第七章立体几何第一节空间几何体的结构特征、表面积及体积[备考领航]课程标准解读关联考点核心素养1.利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生1．空间几何体的结构特1.直观想活中简单物体的结构。征象.2。了解球、柱、锥、台的表面积和体积的计2.数学建2.空间几何体的表面积，算公式（不要求记忆）：模.3．空间几何体的体积.3.会用斜二侧法画出简单空间图形（长方体、4.与球有关的切、接问题3．数学运算球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的直观图知识逐点夯实重点准逐点清：结论要牢记课前自修[重点准·逐点清]重点一空间几何体的结构特征1.多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台ELBACAe图形E底面互相平行且相等多边形互相平行且相似相交于二点，侧棱互相平行且相等延长线交于一点但不一定相等侧面形状平行四边形三角形梯形第1页共138页
第 1 页 共 138 页 第七章 立体几何 第一节 空间几何体的结构特征、表面积及体积 [备考领航] 课程标准解读 关联考点 核心素养 1．利用实物模型、计算机软件观察大量空间 图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体 的结构特征，并能运用这些特征描述现实生 活中简单物体的结构． 2．了解球、柱、锥、台的表面积和体积的计 算公式(不要求记忆)． 3．会用斜二侧法画出简单空间图形(长方体、 球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的直观 图 1．空间几何体的结构特 征． 2．空间几何体的表面积． 3．空间几何体的体积． 4．与球有关的切、接问题 1．直观想 象． 2．数学建 模． 3．数学运算 [重点准·逐点清] 重点一 空间几何体的结构特征 1．多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且相等 多边形 互相平行且相似 侧棱 互相平行且相等 相交于一点， 但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形
[提醒] 特殊的四棱柱底面为棱垂真底面为平行六面体四棱柱直平行六面体平行四边形于底面矩形底面则棱与底面正方体长方体正四棱柱边长相等边长相等上述四棱柱有以下集合关系：正方体正四棱柱长方体（直平行六面体平行六面体[四棱柱}。2．旋转体的结构特征球名称圆柱圆锥圆台图形o互相平行且长度相等且延长线交母线相等，垂直于二一点相交于二点于底面全等的全等的圆轴截面全等的矩形等腰三角形等腰梯形侧面矩形扇形扇环展开图[提醒]球的截面的性质(1)球的任何截面都是圆面；（2）球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面；(3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r=R?一[逐点清]1.(多选)下列说法正确的是(A：棱柱的侧棱长都相等B.棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面C.棱台的侧面是等腰梯形D.用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面解析：选ADA正确；B不正确，例如六棱柱的相对侧面也互相平行；C不正确，棱台的侧棱长可能不相等；D正确，用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面，故选A。D.第2页共138页
第 2 页 共 138 页 [提醒] 特殊的四棱柱 四棱柱 ――→ 底面为 平行四边形 平行 六面体 ――→ 侧棱垂直 于底面 直平行 六面体 ――→ 底面为 矩形 长方体 ――→ 底面 边长相等 正四棱柱 ――→ 侧棱与底面 边长相等 正方体 上述四棱柱有以下集合关系：{正方体} {正四棱柱} {长方体} {直平行六面体} {平行 六面体} {四棱柱}． 2．旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且 相等，垂直 于底面 长度相等且 相交于一点 延长线交 于一点 轴截面 全等的矩形 全等的 等腰三角形 全等的 等腰梯形 圆 侧面 展开图 矩形 扇形 扇环 [提醒] 球的截面的性质 (1)球的任何截面都是圆面； (2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面； (3)球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r 的关系为 r＝ R 2－d 2 . [逐点清] 1．(多选)下列说法正确的是( ) A．棱柱的侧棱长都相等 B．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面 C．棱台的侧面是等腰梯形 D．用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面 解析：选 AD A 正确；B 不正确，例如六棱柱的相对侧面也互相平行；C 不正确，棱 台的侧棱长可能不相等；D 正确，用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面，故选 A、 D
