第六章数列第一节数列的概念与简单表示[备考领航]课程标准解读关联考点核心素养1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通1.由 an与 S,的关系求通项an1.逻辑推理项公式）2.由递推关系求通项公式.2.数学运算3.数列的函数特征2.了解数列是自变量为正整数的一类函数知识逐点夯实课前自修重点准逐点清结论要牢记[重点准·逐点清]重点一数列的概念1.定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。[提醒】数列的一般形式为l，a2，，an，，通常记为am，其中an是数列an的第n项，S,=a1+az+…+an为(an)的前n项和.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号。2.数列的分类(1)有穷数列：项数有限按项数分类(2)无穷数列：项数无限R(1)递增数列：ag+>a,;按项与项间(2)递减数列：0g<a,:的大小关系(3)常数列：=，其分类中nEN'[提醒](1)并不是所有的数列都有通项公式;(2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一[逐点清]1.891. (必修 5 第 67 页 A 组 2 题改编)数列(am)的前几项为,, 3,，则此数列2*第1页共91页
第 1 页 共 91 页 第六章 数 列 第一节 数列的概念与简单表示 [备考领航] 课程标准解读 关联考点 核心素养 1.了解数列的概念和几种简单 的表示方法(列表、图象、通 项公式). 2.了解数列是自变量为正整数 的一类函数 1.由 an与 Sn的关系求通项 an. 2.由递推关系求通项公式． 3.数列的函数特征 1.逻辑推理． 2.数学运算 [重点准·逐点清] 重点一 数列的概念 1．定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． [提醒] 数列的一般形式为 a1，a2，.，an，.，通常记为{an}，其中 an是数列{an}的第 n 项，Sn＝a1＋a2＋.＋an 为{an}的前 n 项和．易混项与项数的概念，数列的项是指数列中 某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号． 2．数列的分类 [提醒] (1)并不是所有的数列都有通项公式； (2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一． [逐点清] 1．(必修 5 第 67 页 A 组 2 题改编)数列{an}的前几项为1 2 ，3， 11 2 ，8， 21 2 ，.，则此数列
的通项可能是(15n-43n—2A.an=B.an226n-510n-9C.an=D.an=2261116211解析：选A数列为为2·2··，，其分母为2，分子是首项为1，公差为5的5n-4等差数列，故通项公式为an=2n-11项2. (易增])在数列-10, 8, ,中，0.08是它的第nn-225，解得n=10或n=(舍)解析：依题意得“=25答案：10重点二数列的表示方法1.列表法：列出表格来表示数列an)的第n项与序号n之间的关系.见下表：序号n1237项ana(2(3an**2.图象法：在平面直角坐标系中，数列的图象是一系列横坐标为正整数的孤立的点(n，aa).3.通项公式法：如果数列(am的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。数列的通项公式实际上是一个以N或它的有限子集1,2,3，，n为定义域的函数的表达式4.递推公式法：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式[提醒] 通项公式与递推公式的异同点通项公式递推公式(1)反映项与序号的关系；(1)反映项与项的关系；不同点(2)可根据某项的序号n的值，直接代(2)可根据第一项(或前几项）通过赋值入求an求出数列的项，直至求出所需的an相同点都可确定一个数列，也都可以求出数列的任意一项[逐点清]第2页共91页
第 2 页 共 91 页 的通项可能是( ) A．an＝ 5n－4 2 B．an＝ 3n－2 2 C．an＝ 6n－5 2 D．an＝ 10n－9 2 解析：选 A 数列为1 2 ， 6 2 ， 11 2 ， 16 2 ， 21 2 ，.，其分母为 2，分子是首项为 1，公差为 5 的 等差数列，故通项公式为 an＝ 5n－4 2 . 2．(易错题)在数列－1,0， 1 9 ， 1 8 ，.， n－2 n 2 中，0.08 是它的第 项． 解析：依题意得 n－2 n 2 ＝ 2 25，解得 n＝10 或 n＝ 5 2 (舍)． 答案：10 重点二 数列的表示方法 1．列表法：列出表格来表示数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的关系．见下表： 序号 n 1 2 3 . n . 