S7．循环群7.1例子7.2定义7.3基本定理，7.4如何研究代数系统
§7．循环群 • 7.1 例子 • 7.2 定义 • 7.3 基本定理 • 7.4 如何研究代数系统
7.1例子例1、n次分园域U,={xx" =1)=(...)例2、整数加群Z.启示：例1群的元都是G的某一个固定元a的乘方。例2也是这个群的全体的元就都是1的乘方：这一点，假如把G的代“”来表示，就很容易看出．我们知道数运算不用十而用1m的逆元果一1一假定m是任意正整数”那么m =1+1+..+1=1o1....01=1" -m=(-1)+(-1)+.(-1)=(-1) (-1) .(-1)--这样G的俩等于零的元都是1的乘方：但0是G的单位元，照定义
7.1例子 例1、n次分园域 例2、整数加群Z． 启示： 例1群的元都是G的某一个固定元a的乘方。例2 也 是,这个群的全体的元就都是１的乘方．这一点，假如把G的代 数运算不用＋而用 “ ” 来表示，就很容易看出．我们知道 １ 的逆元是－１．假定m是任意正整数，那么 这样G的不等于零的元都是１的乘方．但０是G的单位元，照 定义 { 1} {.} n U x x n = = = 1 1 1 1 1 1 1 m m m m = + + + = = ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 m m m m − − = − + − + + − = − − − = 0 1m =
7.2定义定义，若一个群G的每一个元G都是的某一个固定元a的乘方，我们就把G叫做循环群；我们也说，G是由a元所生成的并且用符号三(a来表示．a叫做G的一个生成元。问题：a的任意乘方a"eG(nZ)属于G吗？...G=(a)={α"neZ)={.a-,a-",e,a,α2..，它到底包含多少个互异的元素？
定义 若一个群G的每一个元G都是的某一个固定元a的乘 方，我们就把G叫做循环群；我们也说，G是由a元所生成的 ，并且用符号 来表示．a叫做G的一个生成元。 G a = ( ) 7.2定义 问题: a的任意乘方 属于G吗?. ，它到底包含多 少个互异的元素? ( ) n a G n Z 2 1 1 2 ( ) { } { , , , , } n G a a n Z a a e a a − − = = =
我们再举一个重要的例，例3G包含模n的n个剩余类：我们要规定一个G的代数运算,我们把这个代数运算叫做加法，并用普通表示加法的符.(1)号来表示,规定：[a]+[b]=[a+b]首先，必须证明这样规定的“十”不会产生歧义（复习等价类[a]=-[a] [b']=[b]及剩余[类)b e[b][a]]=[a+b]照我们的规定：[αa +b]去[a. +62]，那“十”就不是如果它们的右端不一样：一种代数运算了。我们将证明这种情形不会发生
我们再举一个重要的例． 例3 G包含模n的n个剩余类．我们要规定一个G的代数运 算,我们把这个代数运算叫做加法，并用普通表示加法的符 号来表示,规定： .（1） 首先,必须证明这样规定的“＋”不会产生歧义（复习等 价类 及剩余类）。 ， 那 ， 照我们的规定： .（2） 如果它们的右端不一样： ，那“＋”就不是 一种代数运算了。我们将证明这种情形不会发生。 . [ ] [ ] [ ] a b a b + = + ' a a [ ] ' b b [ ] ' [ ] [ ] a a = ' [ ] [ ] b b = ' ' ' ' [ ] [ ] [ ] a b a b + = + ' ' [ ] [ ] a b a b + +
(1)(2) [a]+([b]+[cD =[a]+[b+c]=[a+(b+c)] =[a+b+c]([a]+[bD)+[cl=[a+b]=[cl=[(a+b)+cl =[a+b+c][al+([b]+[cD) = ([a]+[b) +[c](3)[0] +[a] = [0 + a] =[a](4)[-al+[al=[-a+a]=[0]所以对于这个加法来说G作成一个群．这个群叫做模n的剩余类加群，用Z，。以n=4介绍Z，的乘法表