（填2.（必修2第8贡A组1(1)惠改端)在如图所示的几何体中，是棱柱的为写所有正确的序号)?@??解析：由棱柱的结构特征可知③③是棱柱，答案：?重点二直观图1.画法：常用斜二测画法。2.规则：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x'轴、y'轴的夹角为45或135°)，z轴与x轴和y轴所在平面垂直；(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴。平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于轴的线段长度在直观图中变为原来的一半。[逐点清]3.（必修2第19页练习3题改端）如图，直观图所表示的平面图形是)(A.正三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形解析：选D由直观图中A'CIly'轴，B'C!IIx'轴，还原后ACIly轴，BCIx轴，所以ABC是直角三角形，故选D重点三空间几何体的表面积与体积1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图2元0侧面S■台制Sm性例=2元lS国使侧=元l积公式(r+r [提醒】（1)几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和；第3页共138页
第 3 页 共 138 页 2．(必修 2 第 8 页 A 组 1(1)题改编)在如图所示的几何体中，是棱柱的为 ．(填 写所有正确的序号) 解析：由棱柱的结构特征可知③⑤是棱柱． 答案：③⑤ 重点二 直观图 1．画法：常用斜二测画法． 2．规则：(1)原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为 45°(或 135°)，z′轴与 x′轴和 y′轴所在平面垂直； (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于 x 轴和 z 轴的线 段在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． [逐点清] 3.(必修 2 第 19 页练习 3 题改编)如图，直观图所表示的平面图形是 ( ) A．正三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 解析：选 D 由直观图中 A′C′∥y′轴，B′C′∥x′轴，还原后 AC∥y 轴，BC∥x 轴，所以△ABC 是直角三角形，故选 D. 重点三 空间几何体的表面积与体积 1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面 展开图 侧面 积公式 S 圆柱侧＝2πrl S 圆锥侧＝πrl S 圆台侧＝ π(r＋r′)l [提醒] (1)几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面 积之和；
(2)圆台、圆柱、圆锥的转化当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱：当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，由此可得：S圆柱侧=2元l=S圆台侧=元(r+r')/=s圆锥侧=元rl.2.空间几何体的表面积与体积公式名称体积表面积几何体柱体（棱柱和圆柱）V=ShS 表国积=S m+2S 离锥体（棱锥和圆锥）S表西积=S#十S素V=jsh台体（棱台和圆台）S 表画积=S m+S上+S下S++S-ST)h4球S=4元R?V=SnR[逐点清]4.（必修2第27页练习1题改编）已知圆锥的表面积等于12元cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为（A.1cmB.2cm3C.3cmD.cm解析：选B由题意，得表=元+元l=元+元r2r=3元户=12元，得=4，所以r=2(cm) .5.（必修2第37贡2题改编）一个半径为21的球形冰块融化在一个半径为14的圆柱形的水桶内，则水面的高度为4元×213解析：设水面的高度为h，则=元×142×h，解得h=63，所以水面高度为63.答案：636.（必修2第28页A组3题改编）如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为第4页共138页
第 4 页 共 138 页 (2)圆台、圆柱、圆锥的转化 当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得 到圆锥，由此可得： S 圆柱侧＝2πrl――→ r′＝r S 圆台侧＝π(r＋r′)l――→ r′＝0 S 圆锥侧＝πrl. 2．空间几何体的表面积与体积公式 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S 表面积＝S 侧＋S 底 V＝ 1 3 Sh 台体(棱台和圆台) S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下 V＝ 1 3 (S 上＋ S 下＋ S上·S下)h 球 S＝4πR 2 V＝ 4 3 πR 3 [逐点清] 4．(必修 2 第 27 页练习 1 题改编)已知圆锥的表面积等于 12π cm2，其侧面展开图是一 个半圆，则底面圆的半径为( ) A．1 cm B．2 cm C．3 cm D． 3 2 cm 解析：选 B 由题意，得 S 表＝πr 2＋πrl＝πr 2＋πr·2r＝3πr 2＝12π，得 r 2＝4，所以 r＝ 2(cm)． 5．(必修 2 第 37 页 2 题改编)一个半径为 21 的球形冰块融化在一个半径为 14 的圆柱形 的水桶内，则水面的高度为 ． 解析：设水面的高度为 h，则4π×213 3 ＝π×142×h，解得 h＝63，所以水面高度为 63. 答案：63 6.(必修 2 第 28 页 A 组 3 题改编)如图，将一个长方体用过相邻三条棱 的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比 为 ．