项 an a1 a2 a3 . an . 2．图象法：在平面直角坐标系中，数列的图象是一系列横坐标为正整数的孤立的点(n， an)． 3．通项公式法：如果数列{an}的第 n 项与它的序号 n 之间的对应关系可以用一个式子 来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．数列的通项公式实际上是一个以 N*或它 的有限子集{1,2,3，.，n}为定义域的函数的表达式． 4．递推公式法：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示， 那么这个式子叫做这个数列的递推公式． [提醒] 通项公式与递推公式的异同点 通项公式 递推公式 不同点 (1)反映项与序号的关系； (2)可根据某项的序号 n 的值，直接代 入求 an (1)反映项与项的关系； (2)可根据第一项(或前几项)通过赋值 求出数列的项，直至求出所需的 an 相同点 都可确定一个数列，也都可以求出数列的任意一项 [逐点清]
3.（多选)下列说法正确的是(A.任何数列都有通项公式B.数列的通项公式形式可能不唯一C，数列13,7,15,31，的一个通项公式为a,=2"一1D. 在数列(a)中, a=1, a,=1+二(-(n≥2)，则 as=an-13解析：选BCD不是每一个数列都有通项公式.例如，元的不足近似值精确到1,0.1,0.010.001，所构成的数列3,3.1,3.14,3.142，就没有通项公式，A错误；数列通项公式的形式可能不唯一.例如，数列-1,1，-1,1，-1,1，的通项公式可以[-1, n=2k-1,keN",写成am=（-1)"，也可以写成an=还可以写成a=cosn元，B[1,n=2k,keN,正确；观察发现数列1,3,7,15,31，各项分别加上1，变为2,4,8,16,32，，其通项为2"，故原数列的一个通项公式为am=2"-1，C正确；(- 1)"由递推公式an=1+(n≥2)知，an-11a2=1+=2ai(- 1)31a3=1+=2'az(- 1)*(4=1+3a3(-1)5_2D正确as = 1 +a4-3'重点三数列的函数性质数列是特殊的函数，由数列的项与项数之间构成特殊的函数关系可知，数列的通项am与n的关系公式就是函数x)的解析式，所以根据函数关系式得出数列的通项公式是重要途径，这样用函数的思想方法去解决数列问题很常用[逐点清]-8n，判断数列(a)的单调性4.已知数列(an的通项公式为an=）2Grn-8) ~-5.n2-8n则an+1-an=2(n + 1)2 - 8(n + 1) - (解：根据题意可知a，第3页共91页
第 3 页 共 91 页 3．(多选)下列说法正确的是( ) A．任何数列都有通项公式 B．数列的通项公式形式可能不唯一 C．数列 1,3,7,15,31，.的一个通项公式为 an＝2 n－1 D．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋ (－1) n an－1 (n≥2)，则 a5＝ 2 3 解析：选 BCD 不是每一个数列都有通项公式．例如，π 的不足近似值 精确到 1,0.1,0.01,0.001，.所构成的数列 3,3.1,3.14,3.142，.就没有通项公式，A 错误； 数列通项公式的形式可能不唯一．例如，数列－1,1，－1,1，－1,1，.的通项公式可以 写成 an＝(－1)n，也可以写成 an＝ －1，n＝2k－1，k∈N*， 1，n＝2k，k∈N*， 还可以写成 an＝cos nπ，B 正确； 观察发现数列 1,3,7,15,31，.各项分别加上 1，变为 2,4,8,16,32，.，其通项为 2 n，故 原数列的一个通项公式为 an＝2 n－1，C 正确； 由递推公式 an＝1＋ (－1) n an－1 (n≥2)知， a2＝1＋ 1 a1 ＝2， a3＝1＋ (－1) 3 a2 ＝ 1 2 ， a4＝1＋ (－1) 4 a3 ＝3， a5＝1＋ (－1) 5 a4 ＝ 2 3 ，D 正确． 重点三 数列的函数性质 数列是特殊的函数，由数列的项与项数之间构成特殊的函数关系可知，数列的通项 an 与 n 的关系公式就是函数 f(x)的解析式，所以根据函数关系式得出数列的通项公式是重要途 径，这样用函数的思想方法去解决数列问题很常用． [逐点清] 4．已知数列{an}的通项公式为 an＝ 1 2 n 2－8n，判断数列{an}的单调性． 解：根据题意可知 an＝ 1 2 n 2－8n，则 an＋1－an＝ 1 2 (n＋1)2－8(n＋1)－ 1 2 n 2－8n ＝n－ 15 2
