满射 ,就称 和 同 态. • 记号: A A A A A A A A f