1解析：设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积为Vi=x-ax322”47111bX2c=48"abc，剩下的几何体的体积V=abc-abc=Cabc，所以V：V2=1：4748"48°答案：1：47【记结论·提速度][记结论]1.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系为SV2S 联脂恶， S 最固准=2V2S 童现用.2.几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R：①若球为正方体的外接球，则2R=V3a1②若球为正方体的内切球，则2R=a③若球与正方体的各棱相切，则2R=VZa.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R=Na+B+c;(3)正四面体内切球半径是高的，外接球半径是高的两半径之比为1：3.[提速度]A'y1.如图所示的直观图中，O'A=0'B=2，则其平面图形的面积是(）B. 4V2A. 4x1oB'C. 2V2D. 8解析：选AS原-AOB=2V2S-AOB=2V2×↓×2×2Xsin 45*=4.72．（2020·天津高考)若棱长为2V3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为)(A.12元B.24元C.36元D.144元解析：选C设外接球的半径为R，易知2R=V3×2V3=6，所以R=3，于是表面积S=4元R2=36元，故选C.3.若正四面体的棱长为a，则其内切球的半径为第5页共138页
第 5 页 共 138 页 解析：设长方体的相邻三条棱长分别为 a，b，c，它截出棱锥的体积为 V1＝ 1 3 × 1 2 × 1 2 a× 1 2 b× 1 2 c＝ 1 48abc，剩下的几何体的体积 V2＝abc－ 1 48abc＝ 47 48abc，所以 V1∶V2＝1∶47. 答案：1∶47 [记结论·提速度] [记结论] 1．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系为 S 直观图 ＝ 2 4 S 原图形，S 原图形＝2 2S 直观图． 2．几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为 a，球的半径为 R： ①若球为正方体的外接球，则 2R＝ 3a； ②若球为正方体的内切球，则 2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则 2R＝ 2a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R，则 2R＝ a 2＋b 2＋c 2； (3)正四面体内切球半径是高的1 4 ，外接球半径是高的3 4 ，两半径之比为 1∶3. [提速度] 1.如图所示的直观图中，O′A′＝O′B′＝2，则其平面图形的面 积是( ) A．4 B．4 2 C．2 2 D．8 解析：选 A S 原△AOB＝2 2S△A′O′B′ ＝2 2× 1 2 ×2×2×sin 45°＝4. 2．(2020·天津高考)若棱长为 2 3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ( ) A．12π B．24π C．36π D．144π 解析：选 C 设外接球的半径为 R，易知 2R＝ 3×2 3＝6，所以 R＝3，于是表面积 S ＝4πR 2＝36π，故选 C. 3．若正四面体的棱长为 a，则其内切球的半径为 ．
o解析：因正四面体的棱长为（，则正四面体的高为t3V6,即r=因正四面体内切球半径是高的12°K6答案：12a考点分类突破理解透规律明变化究其本课堂讲练梦点空间几何体的结构特征[基础自学过关][题组练透]1：给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥：③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等。其中正确命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3解析：选A①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线：②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱S台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等2.如图，长方体ABCD-A'B'C'D中被截去一部分，其中EHIIA'D'剩下的几何体是()A.棱台B.四棱柱C.五棱柱D.六棱柱解析：选C由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱，故选C第6页共138页
第 6 页 共 138 页 解析：因正四面体的棱长为 a，则正四面体的高为 6 3 a. 因正四面体内切球半径是高的1 4 ，即 r＝ 6 12 a. 答案： 6 12 a 空间几何体的结构特征 [基础自学过关] [题组练透] 1．给出下列命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等． 其中正确命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选 A ①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；② 不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几 何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱 台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定 相等． 2．如图，长方体 ABCDA′B′C′D′中被截去一部分，其中 EH∥A′D′.剩下的几 何体是( ) A．棱台 B．四棱柱 C．五棱柱 D．六棱柱 解析：选 C 由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱．故选 C