由数列的定义域为正整数集可知当n0，数列(an)是递增数列.[记结论提速度][记结论]1.若数列(an)的前n项和为Ss，通项公式为an[S1, n=1,则an=[S,-S,-1,n≥2,nEN*Jan≥an-1,[an≤an-1,2.在数列(an)中，若an最大,则(n≥2，nEN)；若aa最小，则[an≥an+Lan≤an+1(n≥2, nEN').[提速度]1.已知数列(an的前n项和S,=n2+1，则an=解析：当n=1时，al=Si=2当n≥2时，a,=S, - Sn-1=n +1 - [(n - 1)2 +1]= 2n - 1 ,a1=2不满足上式[2, n=1,故an=[2n-1,n≥2,nEN*[2, n=1,答案：[2n-1, n≥2, nEN2.数列(an)中，an=一n2+11n(nEN)，则此数列最大项的值是[an≥aa-1,解析：若an最大，则[an≥an+1,[ - n2 +11n≥ -(n - 1)2 +11(n - 1) ,即[- n2+ 11n≥ -(n+ 1)2+ 11(n+ 1),解得5≤n≤6.nEN，当n=5或n=6时，a取最大值30答案：30共91页第4页
第 4 页 共 91 页 由数列的定义域为正整数集可知，当 n0，数列{an}是递增数列． [记结论·提速度] [记结论] 1．若数列{an}的前 n 项和为 Sn，通项公式为 an， 则 an＝ S1，n＝1， Sn－Sn－1，n≥2，n∈N* . 2．在数列{an}中，若 an最大，则 an≥an－1， an≥an＋1 (n≥2，n∈N* )；若 an最小，则 an≤an－1， an≤an＋1 (n≥2，n∈N* )． [提速度] 1．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n 2＋1，则 an＝ . 解析：当 n＝1 时，a1＝S1＝2；当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝n 2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1， a1＝2 不满足上式． 故 an＝ 2，n＝1， 2n－1，n≥2，n∈N* . 答案： 2，n＝1， 2n－1，n≥2，n∈N* 2．数列{an}中，an＝－n 2＋11n(n∈N* )，则此数列最大项的值是 ． 解析：若 an最大，则 an≥an－1， an≥an＋1， 即 －n 2＋11n≥－(n－1) 2＋11(n－1)， －n 2＋11n≥－(n＋1) 2＋11(n＋1)， 解得 5≤n≤6. ∵n∈N*，∴当 n＝5 或 n＝6 时，an取最大值 30. 答案：30
考点分类突破理解透规律明变化究其本课堂讲练考点一由an与S,的关系求通项an[师生共研过关][例1](1)已知数列(a的前n项和S,=2"一3，则数列(an的通项公式是1.2(2)已知数列(an)的前n项和Sa=+，则(a)的通项公式a,=34m+(3)已知数列a满足ai十2a2十3a3十十na=2"，则a=[解析](1)当n=1时,ai=Si=2-3=-1;当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2″-3)-(2″-1-3)=2"-2m-1=2″-1.当n=1时不满足，故1,n=1,12n≥21..2，所以a=1;当n≥2时，ag=S,-Sh-1=3an3n-1,(2)当n=1时，al=S1=3a1+,所以“=、1(.).1，所以数列(a)为首项a=1，公比q=的等比数列，故an=(2an-1(3)当n=1时，由已知，可得ai=2=2；:a+2a+3a3+.+nan=2",?故a1+2a2+3a3++(n-1)an-1=2"-1(n≥2)，②由①—②得n,=2"—2″-1=2″-12n-1..ann显然当n=1时不满足上式.[2, n=1,2#-1..an=3[n, n≥2.-1,n=1[答案] (1)an-1, n≥22m~[2, n=1,(3)/ 2m-1，n≥2第5页共91页
第 5 页 共 91 页 由 an与 Sn的关系求通项 an [师生共研过关] [例 1] (1)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝2 n－3，则数列{an}的通项公式是 ； (2)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝ 1 3 an＋ 2 3 ，则{an}的通项公式 an＝ ； (3)已知数列{an}满足 a1＋2a2＋3a3＋.＋nan＝2 n，则 an＝ . [解析] (1)当 n＝1 时，a1＝S1＝2－3＝－1； 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－3)－(2n－1－3)＝2 n－2 n－1＝2 n－1 .当 n＝1 时不满足，故 an＝ －1，n＝1， 2 n－1，n≥2. (2)当 n＝1 时，a1＝S1＝ 1 3 a1＋ 2 3 ，所以 a1＝1；当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝ 1 3 an－ 1 3 an－1， 所以 an an－1 ＝－ 1 2 ，所以数列{an}为首项 a1＝1，公比 q＝－ 1 2 的等比数列，故 an＝ － 1 2 n－1 . (3)当 n＝1 时，由已知，可得 a1＝2 1＝2； ∵a1＋2a2＋3a3＋.＋nan＝2 n，① 故 a1＋2a2＋3a3＋.＋(n－1)an－1＝2 n－1 (n≥2)，② 由①－②得 nan＝2 n－2 n－1＝2 n－1， ∴an＝ 2 n－1 n . 显然当 n＝1 时不满足上式． ∴an＝ 2，n＝1， 2 n－1 n ，n≥2. [答案] (1)an＝ －1，n＝1， 2 n－1，n≥2 (2) － 1 2 n－1 (3) 2，n＝1， 2 n－1 n ，n≥2