（1）. （2） （3） （4） 所以对于这个加法来说G作成一个群．这个群叫做模n的剩余 类加群, 用 。 以n=4 介绍 的乘法表 ([ ] [ ]) [ ] [ ] [ ] [( ) ] [ ] a b c a b c a b c a b c + + = + = = + + = + + [0] [ ] [0 ] [ ] + = + = a a a [ ] [ ] [ ] [0] − + = − + = a a a a Z n Z n [ ] ([ ] [ ]) [ ] [ ] [ ( )] [ ] a b c a b c a b c a b c + + = + + = + + = + + [ ] ([ ] [ ]) ([ ] [ ]) [ ] a b c a b c + + = + +
a = 0(or 0)7.3基本定理例4设a=n>0，那么α=αi..?设α=0(or )，那么α =α←..?现在回答：循环群G=(a)={a"|neZ)=.a?,a",ea,a..}，包含多少个互异的元素？它们和上面的两种循环群的例子一致。定理：1假定G是一个由元a所生成的循环群G=(a)=(a"neZ)=t..a,a',e,a,a?..}那么G的构造完全可以由a的阶来决定：(1)如果a=0(or )），那么G=Z(2)[a=n>0，那么G=Z
7.3基本定理 a or = 0( ) 定 理 : 假定G是一个由元a所生成的循环群 ， 那么G的构造完全可以由a的阶来决定： (1)如果 ，那么 (2) ，那么 2 1 1 2 ( ) { } { , , , , } n G a a n Z a a e a a − − = = = a or = 0( ) G Z a n = 0 G Z n 例4 设 ，那么 设 ，那么 现在回答: 循环群 ，包含多少个互异 的元素? . 它们和上面的两种循环群的例子一致． a n = 0 .? i j a a = a or = 0( ) .? i j a a = 2 1 1 2 ( ) { } { , , , , } n G a a n Z a a e a a − − = = =
证明?分两种情况(1)第一个情形：a的阶无限。构造映射f:Z,→G，f(k)=αk1)2),3)4),所以G= Z(2)第二种情形：a的阶是n.定义映射:f:Z→G f([k))=αk首先，必须证明映射的合理性；其次，1)2),3)4)...所以G=Z
证明 分两种情况 (1)第一个情形：a的阶无限。构造映射 ， 1). 2). 3). 4).所以 (2)第二种情形：a的阶是n. 定义映射: ， 首先,必须证明映射的合理性;其次, 1). 2). 3). 4).所以 : n f Z G → ( ) k f k a = G Z G Z n f Z G : → ([ ]) k f k a =
7.4如何研究代数系统1.分类：同构的分成同一类,存在及数量Ⅱ.每一类的内部结构川I.表示：对于循环群的存在问题，数量问题，构造问题都已能解答，循环群已完全在我们的掌握之中．这一节的研讨是近世代数的研讨的一个缩影：在近世代数里，不管是在群论单还是在其它部门单，我们研究一种代数系统就是要解决这一种系统的存在问题，数量问题和构造问题：假如我们对于这三个问题能得到如同我们对于循环群所得到的这样完美的解答，我们的目的就算达到了，作业：P61:3-5
7.4 如何研究代数系统 I.分类: 同构的分成同一类,存在及数量 II. 每一类的内部结构 III.表示: 对于循环群的存在问题，数量问题，构造问题都已能解 答，循环群已完全在我们的掌握之中．这一节的研讨是近 世代数的研讨的一个缩影．在近世代数里，不管是在群论 里还是在其它部门里，我们研究一种代数系统就是要解决 这一种系统的存在问题，数量问题和构造问题．假如我们 对于这三个问题能得到如同我们对于循环群所得到的这样 完美的解答，我们的目的就算达到了． 作业: P61:3-5