3.把一个半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（B. 10V3A. 10C. 10V2D. 5V3解析：选B设圆锥的底面半径为r，高为h.因为半圆的弧长等于圆锥的底面周长，半圆的半径等于圆锥的母线，所以2元r=20元，所以r=10，所以h=202－102=10V34.(2020·全国卷I）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥。以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四校锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）Vs-1V5-1B.A.2V5+1V5+1D.C.2解析：选C设正四棱锥的高为h，底面正方形的边长为2a，斜高为m，依题意得h21+ V51+ V5以m2ax2aXm，即h?=am①易知h2+a?=m?由得m=2,所以2a-2a21 + V5故选C.4.[练后悟通]空间几何体概念辨析题的常用方法紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系定义法或增加线、面等基本元素，根据定义进行判定通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个结论是错误的，只要举出一个反例反例法即可上考点空间几何体的表面积[基础自学过关]】[题组练透]1.已知圆柱的上、下底面的中心分别为01，02，过直线010的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）第7页共138页
第 7 页 共 138 页 3．把一个半径为 20 的半圆卷成圆锥的侧面，则这个圆锥的高为( ) A．10 B．10 3 C．10 2 D．5 3 解析：选 B 设圆锥的底面半径为 r，高为 h.因为半圆的弧长等于圆锥的底面周长，半 圆的半径等于圆锥的母线，所以 2πr＝20π，所以 r＝10，所以 h＝ 202－102＝10 3. 4.(2020·全国卷Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的 形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于 该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面 正方形的边长的比值为( ) A. 5－1 4 B． 5－1 2 C. 5＋1 4 D． 5＋1 2 解析：选 C 设正四棱锥的高为 h，底面正方形的边长为 2a，斜高为 m，依题意得 h 2 ＝ 1 2 ×2a×m，即 h 2＝am ①，易知 h 2＋a 2＝m2 ②，由①②得 m＝ 1＋ 5 2 a，所以m 2a ＝ 1＋ 5 2 a 2a ＝ 1＋ 5 4 .故选 C. [练后悟通] 空间几何体概念辨析题的常用方法 定义法 紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系 或增加线、面等基本元素，根据定义进行判定 反例法 通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个结论是错误的，只要举出一个反例 即可 空间几何体的表面积 [基础自学过关] [题组练透] 1．已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2，过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的 截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为( )
A. 12V2元B.12元C.8V/2元D. 10元解析：选B设圆柱的轴截面的边长为x，则由×2=8，得x=2V2：S圆柱表=2S底+S侧=2×元×（V2）2+2元×V2×2V2=12元.故选B2.(2021河南周口模拟)如图，在三棱柱ABC-ABC中，AAi工底面ABC，AB工BC，AA1=AC=2，直线AiC与侧面AAiBiB所成的角为30°则该三棱柱的侧面积为(）A. 4+4V2B.4+4V3D. 8+4V2C. 12解析：选A连接AB（图略）因为AAI底面ABC则AA1IBC又ABIBCAANAB=A,所以BCI平面AA,B,B，所以直线AC与侧面AA,B,B所成的角为ZCA,B=30°又AA1=AC=2，所以A1C=2VZ，BC=V2.又ABBC，则AB=V2，则该三棱柱的侧面积为2V2X2+2X2=4+4V2.3.已知圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：4，若母线长为10，则圆台的表面积为()A.81元B.100元C. 168元D.169元解析：选C圆台的轴截面如图，设上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为1，则它的母线长为/=h2+(R-=（42+(3)2=5r=10，所以r=2，R=8.故S侧=元(R+r)/=元(8+2)×10=100元，S表=S侧+元+元R*=100元+4元+64元=168元，4.如图，设正三棱锥S-ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO=3，则此正三棱锥的表面积为解析：如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h，过点0作OELAB，与AB交于点E，连接SE，则SELAB，SE=h'，第8页共138页
第 8 页 共 138 页 A．12 2π B．12π C．8 2π D．10π 解析：选 B 设圆柱的轴截面的边长为 x， 则由 x 2＝8，得 x＝2 2， ∴S 圆柱表＝2S 底＋S 侧＝2×π×( 2) 2＋2π× 2×2 2＝12π.故选 B. 2．(2021·河南周口模拟)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA1⊥底面 ABC，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，直线 A1C 与侧面 AA1B1B 所成的角为 30°， 则该三棱柱的侧面积为( ) A．4＋4 2 B．4＋4 3 C．12 D．8＋4 2 解析：选 A 连接 A1B(图略)．因为 AA1⊥底面 ABC，则 AA1⊥BC，又 AB⊥BC，AA1∩AB ＝A， 所以 BC⊥平面 AA1B1B，所以直线 A1C 与侧面 AA1B1B 所成的角为∠CA1B＝30°.