[解题技法]1.已知S,求a的3个步骤(1)先利用ai=Si求出al;(2)用n-1替换S,中的n得到一个新的关系利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时a.的表达式；(3)注意检验n=1时的表达式是否可以与n≥2时的表达式合并。2.S.与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化(1)利用an=Sm-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn，Sn-1的关系式，再求解；(2)利用S-S-1=a(n≥2)转化为只含am，an-的关系式，再求解.[跟踪训练]1.数列(an的前n项和S,=2n2-3n(nEN)，若p-q=5，则ap—a,=（）A. 10B. 15D. 20C. 5解析：选D当n≥2时,am=S,-Sn-1=2n2-3n-[2(n-1)-3(n-1)]=4n-5;当n=1时，a1=S=-1，符合上式，所以an=4n-5，所以ap-a,=4(p-q)=20.2.已知数列(an)的前n项和S,=(一1)"+1-n，则as+a6=an=解析: as + a6=S - S4=( - 6) -(- 4)= - 2.当n=1时，1=Si=1;当n≥2时,an=Sh - Sn-1=(- 1)n+I-n -( - 1)"-(n - 1)=( - 1)"+1 [n + (n - 1)]=( - 1)*+1-(2n - 1) ,又也适合于此式，所以 a,=(- 1)"+1.(2n - 1) .答案：—2(—1)a+1.(2n-1)老点由递推关系求通项公式第6页共91页
第 6 页 共 91 页 [解题技法] 1．已知 Sn求 an的 3 个步骤 (1)先利用 a1＝S1 求出 a1； (2)用 n－1 替换 Sn中的 n 得到一个新的关系，利用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当 n≥2 时 an的表达式； (3)注意检验 n＝1 时的表达式是否可以与 n≥2 时的表达式合并． 2．Sn与 an关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化． (1)利用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含 Sn，Sn－1 的关系式，再求解； (2)利用 Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含 an，an－1 的关系式，再求解． [跟踪训练] 1．数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n 2－3n(n∈N* )，若 p－q＝5，则 ap－aq＝( ) A．10 B．15 C．－5 D．20 解析：选 D 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n 2－3n－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5；当 n ＝1 时，a1＝S1＝－1，符合上式，所以 an＝4n－5，所以 ap－aq＝4(p－q)＝20. 2．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝(－1)n＋1 ·n，则 a5＋a6＝ ，an＝ . 解析：a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2. 当 n＝1 时，a1＝S1＝1； 当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1 ·n－(－1)n ·(n－1) ＝(－1)n＋1 ·[n＋(n－1)] ＝(－1)n＋1 ·(2n－1)， 又 a1 也适合于此式， 所以 an＝(－1)n＋1 ·(2n－1)． 答案：－2 (－1)n＋1 ·(2n－1) 由递推关系求通项公式
