s5．变换群5.1引言5.2变换群5.3Cayley定理
§５．变换群 • 5.1 引言 • 5.2 变换群 • 5.3 Cayley 定理
5.1引言集合A到A自己的映射称为变换变换是一个特殊的映射,所以关于映射的知识全部适用于变换,比如单、满变换、一一变换,变换的乘法(合成)关于记号：设f是A上变换.仍然使用f : a→a=f(a)对于本书规定的变换的一种特殊的符号！f:a→a=af不采用
5.1 引言 ⚫集合 到 自己的映射称为变换． 变换是一个特殊的映射,所以关于映射的知识全部 适用于变换,比如单、满变换、一一变换,变换的乘 法(合成) A A ⚫关于记号: 设 是 上变换,仍然使用 ： 对于本书规定的变换的一种特殊的符号: ： 不采用. f A f ' a a f a → = ( ) f ' f a a a → =
两种记号有什么区别？A有n个元素，A上的变换有多少个？一一变换有多少个？●记A4=(flf是上的变换),对照群的定义,回答它构成群吗？如果不，附加什么条件？
两种记号有什么区别? ⚫ 有n个元素, 上的变换有多少个? 一一变换有 多少个? ⚫记 ,对照群的定义,回答它构 成群吗? 如果不,附加什么条件? A A { A A f f = 是上的变换}
5.2变换群定理1生全体一一变换关于映射的乘法构成群举一个例子说明一些问题例1A=（1，2}.11,2>1TI:T2:12, 22T3:1→122→2T4:1→2,2→1是 A的所有的变换．其中 t3，T4是一一变换(1)，)构成群(2),}构成群吗？
5.2 变换群 定理1 A 上全体一一变换关于映射的乘法构成群. 举一个例子说明一些问题 例１ ＝｛１，２｝． ： ， ： ， ： ， ： ， 是 的所有的变换．其中 ， 是一一变换． (1){ ， }构成群 (2){ }构成群吗? A 1 1 1 → 2 1 → 2 1 2 → 2 2 → 3 1 1 → 2 2 → 4 1 2 → 2 1 → A 3 4 3 4 1
定义一个集合 A的若干个一一变换对于乘法作成的一个群叫做A的一个变换群按照定义,上面的t,}虽然是群,但不是A的变换群【T3，T4]和T,}都是A的变换群定理2假定G是集合A的若干个变换所作成的集合，并且G包含恒等变换ε．若是对于上述乘法来说G作成一个群，那么G只包含A的一一变换,因而是A的变换群
定义 一个集合 的若干个一一变换对于乘法作成 的一个群叫做 的一个变换群． A A 按照定义,上面的{ }虽然是群,但不是 的变换群. { ， }和{ }都是 的变换群 1 A 3 4 3 A 定理2 假定 是集合 的若干个变换所作成的集 合，并且 包含恒等变换 ．若是对于上述乘法来 说 作成一个群，那么 只包含 的一一变换,因 而是 的变换群． G A G G G A A
证明(1)恒等变换ε就是单位元e(2)令t是G的任意元，那么因为G是群，有逆元t-1，使得t-lt=tt-l=e即: t-lt = Tt-1 = 8T是可逆变换,因而是A的一一变换
证明 (1)恒等变换 就是单位元 (2)令 是 的任意元，那么因为 是群，有逆 元 ，使得 即: 是可逆变换,因而是 的一一变换． e G G 1 − 1 1 e − − = = 1 1 − − = = A
例2假如A是一个平面的所有的点作成的集合，那么平面的一个绕一个定点的旋转可以看成A的一个一一变换．我们叫G包含所有绕一个定点的旋转，那么G作成一个变换群．因为假如我们用t。来表示转0角的旋转，就有I.TeTe,=Te+,，G是闭的;Ⅱ．结合律当然成立：IV. =ToEG;V. te"=t-o
例2 假如 是一个平面的所有的点作成的集合， 那么平面的一个绕一个定点的旋转可以看成 的 一个一一变换．我们叫 包含所有绕一个定点的 旋转，那么 作成一个变换群．因为假如我们用 来表示转 角的旋转，就有 Ⅰ． ， 是闭的； Ⅱ．结合律当然成立； Ⅳ． ； Ⅴ． ． A A G G 1 2 1 2 = + G = 0 G 1 − = −
但G显然不包括A的全部一一变换。注：变换群一般是非交换群。变换群在数学上，尤其在几何上的实际应用极广：但就是在群的理论上这种群也有它的重要性
但 显然不包括 的全部一一变换． 注: 变换群一般是非交换群． 变换群在数学上，尤其在几何上的实际应用极 广．但就是在群的理论上这种群也有它的重要性. G A
5.3Cayley 定理定理3任何一个群都同一个变换群同构，证明假定G是一个群，G的元是α，b，℃，..0我们在G里任意取出一个元α来，利用x构造集合G的一个变换T。如下：Ta : G→G,ta(g)=ag, for any g eG我们把所有这样得来的G的变换放在一起，作成一个集合={t。，,，。，…．）．我们将证明G=G
5.3 Cayley 定理 定理３ 任何一个群都同一个变换群同构． 证明 假定 是一个群， 的元是 ， ， ，.． 我们在 里任意取出一个元 来，利用 构造集合 的一个变换 如下: ： , 我们把所有这样得来的 的变换放在一起，作成一 个集合 ， ， ，. ．我们将证明 G G a b c G a x G a a G G → a ( ) , for any g G g ag = G { G a = b c } G G
为此,构造d:G→G如下：d(a)= Ta(1)Φ:G→G是满射.(2)Φ:G→G是单射(3):G→是同态所以G=G进一步，一个群。注意t.到G是的恒等变换，定理2，G是 G的一个变换群证完
为此,构造 如下: (1) 是满射． . (2) 是单射. . (3) 是同态 . 所以 进一步, 是一个群． 注意 到 是的恒等变换 ，定理2， 是 的一 个变换群．证完． :G G → ( ) a a = :G G → :G G → :G G → G G G e G G G