又 AA1 ＝AC＝2，所以 A1C＝2 2，BC＝ 2.又 AB⊥BC，则 AB＝ 2，则该三棱柱的侧面积为 2 2 ×2＋2×2＝4＋4 2. 3．已知圆台的上、下底面半径和高的比为 1∶4∶4，若母线长为 10，则圆台的表面积 为( ) A．81π B．100π C．168π D．169π 解析：选 C 圆台的轴截面如图，设上底面半径为 r，下底面半径 为 R，高为 h，母线长为 l， 则它的母线长为 l＝ h 2＋(R－r) 2＝ (4r) 2＋(3r) 2＝5r＝10， 所以 r＝2，R＝8. 故 S 侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π， S 表＝S 侧＋πr 2＋πR 2＝100π＋4π＋64π＝168π. 4.如图，设正三棱锥 SABC 的侧面积是底面积的 2 倍，正三棱锥的高 SO＝3，则此正三棱锥的表面积为 ． 解析：如图，设正三棱锥的底面边长为 a，斜高为 h′，过点 O 作 OE ⊥AB，与 AB 交于点 E，连接 SE，则 SE⊥AB，SE＝h′
S侧=2S底V3153a-ha2×224..a=V3h'...SO1OE,..SO2+OE?=SEx:3 +(×/5n=h2.h*=2V3,..a=V3h*=6.S m=→+-×6=9/5,Sm=25m=18/3.S表=S侧+S底=9V3+18V3=27~3答案：27V3[练后悟通]求解几何体表面积的类型及求法求多面体只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法的表面积求多面体的表面积求旋转体可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但的表面积要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系求不规则通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的几何体的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表表面积面积考点空间几何体的体积[定向精析突破]考向1直接利用公式求体积[例1]（1)(2021·全国航一考试模拟演练圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为第9页共138页
第 9 页 共 138 页 ∵S 侧＝2S 底， ∴ 1 2 ·3a·h′＝ 3 4 a 2×2. ∴a＝ 3h′. ∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2 . ∴3 2＋ 3 6 × 3h′ 2＝h′2 . ∴h′＝2 3，∴a＝ 3h′＝6. ∴S 底＝ 3 4 a 2＝ 3 4 ×6 2＝9 3，S 侧＝2S 底＝18 3. ∴S 表＝S 侧＋S 底＝9 3＋18 3＝27 3. 答案：27 3 [练后悟通] 求解几何体表面积的类型及求法 求多面体 的表面积 只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法 求多面体的表面积 求旋转体 的表面积 可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但 要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系 求不规则 几何体的 表面积 通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的 柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表 面积 空间几何体的体积 [定向精析突破] 考向 1 直接利用公式求体积 [例 1] (1)(2021·全国统一考试模拟演练)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为 10 的 球面上，其上、下底面半径分别为 4 和 5，则该圆台的体积为 ．
(2)(2021·江苏肃通联考)已知正三棱柱ABC-AiBiCI的各棱长均为2,点D在棱AA上，则三棱锥D-BB,G的体积为【解析】（1)截面图如图所示，因为圆台下底面半径为5，球的直径为10，则圆台的下底面为过球心的截面，OC=0B=5，0C=4，00' C="则圆台的高为3，V=h(S1+SS2+S2)=25元+20元+16元2=61元.(2)如图，取BC中点O，连接A0.：正三棱柱ABC-AiBiC的各棱长均为2，：AC=2，0C=1，则A0=V3：AA//平面BCCBI，点D到平面BCCiBi的距离为V31又：S△BBIG-×2×2=2，22V3...VD-BBICIX2XV32V3[答案]（1)61元(2)3考向2割补法求体积[例2]如图，在直角梯形ABCD中，AD=AB=4，BC=2，沿中位线EF折起，使得ZAEB为直角，连接AB，CD，则所得的几何体的体积为D第10页美共138页
第 10 页 共 138 页 (2)(2021·江苏南通联考)已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的各棱长均为 2， 点 D 在棱 AA1 上，则三棱锥 DBB1C1 的体积为 ． [解析] (1)截面图如图所示，因为圆台下底面半径为 5，球的直径 为 10，则圆台的下底面为过球心的截面，OC＝OB＝5，O′C＝4，∠ OO′C＝ π 2 ，则圆台的高为 3，V＝ 1 3 h(S1＋ S1S2＋S2)＝25π＋20π＋16π ＝61π. (2)如图，取 BC 中点 O，连接 AO. ∵正三棱柱 ABCA1B1C1 的各棱长均为 2，∴AC＝2，OC＝1，则 AO＝ 3. ∵AA1∥平面 BCC1B1， ∴点 D 到平面 BCC1B1 的距离为 3. 又∵S△BB1C1＝ 1 2 ×2×2＝2， ∴VDBB1C1＝ 1 3 ×2× 3＝ 2 3 3 . [答案] (1)61π (2) 2 3 3 考向 2 割补法求体积 [例 2] 如图，在直角梯形 ABCD 中，AD＝AB＝4，BC＝2，沿中位线 EF 折起，使得 ∠AEB 为直角，连接 AB，CD，则所得的几何体的体积为 ．