[师生共研过关][例2]设数列(an中，ai=2，an+1=a十n十1，则a,=[解析】由条件知aa+1-an=n+1.则 an = (a2 - al) + (a3 - a2) + (a4 - a3) + *" + (an - an-1) + a1=(2 +3 + 4+ *" + n) +2=n°+n+22n2+n+2又a=2适合上式，故a=2n2+n+2[答案]2[对点变式]1.(变条件)若将“an+1=an+n+1”改为“au+1=+{a"，如何求解?解：：an+1=an，a1=2,..a,0.n+1an+1ann+1nan-1ag-2432..an=aaza1an-1an-2an-3n-1n-2n-312.2·2=nn2n-1n-2又=2适合上式，故4,=元2.(变条件)若将“an+1=an十n+1”改为“an+1=2an+3”，如何求解？解：设递推公式an+1=2an+3可以转化为an+1-t=2(aa-t)，即an+1=2an-t，解得t= - 3.故原式可化为am+1+3=2（a+3）：bn+1an+1+3令b=a,+3，则bi=a1+3=5，且= 2.ban+3所以(bn）是以5为首项，2为公比的等比数列。所以bh=5×2"-1，故an=5×2-1-3.第7页共91页
第 7 页 共 91 页 [师生共研过关] [例 2] 设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则 an＝ . [解析] 由条件知 an＋1－an＝n＋1. 则 an＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋.＋(an－an－1)＋a1＝(2＋3＋4＋.＋n)＋2＝ n 2＋n＋2 2 . 又 a1＝2 适合上式，故 an＝ n 2＋n＋2 2 . [答案] n 2＋n＋2 2 [对点变式] 1.(变条件)若将“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝ n n＋1 an”，如何求解？ 解：∵an＋1＝ n n＋1 an，a1＝2，∴an≠0. ∴ an＋1 an ＝ n n＋1 . ∴an＝ an an－1 · an－1 an－2 · an－2 an－3 ·.· a3 a2 · a2 a1 ·a1 ＝ n－1 n · n－2 n－1 · n－3 n－2 ·.· 1 2 ·2＝ 2 n . 又 a1＝2 适合上式，故 an＝ 2 n . 2.(变条件)若将“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝2an＋3”，如何求解？ 解：设递推公式 an＋1＝2an＋3 可以转化为 an＋1－t＝2(an－t)，即 an＋1＝2an－t，解得 t ＝－3. 故原式可化为 an＋1＋3＝2(an＋3)． 令 bn＝an＋3，则 b1＝a1＋3＝5，且 bn＋1 bn ＝ an＋1＋3 an＋3 ＝2. 所以{bn}是以 5 为首项，2 为公比的等比数列． 所以 bn＝5×2 n－1，故 an＝5×2 n－1－3
[解题技法]由数列递推式求通项公式的常用方法形如a.=pa1+m(p、m为常数，p±1，m0）时，（构造法））构造等比数列形如a,=aa-Itf(n)((f(n)可求和）时，用累加法累加法）求解果积[形如-a)(n)可来积)时,用果积法求解)【提醒】利用累乘法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到"漏掉aT而导致错误；二是根据连乘求出a,之后，不注意检验ai是否成立。[跟踪训练]1.已知数列(an中，a1=1中，an+1=an十n(nEN)中，则a4=,an=解析：由题意可得ai=1，an+1-an=n，则 a,= ai + (a2 - ai) + (a - a2)+*** + (an - an- 1)n(n-1)n2-n+2=1+[1+2+3+...+(n-1)]=1+22n?-n+2又a1=1也适合此式，故am=242 - 4 + 2则a4==7.2n2-n+2答案：722.设数列(an满足a=1，an+1=2"an，则通项公式anan =2m-(n≥2) ,解析：由an+1=2"am，得an-1n(n- 1)anan-1az-a1 =2"-1.2-2....2-1 =21+2+3+*+(n.1);所以an2aian-1an-2n(n - 1)又1=1适合上式，故a=22(n-1)答案：22第8页共91页
第 8 页 共 91 页 [解题技法] 由数列递推式求通项公式的常用方法 [提醒] 利用累乘法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到a2 a1 ，漏掉 a1 而导致错误；二是根据连乘求出 an之后，不注意检验 a1 是否成立． [跟踪训练] 1．已知数列{an}中，a1＝1 中，an＋1＝an＋n(n∈N* )中，则 a4＝ ，an＝ . 解析：由题意可得 a1＝1，an＋1－an＝n， 则 an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋.＋(an－an－1) ＝1＋[1＋2＋3＋.＋(n－1)]＝1＋ n(n－1) 2 ＝ n 2－n＋2 2 ， 又 a1＝1 也适合此式，故 an＝ n 2－n＋2 2 ， 则 a4＝ 4 2－4＋2 2 ＝7. 答案：7 n 2－n＋2 2 2．设数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝2 nan，则通项公式 an＝ . 解析：由 an＋1＝2 nan，得 an an－1 ＝2 n－1 (n≥2)， 所以 an＝ an an－1 · an－1 an－2 ·.· a2 a1 ·a1＝2 n－1 ·2n－2 ·.·2·1＝2 1＋2＋3＋.＋(n－1)＝2 n(n－1) 2 . 又 a1＝1 适合上式，故 an＝2 n(n－1) 2 . 答案：2 n(n－1) 2
考点三数列的函数特征[定向精析突破]考向1数列的周期性[例3]已知数列(an中，ai=1，a2=2，且anam+2=n+1(nEN)，则a2020的值为(A. 2B. 111D.C.24[解析】因为anan+2=an+i(nEN')，由a=1，2=2，得3=2，由a2=2，(3=2，得a4=11由4=2, 4=1,得4s=2,112,得=2,由a4=1,as=-I由as =2得a7=1,2.46=1由=2,=1,得=2,由此推理可得数列（an是周期为6的数列，所以a2020=4=1，故选B[答案] B[解题技法]解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值，考向2数列的单调性(最值)[2"-1,n≤4,[例4]数列(an)的通项公式为an=5(nEN),若as是(a)中的最[-n2+(a-1)n, n≥5大值，则a的取值范围是[解析】当n≤4时，an=2"-1单调递增，因此n=4时取最大值，a4=24-1=15；当n≥5时，an=-n2+(a-1)n第9页共91页
第 9 页 共 91 页 数列的函数特征 [定向精析突破] 考向 1 数列的周期性 [例 3] 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且 an·an＋2＝an＋1(n∈N* )，则 a2 020 的值为( ) A．2 B．1 C． 1 2 D． 1 4 [解析] 因为 an·an＋2＝an＋1(n∈N* )， 由 a1＝1，a2＝2，得 a3＝2， 由 a2＝2，a3＝2，得 a4＝1， 由 a3＝2，a4＝1，得 a5＝ 1 2 ， 由 a4＝1，a5＝ 1 2 ，得 a6＝ 1 2 ， 由 a5＝ 1 2 ，a6＝ 1 2 ，得 a7＝1， 由 a6＝ 1 2 ，a7＝1，得 a8＝2， 由此推理可得数列{an}是周期为 6 的数列， 所以 a2 020＝a4＝1，故选 B. [答案] B [解题技法] 解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 考向 2 数列的单调性(最值) [例 4] 数列{an}的通项公式为 an＝ 2 n－1，n≤4， －n 2＋(a－1)n，n≥5 (n∈N* )，若 a5 是{an}中的最 大值，则 a 的取值范围是 ． [解析] 当 n≤4 时，an＝2 n－1 单调递增， 因此 n＝4 时取最大值，a4＝2 4－1＝15； 当 n≥5 时，an＝－n 2＋(a－1)n
因为as是(an)中的最大值，a-1≤5.5,2所以(-25 +5(a-)≥15 ,解得9≤a≤12.所以a的取值范围是[9,12][答案] [9,12][解题技法]解决数列的单调性问题的3种方法作差比较法根据an+1-a的符号判断数列(an)是递增数列、递减数列或是常数列an+1作商比较法根据一(an>0或an0)，运用基本不等式得.x)≥6/10，当且仅当x=3V10时等[解析]令f(x)=x+X号成立。11190·所以因为an=，由于nEN，不难发现当n=9或n=10时，an=906V10n+n+nh11g最大.[答案] C[解题技法]第10页共91页
第 10 页 共 91 页 ＝－ n－ a－1 2 2＋ (a－1) 2 4 . 因为 a5 是{an}中的最大值， 所以 a－1 2 ≤5.5， －25＋5(a－1)≥15， 解得 9≤a≤12.所以 a 的取值范围是[9,12]． [答案] [9,12] [解题技法] 解决数列的单调性问题的 3 种方法 作差比较法 根据 an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或是常数列 作商比较法 根据 an＋1 an (an>0 或 an<0)与 1 的大小关系进行判断 数形结合法 结合相应函数的图象直观判断 考向 3 数列的最大(小)项 [例 5] 数列{an}的通项 an＝ n n 2＋90，则数列{an}中的最大项是( ) A．3 10 B．19 C． 1 19 D． 10 60 [解析] 令 f(x)＝x＋ 90 x (x＞0)，运用基本不等式得 f(x)≥6 10，当且仅当 x＝3 10时等 号成立． 因为 an＝ 1 n＋ 90 n ，所以 1 n＋ 90 n ≤ 1 6 10 ，由于 n∈N*，不难发现当 n＝9 或 n＝10 时，an＝ 1 19最大． [答案] C [解题技法]